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        學(xué)“整式乘法與因式分解”, 從讀教材開(kāi)始

        2022-05-27 10:20:57鐘鳴
        初中生世界·七年級(jí) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:符號(hào)數(shù)學(xué)

        鐘鳴

        同學(xué)們,教材是我們學(xué)習(xí)的根本。在學(xué)習(xí)本章之前,先瀏覽一遍,你會(huì)發(fā)現(xiàn),本章由兩部分構(gòu)成——“整式乘法”和“因式分解”,它們是互逆變形。在本章的學(xué)習(xí)中,我們要學(xué)著從兩個(gè)方向(順向與逆向)看問(wèn)題,培養(yǎng)逆向思維。

        例如:乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,順向看是“整式乘法”,兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積變成了一個(gè)二次多項(xiàng)式;逆向看是“因式分解”,一個(gè)二次多項(xiàng)式分解成了兩個(gè)一次多項(xiàng)式的積。

        深入閱讀各節(jié)內(nèi)容,我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)構(gòu):“用不同的方法從不同的角度計(jì)算同一個(gè)圖形的面積,獲得等式”→“利用歸納,合情推理,得出法則或公式”→“依據(jù)運(yùn)算律,通過(guò)演繹推理,證實(shí)結(jié)論”。這是貫串全章的基本方法,也是代數(shù)領(lǐng)域非常重要的學(xué)習(xí)方法。我們完全可以將這一基本方法拓展到對(duì)完全立方公式的研究中。

        如圖1,已知一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方體。對(duì)于其體積V,我們可以直接整體計(jì)算,得到V=(a+b)3;還可以利用兩個(gè)小立方體的體積與6個(gè)小長(zhǎng)方體的體積之和計(jì)算,即a3+b3+3a2b+3b2a。于是,我們得到等式①(a+b)3=a3+b3+3a2b+3b2a。

        上述結(jié)論中,a、b的取值局限于正數(shù)。為了得到一般的結(jié)論,我們不妨假設(shè)以下三類(lèi)情況:1.a、b中有一個(gè)是負(fù)的;2.a、b都是負(fù)的;3.a、b中有一個(gè)(或兩個(gè))取值為零。我們將這3種情況分別代入等式①的左右兩邊,通過(guò)驗(yàn)證、歸納,猜想等式①對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立。但是,這只是猜想。為了在更一般意義上確立這一結(jié)論,我們還需要從數(shù)學(xué)已有的規(guī)則、事實(shí)出發(fā),從邏輯上加以證明。因?yàn)椋╝+b)3=(a+b)2(a+b),所以我們利用完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則,即可證明等式①。

        讀完這一章,我們?cè)倩仡^想一想便能感覺(jué):在知識(shí)形成的過(guò)程中,圖形(幾何)直觀、符號(hào)意識(shí)、推理能力是比較重要的。

        圖形直觀指畫(huà)一個(gè)圖形,直觀表示所思考對(duì)象的數(shù)學(xué)特征(關(guān)系),以便分析問(wèn)題。其指導(dǎo)思想就是數(shù)形結(jié)合。我們所熟知的表格、線段圖、條形圖、扇形圖以及點(diǎn)和線段的表示等,都是圖形直觀。在本章中,圖形直觀體現(xiàn)在畫(huà)一個(gè)圖形來(lái)表示兩個(gè)可以畫(huà)等號(hào)的代數(shù)式,這既可以解釋“整式乘法”,也可以解釋“因式分解”。

        符號(hào)意識(shí)就是主動(dòng)使用符號(hào)的意識(shí)。我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,接觸的數(shù)學(xué)符號(hào)主要有兩類(lèi):1.數(shù)字、字母、圖像(表)等對(duì)象符號(hào);2.加、減、乘、除、等于、不等于等運(yùn)算符號(hào)。運(yùn)用符號(hào),我們可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,還可以進(jìn)行運(yùn)算和推理。在本章中,用符號(hào)表示規(guī)律,發(fā)現(xiàn)公式(等式①),就是主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)表示的過(guò)程;對(duì)所發(fā)現(xiàn)的公式,依據(jù)運(yùn)算律和法則進(jìn)行證明,就是符號(hào)操作的過(guò)程。

        如果想把一般的規(guī)律揭示出來(lái),你就不得不進(jìn)行符號(hào)表示;如果想證明規(guī)律的正確性,你就不得不進(jìn)行符號(hào)操作。這兩個(gè)過(guò)程既是代數(shù)運(yùn)算的過(guò)程,也是初中代數(shù)與小學(xué)算術(shù)的最大不同。

        進(jìn)入初中后,我們更加重視由合情推理和演繹推理構(gòu)成的完整推理過(guò)程。合情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。合情推理和演繹推理是相輔相成的兩種推理形式,是學(xué)習(xí)本章以及全部“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識(shí)的有效工具。我們?cè)陂喿x教材的同時(shí),要留意去體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)、經(jīng)歷這樣的推理過(guò)程,在進(jìn)行合情推理時(shí)思考“合情”的理由,在進(jìn)行演繹論證時(shí)注重尋找合理的證明思路。

        總之,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要閱讀教材,要重視知識(shí)形成的過(guò)程,把握一章的主線,總結(jié)基本方法,更要錘煉數(shù)學(xué)能力,增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí),體悟數(shù)學(xué)思想,感受數(shù)學(xué)趣味。

        (作者單位:江蘇省無(wú)錫市西漳中學(xué))

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