謝冰 魯興舉

[關鍵詞] 數值分析;信息化教學;應用探索

[作者簡介] 謝 冰（1982—），女，湖南懷化人，博士，國防科技大學智能科學學院自動化系講師，主要從事多智能體系統(tǒng)和合作博弈研究;魯興舉（1977—），男，河南羅山人，博士，國防科技大學智能科學學院自動化系副研究員，主要從事精確制導技術研究。

[中圖分類號] G641 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）17-0157-04 [收稿日期] 2021-11-02

“數值分析”課程具有概念的抽象性、邏輯的嚴密性和結論的正確性三大特征，同時具有很強的實用性及實踐性，被廣泛應用于解決實際問題。不僅物理專業(yè)、化學專業(yè)、計算機專業(yè)等理工科專業(yè)對“數值分析”課程有非常嚴格的要求，一些經濟類專業(yè)也開設了“數值分析”課程，比如風險投資專業(yè)及財務管理專業(yè)等。“數值分析”課程是一門基礎類專業(yè)課程，學生對于這門課程的掌握程度將直接影響其后續(xù)專業(yè)課程的掌握程度，是本科教育中非常重要的一門課程。

然而在“數值分析”課程的實際教學過程中依然存在不少問題，比如課程難度系數大、內容相對枯燥、知識點離散缺乏連貫性和公式復雜難記[1]。同時由于課程開設時間一般在大二，早于大多數專業(yè)類課程，學生對于數值分析方法缺少應用場景，難以理解原理并掌握。針對這些問題，如何利用信息化手段完善授課方式和增加教學手段，以期增加課堂的趣味性和直觀性，將知識點清晰明了地傳導給學生，是信息化網絡時代“數值分析”課程教學模式改革的一種非常有價值的探索[2]。

一、“數值分析”課程教學中面臨的困境

（一）內容多、課時少

在本科生教學安排中，“數值分析”課程需要講授數值逼近和數值代數兩大模塊，涉及的算法多，知識內容包括插值（涉及插值法的一般理論、拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值、埃爾米特插值和樣條插值等）、回歸分析（涉及數據描述性分析、一元線性回歸分析、一元二次回歸分析、一元多項式回歸分析和多元回歸分析）;數值積分和數值微分，其中數值積分涉及機械求積方法、Newton-Cotes方法和復合求積方法，數值微分涉及中點方法、插值方法和積分方法;線性方程組的求解，包括高斯算法、三角分解法和迭代法;非線性方程的求根，涉及二分法、不動點迭代法、弦截法、牛頓法和迭代法收斂性分析。在課堂上要向學生講授涉及的全部算法，并將知識點講解到位，公式推導過程講解清楚，因此時間緊迫且難度大。

（二）內容相對獨立，知識點之間缺少連貫性

數值分析算法通常在課堂上會講授插值、回歸分析、數值微分與數值積分、線性方程組求解和非線性方程組求根這五大塊內容，每一章之間的內容關聯(lián)性小，前面章節(jié)知識點的掌握并不能為后續(xù)知識點的掌握奠定理論基礎，反而在講授課程中因為學生缺乏應用理解，導致理解和應用知識點有難度。

（三）學生缺少應用認識，對課程內容理解有困難

“數值分析方法”課程作為一門專業(yè)基礎課程，通常開設于大二，在很多專業(yè)課程開設之前，這就導致學生在還沒有了解“數值分析”課程在自己所學專業(yè)領域的具體應用時，就直接進行方法講授，因此缺少對“數值分析方法”課程的應用認知，在學習過程中容易出現(xiàn)“一頭霧水”的狀態(tài)，對抽象的數學知識理解起來有難度，可能會出現(xiàn)死記硬背公式考試成績不錯，但對數值分析算法設計思想缺少整體認識，不能靈活應用所掌握的數值分析方法，也不能對所學的數值分析方法舉一反三。

（四）學生課業(yè)繁重，課程內容偏枯燥，缺少趣味性和求知欲

授課對象大多是大二學生，他們正處于本科學習階段課業(yè)最繁重的時期，有些專業(yè)的學生一周最多可能有60課時的課。而“數值分析方法”課程作為一門數學課，內容復雜且枯燥，學生在繁重課業(yè)壓力之下很容易缺乏相應的求知欲，并產生畏難情緒。這對學生掌握好“數值分析方法”課程內容也是一大挑戰(zhàn)。

二、信息化教學手段

常見的幾種可以應用于課堂內的信息化教學手段有視頻化PPT、“雨課堂”，課堂外有Trustie教學社區(qū)、中國大學MOOC（慕課）等。

（一）“雨課堂”

