王燁，朱欣悅，孫振東

（1 蘭州交通大學環(huán)境與市政工程學院，甘肅蘭州 730070； 2 鐵道車輛熱工教育部重點實驗室，甘肅蘭州 730070）

引 言

隨著工業(yè)產(chǎn)品的精細化制造和高標準要求，傳統(tǒng)的數(shù)值設計方法由于面臨“海量運算”而難以適應現(xiàn)代工業(yè)設計的高效率需求。本征正交分解（POD）技術憑借其降階求解以及無網(wǎng)格化的優(yōu)勢，已被廣泛應用于油氣輸送[1]、計算機物理通信[2]、廢水污染處理[3]、公路運輸[4]、繞流流動[5-7]、氣液兩相流[8]、傳 熱 傳 質[9-10]、湍 流 流 動[11-13]、流 場 分 析 預測[14-17]、翼型流動[18-22]等方面。在換熱器流動與傳熱特性研究方面，丁鵬等[23]首次針對平翅圓管管翅式換熱器建立了POD 降階模型，準確、高效地捕捉到了物理場的詳細信息。王燁等[24]通過建立適用于復雜結構的扁管管翅式換熱器POD 降階模型，在計算精度可靠的前提下比有限容積法的計算速度提高了2000 倍。胡文婷[25]采用牛頓插值、拉格朗日插值以及線性插值三種方法建立了適用于求解等壁溫邊界的扁管管翅式換熱器中流動與傳熱方程的POD 降階模型，并針對多參數(shù)變化情況下不同插值方法所得結果的準確性進行了詳細探討。王燁等[26]采用適體坐標與POD 相結合的方法對比分析了不同邊界條件下管翅式換熱器的流動與傳熱性能，為換熱器的數(shù)值設計中合理設置邊界條件提供了理論依據(jù)。夏昕彤[27]研究了帶三角翼型渦產(chǎn)生器的扁管管翅式換熱器，并建立了合適的POD 降階模型。魯紅鈺[28]針對帶有不同翼型渦產(chǎn)生器翅片的扁管管翅式換熱器建立了分析其流動與傳熱過程的POD模型，發(fā)現(xiàn)采用拉格朗日插值法得到的結果精度最高。王瑞君[29]針對求解復雜結構中流動與傳熱問題的POD 降階模型進行了探索，發(fā)現(xiàn)POD 方法對于雙面帶渦產(chǎn)生器的扁管管翅式換熱器在耦合熱邊界條件下有較強的適用性，并極大地提高了仿真速度。但以上采用POD 方法求解管翅式換熱器中流動與傳熱特性的研究主要是針對平翅片展開的，應用POD 技術分析物理結構以及數(shù)學描述更為復雜的正弦波翅片扁管管翅式換熱器流動與傳熱特性，還未見報道。本文試圖探索能準確求解具有正弦波翅片的扁管管翅式換熱器中流動與傳熱問題的POD 降階模型，以實現(xiàn)對曲面型翅片換熱器的高效數(shù)值設計。

1 模型介紹

1.1 物理模型

圖1(a)為正弦波翅片[30]扁管管翅式換熱器的物理模型。換熱器入口處的流體流動方向與水管內流體的流動方向正交，水管交叉對稱排列布置。由于換熱器模型中空氣通道內流場及其模型結構具有周期性和對稱性，同時為了提高數(shù)值模擬效率，取物理模型中矩形框內的部分為正弦波翅片扁管管翅式換熱器計算單元，圖1(b)為計算單元的平面示意圖。

圖1 正弦波翅片扁管管翅式換熱器物理模型Fig.1 The physical model of flat tube-bank-fin heat exchanger with sine wave fin

水管布置及正弦波翅片尺寸參數(shù)如圖2 所示。計算單元結構參數(shù)表示符號及數(shù)值大小如表1所示。本文所研究翅片類型有平直翅片和4種結構正弦波翅片[由波長(W)為16.43、32.86 mm和波幅(A)為1、2 mm兩兩組合得到]。扁管管壁熱導率λt=398 W/(m·K)[31]，材料為銅，管內熱水的流動方向沿z軸正向，管內流體為tw=88℃的液態(tài)水。翅片材料為鎳鋼，其熱導率λ=13 W/(m·K)，相鄰翅片間為空氣流道，設進口溫度為ta=40℃，流動方向沿x軸正向。

