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        妙用“特殊與一般”, 學(xué)好“平行四邊形”

        2022-05-27 10:10:57張偉俊
        初中生世界·八年級 2022年5期
        關(guān)鍵詞:特殊化對角線菱形

        張偉俊

        “從特殊到一般,再由一般到特殊”是人類認(rèn)識世界的基本過程,也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,我們常常需要處理特殊與一般的關(guān)系,從特殊到一般,或是從一般到特殊,這就形成了數(shù)學(xué)的兩種基本方法:一般化和特殊化?!爸行膶ΨQ圖形——平行四邊形”這一章中,蘊(yùn)含了很多特殊與一般的關(guān)系。我們?nèi)绻苡煤眠@種關(guān)系,必將達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

        一、特殊化:從一般到特殊

        在本章的學(xué)習(xí)中,無論是從旋轉(zhuǎn)到中心對稱,還是從平行四邊形到矩形、菱形、正方形,都體現(xiàn)了特殊化的思想。初學(xué)時,有些同學(xué)看到這么多圖形,每種圖形還有很多性質(zhì),不太容易記住,甚至感到混亂。其實(shí),如果我們以特殊化的方法來構(gòu)建“平行四邊形”的知識結(jié)構(gòu)體系,便能很快分清哪個圖形具備什么性質(zhì)了。如圖1所示,在四邊形的基礎(chǔ)上,再有“兩組對邊分別平行”,便得到平行四邊形;在平行四邊形的基礎(chǔ)上,再有“一個角是直角”,便得到矩形,或再有“一組鄰邊相等”,便得到菱形,而同時具備“一個角是直角”和“一組鄰邊相等”的條件便成了正方形。也就是說,平行四邊形是特殊的四邊形,矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形,同時,正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形。從這個角度,我們又可以用圖2來描述它們之間的關(guān)系。

        在這兩幅結(jié)構(gòu)圖中,一般圖形的性質(zhì),是各個特殊圖形的共性。例如,所有平行四邊形(包括矩形、菱形、正方形)都具有“對邊平行且相等”“對角相等”“對角線互相平分”等性質(zhì)。特殊圖形存在于一般圖形之中,特殊圖形不僅具有一般圖形的共性,而且還有自己的特性。例如,矩形不僅具有平行四邊形的所有性質(zhì),而且還有“四個角都是直角”“兩條對角線相等”等特性,菱形也有“四邊相等”“對角線互相垂直”等特性,這些特性并非所有平行四邊形都具有。一般地,圖形越特殊,它具有的特性也會越多。因此,我們在學(xué)習(xí)中可以從“圖形在特殊化的過程中增加了哪些特性”的角度,去把握各種圖形所具有的特性。

        除此以外,在解決問題的過程中,我們也常常運(yùn)用特殊化的方法來解決一般性的問題,尤其是在從一般性的角度找不到方法或者不易解決的時候。

        例1 如圖3,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),F(xiàn)、G為BC上的點(diǎn),且FG=5,連接DG、EF,則圖中陰影部分的面積為? ? ? ? ? ? ? ?。

        【分析】由“D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)”,可知DE是△ABC的中位線,于是便可推得DE∥FG且DE=FG。如圖4,連接DE、DF、EG,可得四邊形DFGE為平行四邊形,所以S△FGH=S△DFH,故圖中陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為△ADE與△FDE的面積之和。又因為DE∥FG,所以無論F點(diǎn)位于BC邊上的何處,△FDE的面積都是不變的。因此,可以尋求F點(diǎn)的特殊位置,求解出此題的答案。譬如,假設(shè)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合(如圖5),此時圖中陰影部分的面積便轉(zhuǎn)化成了△ABE的面積,即為△ABC的面積的一半,等于30。當(dāng)然,這樣的問題也可以從一般性的角度解決。請同學(xué)們思考一下,從一般性的角度,解決本題還需要說明什么?

        二、一般化:從特殊到一般

        與上述過程相反,有的時候,我們也需要從特殊到一般,從特殊情況入手,去探求一般規(guī)律,以便更好地解決特殊問題。如蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊第87頁的例題。

        例2 已知:如圖6,在四邊形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。求證:四邊形EFGH是菱形。(詳解見教材。)

        圖6中的四邊形EFGH可以稱為四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形,四邊形ABCD可以稱為原四邊形。例2證明了當(dāng)原四邊形對角線相等時,它的中點(diǎn)四邊形是菱形。

        在這個問題解決之后,我們會思考什么問題呢?或許,有的同學(xué)會思考:如果原四邊形是任意四邊形,它的中點(diǎn)四邊形還有特殊性嗎?還有的同學(xué)會思考:如果一個四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形或者正方形,這個四邊形需要滿足什么條件呢?這便是從一般化的角度提出的問題,期望從一個特例出發(fā),探索出原四邊形與其中點(diǎn)四邊形之間關(guān)系的一般規(guī)律。

        如圖6,由于“E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)”,構(gòu)造三角形中位線,根據(jù)“三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半”可得EF∥GH且EF=GH,即四邊形EFGH為平行四邊形。故任意四邊形的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形。在此基礎(chǔ)上,要使中點(diǎn)四邊形為矩形,需要增加條件“有一個內(nèi)角為直角”,從而推出需要原四邊形的對角線互相垂直;要使中點(diǎn)四邊形為正方形,需要增加條件“有一個內(nèi)角為直角”和“有一組鄰邊相等”,從而推出需要原四邊形的對角線互相垂直且相等。

        這樣便得到了原四邊形與其中點(diǎn)四邊形之間的一般關(guān)系:任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;如圖6,對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形;如圖7,對角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形;如圖8,對角線互相垂直且相等的中點(diǎn)四邊形是正方形。

        由此可見,特殊與一般是對立統(tǒng)一的,在一定條件下,它們是可以相互轉(zhuǎn)化的。無論是從特殊到一般,還是從一般到特殊,都是我們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的視角,也是我們分析問題、解決問題的方法,需要我們認(rèn)真領(lǐng)會、準(zhǔn)確把握。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中,能自覺運(yùn)用特殊與一般的思想方法去思考問題、解決問題。堅持這樣做,你的認(rèn)知水平和思維能力一定會得到長足發(fā)展。

        (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗中學(xué))

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