“雨課堂”是學堂在線與清華大學在線教育辦公室共同研發(fā)的智慧教學工具，旨在連接教師和學生。使用“雨課堂”，教師可以將帶有MOOC視頻、習題、語音的課前預習課件推送到學生手機上，師生溝通及時反饋;課堂上實時答題、彈幕互動，為傳統(tǒng)課堂教學師生缺少互動提供了完美的解決方案。針對計算法方法中不容易理解或者是相似度高的公式，例如拉格朗日插值法和牛頓插值法的優(yōu)缺點比較、高斯順序消元法和高斯列主元消元法公式的異同，設計“雨課堂”互動教學環(huán)節(jié)，用問題啟發(fā)學生，強化知識點記憶。

（二）Trustie教學社區(qū)

Trustie面向軟件創(chuàng)新和教育的高校創(chuàng)新實踐社區(qū)，不僅支持軟件創(chuàng)新的代碼開源合作，在課程專區(qū)也為師生提供了依托平臺，教師可以在Trustie平臺上進行課程資源發(fā)布、作業(yè)導入，完成常規(guī)作業(yè)、編程作業(yè)發(fā)布和批改;學生可以實時更新作業(yè)反饋和編程測評，實現(xiàn)群體協(xié)同學習?！皵抵捣治觥笔且婚T應用實踐要求高的課程，課后作業(yè)往往采用案例算法實現(xiàn)的形式，Trustie社區(qū)能很好地提供代碼互動平臺，既方便了教師布置和檢查算法類作業(yè)，也方便了學生就此類作業(yè)進行討論和參考代碼閱讀。

（三）中國大學慕課網

中國大學MOOC（慕課）是愛課程網攜手網易云課堂打造的在線學習平臺，涵蓋了我國高校所有專業(yè)的課程，為學生進行課外鞏固提升提供了豐富的學習資料。同時，慕課堂可以幫助教師實現(xiàn)一體化教學管理，賦能各學科特色教學，實時統(tǒng)計學生在課堂內外的表現(xiàn)，匯總線上線下成績，實踐智慧教學?！皵抵捣治觥闭n程作為工科類專業(yè)的基礎課程，擁有大量的MOOC課程資源。在學校壓縮課時、課本內容講授不全面的情況下，學生可以在課余時間通過觀看數值分析MOOC課程，在鞏固知識點的同時擴展對“數值分析方法”課外知識點的掌握。

（四）社交App

社交App，諸如微信、騰訊會議等，不拘泥于課堂上，將師生的聯(lián)系從課堂上延伸至課堂下，并可以靈活利用師生的時間，為師生就課程問題交流提供更多且便捷的方式。課堂上，往往受限于傳統(tǒng)課堂形式，師生沒有過多交流的機會，并且中國學生的性格大多靦腆，不善于發(fā)問。社交App能給學生提供課后聯(lián)系教師的一個網絡渠道，同時避免面對面對話，讓熟悉網絡環(huán)境的學生敢于向教師求助提問。

上述四種信息化手段，各有其優(yōu)勢?！坝暾n堂”可以和傳統(tǒng)課堂結合，為課堂互動提供網絡開發(fā)渠道，鼓勵學生參與課堂，也方便了教師了解學生對于知識點的掌握程度。Trustie社區(qū)等網絡社區(qū)，不僅方便了教師發(fā)布和批改編程作業(yè)，更為學生提供了一個廣闊的交流空間，不僅僅局限于本班本系學生進行交流，還將交流對象擴大到駐平臺的幾十所高校學生。慕課作為新興的網絡課堂方式，針對性強，對時間要求不高，并且是知識點全覆蓋，彌補了課時緊張、課堂無法全覆蓋課程內容的缺點，為學生課后鞏固或擴展知識點提供了條件。社交App給教師和學生提供了更為便捷的溝通方式，把溝通延伸到課后，讓學生可以隨時通過網絡找教師咨詢，教師也可以針對學生不同的問題進行一對一答疑，或借助網絡會議App進行小規(guī)模集體答疑。這四種信息化手段均為解決目前數值分析課堂的困境提供了一定的幫助，因此綜合考慮這四種方法各自的優(yōu)勢，我們進行了數值分析信息化閉環(huán)教學方式的研討和實踐。

三、數值分析信息化閉環(huán)教學方式探索

“數值分析”課程的重點在于理解和掌握各種常用數值計算方法的數學原理和算法構造設計，其難點為：（1）如何在課程內容偏枯燥的前提下，將各種數值計算方法的收斂性分析、眾多復雜精巧的計算方法設計和煩瑣的計算公式推導過程講得生動具體，在課堂上牢牢吸引學生的注意力，并讓學生深刻理解和掌握復雜的課程知識點;（2）在課時受限的情況下，如何將內容清晰講述，保證教學效率。因此，基于上述信息化手段，針對“數值分析”課程特點，充分利用學生和教師的碎片化時間，建立立體化的教學方式，將課前—課上—課后串聯(lián)起來，形成信息化閉環(huán)教學模式（見圖1）。