表1 換熱單元幾何尺寸Table 1 Geometry size of heat exchanger unit

圖2 換熱器單元及正弦波翅片幾何尺寸Fig.2 Geometric dimensions of the heat exchanger unit and sine wave fins

1.2 數(shù)學模型

為了多角度對比分析不同類型翅片扁管管翅式換熱器流動與傳熱特性，考慮三維模型進行仿真。結合本文研究背景及目的，在保證計算精度的前提下，做以下假設：流體密度、運動黏度等參數(shù)恒定；流體不可壓縮；流動為定常；空氣的黏性耗散和質量力不予考慮；空氣流態(tài)為層流。

基于以上假設，控制方程如下。

連續(xù)性方程：

動量方程：

能量方程：

其中，i=1，2，3；k=1，2，3；ρ為密度，常數(shù)，kg/m3。其余各參數(shù)物理意義見文獻[24]。

1.3 邊界條件

考慮本文的物理模型尺寸小、翅片厚度薄、翅片材料熱導率大等因素，可認為翅片表面溫度近似均勻分布。同時，在仿真計算中為了減少計算負荷，忽略壁面厚度。所以，水管管壁以及上、下翅片均采用等壁溫邊界。換熱器計算單元與相鄰單元空氣側采用對稱邊界。空氣進口采用速度入口，入口溫度為40℃，空氣入口雷諾數(shù)Rea在400～1300 變化。空氣通道出口采用壓力出口邊界。

2 POD低階模型的構建

2.1 POD方法基本原理

POD 方法是以實驗數(shù)據(jù)或數(shù)值結果為樣本，將一般物理問題表示為一組POD 基函數(shù)和對應的譜系數(shù)線性疊加的低階形式。所提供的基函數(shù)滿足最小二乘意義上能量最優(yōu)條件，將這組基函數(shù)和對應譜系數(shù)進行線性組合即可實現(xiàn)對高維數(shù)據(jù)的低維描述。具體實施過程包括：(1)對樣本矩陣進行本征正交分解得到POD 基函數(shù)；(2)根據(jù)物理問題的實際情況，選取含能較高的幾組基函數(shù)并用插值法計算對應譜系數(shù)；(3)將基函數(shù)和譜系數(shù)進行線性疊加得到原物理場的近似場。與POD 有關的基礎理論及公式見文獻[32]。

2.2 樣本選擇

本文POD 樣本來源于FVM 計算結果。選取單參數(shù)(Rea)、雙參數(shù)(Rea，Tp)以及三參數(shù)(Rea，Tp，S1)同時變化并分別形成6個樣本庫。樣本庫中具體參數(shù)取值如表2 所示。表中，R={400，500，600，700，800，900，1000，1100，1200，1300}，T={4，5，6}(mm)，S={35，40，45}(mm)。

表2 樣本參數(shù)變化Table 2 Sample parameters

2.3 基函數(shù)的提取

將2.2 節(jié)所得樣本導入MATLAB 程序，得到能代表基函數(shù)特性的特征值。為了確保所選基函數(shù)個數(shù)能完全反映物理場信息，需要以此特征值為基礎計算累積能量貢獻率，從而得到使得該值占總能量99.99%以上的基函數(shù)最小個數(shù)[27]。根據(jù)表2中不同樣本矩陣的樣本個數(shù)，單、雙、三參數(shù)變化的3 個樣本矩陣分別得到10、30、120個基函數(shù)。根據(jù)累積能量貢獻率大小選取的基函數(shù)組數(shù)如表3 所示，表中結構1 對應(A=1 mm，W=16.43 mm)，結構2 對應(A=2 mm，W=32.86 mm)。

表3 基函數(shù)組數(shù)的選取Table 3 Selection of the basis function numbers

2.4 譜系數(shù)計算

通過對比線性插值、牛頓插值、拉格朗日插值三種方法計算溫度場和速度場，發(fā)現(xiàn)三種插值法計算精度幾乎沒有差別，但線性插值法速度最快，本文選擇線性插值法獲得譜系數(shù)并重構溫度場和速度場。

為了考察POD 降階模型對正弦波翅片扁管管翅式換熱器的適用性，本文充分考慮影響換熱器性能的多個變量參數(shù)Tp、S1和Rea，通過線性插值方法，在單參數(shù)（Rea）、雙參數(shù)（Rea，Tp）以及三參數(shù)（Rea，Tp，S1）變化3 種情形下探討POD 降階模型，分析正弦波翅片扁管管翅式換熱器流動與傳熱性能的適用性。

3 數(shù)值求解方法

3.1 數(shù)學模型驗證

本文構建POD 低階模型的樣本來自FVM 計算結果，因此，首先對FVM 計算方法的可靠性進行考核。為此，建立文獻[33]的物理模型并采用相同的計算條件，將本文數(shù)值結果與其實驗測試所得阻力系數(shù)f值和努謝爾特數(shù)Nu值分別進行對比，如圖3所示?？梢钥闯?，本文所得參數(shù)變化規(guī)律與實驗結果一致，且相對誤差最大值僅為7%，從而驗證了本文數(shù)值方法的可靠性。

圖3 數(shù)值方法驗證Fig.3 Numerical method verification

3.2 網(wǎng)格獨立性驗證

以A=1 mm，W=16.43 mm 結構參數(shù)對應工況為例，以空氣通道壁面平均努謝爾特數(shù)Nu作為考核網(wǎng)格獨立性是否滿足的指標，計算結果如表4 所示?？梢钥闯?，隨著網(wǎng)格數(shù)的增大，空氣通道壁面平均Nu在網(wǎng)格數(shù)為359187 時相對網(wǎng)格數(shù)為441561 的變化幅度明顯低于相對網(wǎng)格數(shù)為245628對應工況的變化。因此，對于本文A=1 mm，W=16.43 mm 正弦波翅片換熱器，Tp=6 mm，S1=40 mm時，計算采用的網(wǎng)格數(shù)為359187。對于其余結構模型的計算網(wǎng)格數(shù)采用同樣的方法獲得。

表4 網(wǎng)格獨立性驗證Table 4 Grid independence verification

4 高階模型計算結果及分析

4.1 對流傳熱分析

圖4 為S1=40 mm、Tp=6 mm 時不同類型翅片的扁管管翅式換熱器空氣側通道壁面平均Nu隨Rea的變化關系。由圖可見，壁面平均Nu隨Rea的增大呈上升趨勢，不同結構參數(shù)的正弦波翅片換熱器的壁面平均Nu均高于平翅片換熱器的值，不同結構翅片對應的Nu上升速率存在一定差異。A=2 mm，W=16.43 mm 翅片對應的換熱器在所研究的Rea范圍內均表現(xiàn)出了較好的傳熱能力，與平翅片相比，壁面平均Nu平均提高了150.84%。波幅一定，壁面平均Nu隨波長的增大而減小；波長一定，壁面平均Nu隨波幅的增大而增大。

圖4 空氣通道壁面平均Nu對比(Tp=6 mm，S1=40 mm)Fig.4 Comparison of the average Nu on the wall of the air channel(Tp=6 mm，S1=40 mm)

4.2 流動阻力分析

考察換熱器流動阻力及能量損失是其結構設計優(yōu)化的重要環(huán)節(jié)。本文主要探討換熱器通道內空氣側的流動特性，對于氣體，流動損失通常以壓降(ΔP)的形式表示：

式中，Pi，Po分別為換熱器單元進口、出口過流斷面上的平均壓強，Pa。

圖5顯示了空氣側壓降隨空氣側雷諾數(shù)的變化關系。不同類型翅片換熱器的進、出口壓降均隨空氣側雷諾數(shù)的增大呈上升趨勢，但上升的速率不同，上升最快的是A=2 mm，W=16.43 mm 翅片換熱器，其平均壓降接近平翅片的10倍。這是因為雷諾數(shù)是一個與氣流速度、物性以及過流斷面的幾何特征有關的無量綱數(shù)，雷諾數(shù)的增大是這些因素共同作用的結果。層流狀態(tài)下，氣流通道的壓強損失主要受雷諾數(shù)影響，在本文不考慮氣體物性隨溫度變化的前提下，影響壓強損失的因素主要是氣流速度和過流斷面的幾何特征。所以，才表現(xiàn)出了不同翅片參數(shù)的換熱器中壓降隨雷諾數(shù)的增大其上升速率不同的變化特征。而曲面型翅片結構會導致大量旋渦區(qū)的存在以及摩擦損失，從而使其能耗高于平翅片結構。