（一）課前預習布置

眾所周知，數值分析知識點繁多且原理不好理解，我們可以通過信息化手段（如社交App或者Trustie社區(qū)等）在課前將下一堂課的知識要點布置給學生預習，如插值定理的證明、拉格朗日插值基函數的定義、機械求積公式推導過程等。對于剛接觸數值分析的學生來說，這些數學概念并不便于理解和掌握，通過預習方式突出難點，讓學生進行預習，并在課前收集學生反饋，以調整授課計劃和課堂習題講解設置。

（二）課中生動教學

在課堂上，將學生預習中反饋的知識難點作為講授問題引入，針對性再將難點和重點講解清楚。在收集預習反饋時，會發(fā)現(xiàn)學生對于各種插值算法的優(yōu)缺點缺少直觀認識，如在比較拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值和埃爾米特插值的優(yōu)缺點時，學生只是機械記住了幾種插值方法的要求不同，并沒有深刻理解四種插值算法在工程問題中的實際應用意義，通過在課堂上用MATLAB展示這四種算法的插值曲線對比和余項分析，讓學生直觀地理解這四種插值方法，建立具體生動的圖像記憶。對于理工科學生，要注重科學計算思想和方法的構造，可以在講授過程中引導他們怎樣改進數值方法，注重收斂性和穩(wěn)定性的討論。同時，借助“雨課堂”，設置課堂互動環(huán)節(jié)，打破課堂沉默的現(xiàn)象，為學生提供互動形式，強化課堂測試互動，方便教師更加準確地了解學生對知識點的掌握情況。

（三）課后師生交流

“數值分析”是一門實踐要求高的課程，介紹的算法很難在課堂上用書面習題的形式對學生進行書面測驗，無法掌握學生對數值分析算法的具體掌握程度。

1.通過Trustie社區(qū)布置和批改編程實踐類作業(yè)，如樣條插值算法的實現(xiàn)、非線性方程求根和數值積分等算法的設計實現(xiàn)，不僅可以幫助教師明了學生對于知識點的掌握程度，也可以讓學生跨班級進行同課程實踐編程題目的討論學習，為學生提供更好的學習環(huán)境。

2.借助社交App，答疑不再拘泥于課堂，可以建立網絡答疑課堂。用騰訊會議等App進行集體答疑，或者用微信等社交App建立網絡答疑課堂，能更加快速便捷地與學生溝通，不僅方便發(fā)現(xiàn)學生掌握知識點的薄弱點，也可以合理利用學生的零碎時間，一對一答疑。

3.通過“雨課堂”互動形式，針對計算方法中的難點和重點設置課堂測試互動，了解學生對于算法設計思路和各算法之間區(qū)別的掌握程度，方便教師實時根據課堂反饋調整知識點的講授。教師通過“雨課堂”和Trustie等信息化手段，掌握學生課后的作業(yè)完成情況，并參考課中的隨堂測驗統(tǒng)計數據，分析學生對知識點的掌握情況，有的放矢，對學生進行針對性地答疑指導，改善教學計劃。

4.慕課內容利用?！皵抵捣治觥闭n程的重要知識點多且復雜，比如插值中的三彎矩算法和三轉角方程的算法的公式推導過程、線性方程組求解中的迭代法收斂性分析等，這類知識點往往在實際中應用得非常廣泛且具有代表性，學生對這類知識點掌握吃透對其后續(xù)專業(yè)學習有很大的幫助，也可以幫助學生建立良好的算法設計思想。由于“數值分析”課時有限，很多知識點無法在課堂上展開詳細講解，因此可以借助慕課這類線上資源，讓學生在課余時間擴展學習，將這類復雜且無法在課堂上詳細講解的知識點牢牢掌握。

通過上述三個方面建立課前通過社交App提前布置預習，課中講解重點和難點并通過“雨課堂”互動強化知識點認知，課后進行Trustie社區(qū)完成編程實踐作業(yè)和MOOC自學，期間不間斷穿插網絡答疑，最后以隨堂測驗和綜合實驗的方式驗證學生對于每次課程的掌握程度，進而指導下一步教學計劃實施的以學生為中心的立體教學方式。完美利用信息化手段促進課上課下師生互動，幫助教師了解學生關于課程知識點的掌握程度，以及掌握學生對于課程的想法，從而可以因材施教制定教學計劃，并按照學生的掌握程度隨時調整授課計劃和優(yōu)化授課內容，確保將信息化立體閉環(huán)教學方式和以學生為主的教學理念落實。

結語

為了更好地響應我國目前進行的教育教學改革，身為教師一定要重視對“數值分析”課程教學改革的探索。在如今這個科技化、信息化的時代，充分了解和掌握各種信息化教學手段，結合“數值分析方法”課程的特點，逐步進行實踐探索，建立和完善信息化教學方式，以期進一步提高教學效率。

參考文獻

[1]王曉鋒.數值分析課程教學改革研究[J].高師理科學刊，2016，36（3）：36-38.

[2]孔勝利.工科研究生數值分析課程教學改革[J].高教學刊，2017（22）：145-147.

Key words： numerical analysis; informatization teaching; exploration on application