圖5 空氣側壓降隨Rea變化關系Fig.5 The air side pressure drop varies with Rea

4.3 換熱器綜合性能分析

由上文可知，不同翅片結構在強化傳熱的同時也會引起不同程度的壓強損失。一般采用強化傳熱JF 因子來評判換熱器綜合性能的改善程度。強化傳熱JF因子的計算公式為：

圖6為不同類型翅片扁管管翅式換熱器強化傳熱JF 因子隨Rea的變化關系。可以看出，A=1 mm，W=16.43 mm 正弦波翅片換熱器及A=2 mm，W=32.86 mm 正弦波翅片換熱器的強化傳熱JF 因子均大于1，具有較好的強化傳熱效果。而A=2 mm，W=16.43 mm 正弦波翅片換熱器JF 因子在不同Rea時均小于1，其傳熱性能弱于平翅片結構。A=1 mm，W=32.86 mm 正弦波翅片換熱器在Rea小于900 時，其傳熱性能弱于平直翅片結構。

圖6 強化傳熱JF因子隨Rea變化關系Fig.6 JF factor of enhanced heat transfer varies with Rea

5 POD降階模型與FVM結果對比

將高階模型計算得到的物理場與降階模型的重構場進行對比，考察POD 降階模型對正弦波翅片扁管管翅式換熱器傳熱與流動特性的預測精度及適用性。

5.1 單參數(shù)變化對比

圖7和圖8分別為A=1 mm，W=16.43 mm 正弦波翅片扁管管翅式換熱器POD 降階模型重構結果與FVM計算結果在y=S1/2截面上的溫度場和速度場對比，圖中虛線代表POD 降階模型重構結果，實線為FVM 計算結果?？梢钥闯?，在主流區(qū)，POD 降階模型等值線與FVM 結果吻合得很好。但受波紋翅片擾動的區(qū)域，2 種方法所得結果存在一定差異。溫度場等值線的重合效果整體優(yōu)于速度場。

圖7 單參數(shù)變化時y=S1/2截面溫度分布對比（A=1 mm，W=16.43 mm）Fig.7 Comparison of temperature distribution in y=S1/2 section for single parameter(A=1 mm，W=16.43 mm)

圖8 單參數(shù)變化時y=S1/2截面速度分布對比（A=1 mm，W=16.43 mm）Fig.8 Comparison of velocity distribution in y=S1/2 section for single parameter(A=1 mm，W=16.43 mm)

5.2 雙參數(shù)變化對比

圖9 和圖10 為雙參數(shù)變化下A=1 mm，W=16.43 mm正弦波翅片扁管管翅式換熱器采用2種方法所得物理場在y=S1/2截面上的分布對比。與單參數(shù)變化類似，在主流區(qū)，POD 降階模型重構場的等值線分布與FVM 結果基本一致，但在受波紋翅片擾動的區(qū)域，以及翅片附近的溫度分布存在鋸齒狀等值線。整體來看，雙參數(shù)變化下2種方法所得溫度場等值線吻合較差區(qū)域主要集中在第1 管排和第2 管排的主流區(qū)域。從單參數(shù)和雙參數(shù)降階模型的重構結果與FVM 對比結果的共性看出，二者溫度場的相對偏差主要存在于翅片表面區(qū)域，且沿主流方向呈明顯減小的趨勢。2 種方法所得速度場等值線的吻合度不如溫度場高。

圖9 雙參數(shù)變化時y=S1/2截面溫度分布對比(A=1 mm，W=16.43 mm)Fig.9 Comparison of temperature distribution in y=S1/2 section for two parameters(A=1 mm，W=16.43 mm)

圖10 雙參數(shù)變化時y=S1/2截面速度分布對比(A=1 mm，W=16.43 mm)Fig.10 Comparison of velocity distribution in y=S1/2 section for two parameters(A=1 mm，W=16.43 mm)

5.3 三參數(shù)變化對比

圖11 和圖12 為三參數(shù)變化下2 種方法所得物理場等值線分布對比?？梢钥闯觯齾?shù)變化下溫度場和速度場的對比結果與上文分析的單、雙參數(shù)變化所體現(xiàn)的規(guī)律基本一致，溫度場差異較小，但位于正弦波翅片附近以及主流區(qū)域的速度場等值線分布相對單、雙參數(shù)變化存在明顯差異。這是由于POD 降階模型的預測精度在樣本數(shù)量一定的情況下會隨著變量的增加而下降[32]。

圖11 三參數(shù)變化時y=S1/2截面溫度分布對比(A=1 mm，W=16.43 mm)Fig.11 Comparison of temperature distribution in y=S1/2 section for three parameters(A=1 mm，W=16.43 mm)

圖12 三參數(shù)變化時y=S1/2截面速度分布對比(A=1 mm，W=16.43 mm)Fig.12 Comparison of velocity distribution in y=S1/2 section for three parameters(A=1 mm，W=16.43 mm)

5.4 POD降階模型計算效率分析

以上分析主要從POD 降階模型預測的局部信息準確性上展開討論，POD 方法相對傳統(tǒng)計算方法的另一個優(yōu)勢體現(xiàn)在計算效率方面。表5為POD降階模型和FVM 平均計算耗時對比。可以看出，POD降階模型重構物理場的效率遠高于FVM。采用單參數(shù)樣本插值得到的2種結構翅片扁管管翅式換熱器重構場，其計算速度是FVM 的近104倍，雙參數(shù)和三參數(shù)樣本插值的計算效率有所下降，但POD 方法耗時仍遠低于FVM，極大程度地降低了計算成本。

表5 兩種方法平均計算耗時對比Table 5 Comparison of average calculation time between the two methods

前期研究表明：三參數(shù)變化的POD 降階模型重構物理場精度稍低于單參數(shù)和雙參數(shù)情況。所以，以三參數(shù)為例，對比POD結果與FVM結果間的平均相對偏差。對比表6 和表7 可知，同一翅片結構，對溫度場的預測精度要高于速度場，但POD 降階模型對于速度場的預測平均相對偏差也只有2.921%，說明該模型用于求解曲面型翅片結構換熱器中的流動與傳熱問題具有很好的適應性。

表6 兩種方法所得溫度場偏差對比（三參數(shù)）Table 6 Comparison of temperature field deviation obtained by two methods（three parameters）

表7 兩種方法所得速度場偏差對比（三參數(shù)）Table 7 Comparison of velocity field deviation obtained by two methods（three parameters）

6 結 論

本文構建了適用于分析不同結構正弦波翅片扁管管翅式換熱器流動與傳熱特性的POD 降階模型，旨在探究POD 降階模型對求解曲面型邊界中流動與傳熱問題的可靠性，并從計算精度、計算效率等方面對其進行驗證。得到的主要結論如下：

(1)正弦波翅片相較于平翅片，可以有效提高換熱器空氣通道內壁面的傳熱能力，本文所得A=1 mm，W=16.43 mm 正弦波翅片換熱器的強化傳熱效果最優(yōu)。

(2)POD 重構溫度場與FVM 計算結果的吻合度優(yōu)于速度場，單參數(shù)和雙參數(shù)變化時POD 重構場與FVM 計算結果的相對偏差較三參數(shù)低，三參數(shù)變化時POD 降階模型預測的最大平均相對偏差為2.921%。降階模型對溫度場預測的誤差主要存在于正弦波翅片表面區(qū)域，且沿主流方向呈減小趨勢。

(3)從計算效率上看，POD 降階模型能夠大幅降低正弦波翅片扁管管翅式換熱器的計算成本。單參數(shù)變化時的計算效率是FVM 方法的近104倍，雙參數(shù)和三參數(shù)變化時的計算效率有所下降，但POD方法計算耗時仍遠低于FVM。

符 號 說 明

f，fR——分別為正弦波翅片及平翅片阻力系數(shù)

h——對流傳熱系數(shù)，W/(m2·K)

Rea——空氣側Reynolds數(shù)

S1，S2——分別為橫向管間距、縱向管間距，mm

Tp——翅片間距，mm

ta，tw——分別為空氣入口溫度、管內流體溫度，℃

v——運動黏度，m2/s