夏文強 趙彥 劉振智 魯曉剛

(上海大學材料科學與工程學院,省部共建高品質(zhì)特殊鋼冶金與制備國家重點實驗室,上海 200444)

采用晶體相場法研究了外加應變作用下,不同取向差的四方相對稱傾側小角度晶界的位錯運動與反應及反應過程中的位錯組態(tài),通過采用幾何相位法對位錯周圍應變場進行了表征.結果表明,凝固弛豫達到穩(wěn)態(tài)后,晶界兩側位錯平行且方向相反,隨晶界兩側晶粒取向差增大,位錯數(shù)目增加,距離減小,且體系自由能增加.在外加應變作用下,晶界位錯經(jīng)歷攀移、發(fā)射、反應湮滅等階段,體系自由能呈現(xiàn)波動.當取向差增大時,位錯運動方式由攀移向攀滑移轉變,產(chǎn)生更多類型的位錯組構型,并發(fā)生相應的位錯與位錯組之間的反應.對于不同構型的位錯反應,正切應變驅(qū)動位錯靠近,負切應變驅(qū)動位錯湮滅.

1 引言

基于密度泛函的晶體相場法[1?3](phase-fieldcrystal,PFC)能夠?qū)崿F(xiàn)擴散時間尺度與原子空間尺度的模擬,且自洽耦合了晶體點陣結構,從而被廣泛用于相結構轉變[4?6]、晶界變形與位錯機制[7,8]、反霍爾-佩奇效應[9,10]、微觀裂紋擴展[11,12]、鐵電磁復合材料的微結構[13,14]、凝固的枝晶生長[15,16]等的模擬,是探究原子尺度微觀組織演化的重要方法之一.

材料的加工變形行為與晶界、位錯等微觀缺陷的構型及運動有關.在外加應力、應變作用下,位錯將發(fā)生運動、分解[17]、反應[18],導致晶界遷移,甚至湮滅[19?21],從而影響材料的力學性能.近年來有許多關于實驗方法研究晶界和位錯的報道[22,23],但難以觀察到其運動,而通過PFC 方法能夠從理論模擬上研究位錯運動.Hirouchi 等[24]通過引入等體積法假設,實現(xiàn)了在外加應變作用下PFC 方法模擬晶界與位錯的運動,隨后的研究者在此基礎上進行了進一步研究[25?27].但由于其內(nèi)在的規(guī)律及機理較為復雜,上述研究主要討論了外在因素對晶界、位錯運動的影響.

同時,晶界、取向等特征以及缺陷引起的應變的表征對理解晶界和位錯運動有著重要意義.基于Mumford-Shah 型泛函[28]和能量泛函最小化的變分方法[29]能夠?qū)崿F(xiàn)對晶界的表征,并且上述方法還能表征缺陷周圍的應變場.為了捕獲多晶變形中的晶粒取向,通過引入小波函數(shù),利用小波變換的方法[30]可視化晶粒取向.Wang 等[31]成功地將該方法由二維推向了三維.除此之外,幾何相位法[32](geometric phase approach,GPA)和峰對法[33](peak pairs algorithm,PPA)等也能表征應變.PPA 是利用原子近鄰峰之間的關系獲得局部應變值,但對于原子位置的精確程度較高,而GPA通過計算相位場獲得應變,并兼顧兩個實虛空間的信息,不易受原子位置的干擾,從而常用于原子尺度下應變的表征[34,35].

本文采用PFC 方法模擬不同取向差下對稱傾側小角度晶界的結構及其外加應變下位錯運動和相互作用.通過位錯運動與體系自由能之間的聯(lián)系,對位錯的發(fā)射和位錯反應湮滅的過程進行研究,分析不同位錯反應的構型特征,并表征了晶界和位錯周圍的應變場分布,揭示位錯反應的內(nèi)在機理.

2 計算模擬方法

2.1 雙模晶體相場模型

采用Wu 等[36]提出的雙模PFC 模型構建四方相點陣結構,其無量綱的自由能密度函數(shù)F可以表示為

式中,ψ(r,t)作為序參量表示原子密度場,其原子位置不隨時間變化;而對于液相,時間發(fā)生改變,原子位置將發(fā)生變化,用常數(shù)表示其平均原子密度;ε為表征溫度的參數(shù),控制固-液兩相區(qū)的大小,隨著ε值減小,溫度逐漸降低;Q為次鄰近波矢幅值與最近鄰波矢幅值之比,該值由晶體結構決定;R則控制雙模與單模結構的相對穩(wěn)定性,隨著R的值增大,雙模會逐漸向單模轉變.對于本文構建的四方相Q=,R=1.

對于無量綱原子密度場ψ(r,t),在體積不變的情況下是一個保守場變量,其演化過程可通過Cahn-Hilliard[1]動力學方程來描述:

將(1)式代入(2)式得

采用半隱式Fourier 譜方法[37]對方程(3)進行數(shù)值求解.

采用雙模近似,四方相的原子密度函數(shù)的表達式為[36]

將四方相原子密度函數(shù)(4)式代入(1)式,使分別關于Asq和Bsq自由能最小化得到Asq和Bsq.經(jīng)過能量最小化后的四方相自由能密度函數(shù)表達式為

利用公切線法則,通過化學勢((6)式)與巨勢((7)式)相等,求解(6)式與(7)式的方程組,可得到如圖1 所示的雙模二維PFC 相圖.

圖1 二維四方相相圖(黑色部分為兩相共存區(qū))Fig.1.Phase diagram of the two-dimensional square lattices (the black part is the two-phase coexistence region).

2.2 模擬參數(shù)設置

以四方相為對象,所設置的模擬參數(shù)如表1 所列,平均原子密度為=?0.4 ,溫度為ε=0.45,空間步長為 Δx=Δy=π/4,時間步長為 Δt=0.5,邊界條件采用周期性邊界條件.計算時,模擬區(qū)域的大小為Lx×Ly=512Δx×512Δy,初始區(qū)域分為三部分,,?d0

表1 模擬設定的參數(shù)Table 1.Parameters in the simulation.

2.3 單軸拉伸模型

采用等體積法[24]模型,模擬不同取向四方相的形變過程,則有

式中,Δx和 Δy為初始空間步長,Δx′和 Δy′為變形后的空間步長,s為模擬區(qū)域的面積.如對體系在x方向上施加一個拉應變,經(jīng)過n個時間步長的變形后,空間步長為

2.4 晶體應變表征方法

為了反映晶界與位錯等缺陷的應變,采用GPA[32]方法對其進行表征.在GPA 方程的構造中,原子圖像的密度場I(r)可以表示為

式中,g為無畸變的參考點陣的倒格矢,r為實空間的位置矢量.通過對局部傅里葉分量Ig(r)的計算,可獲得相對于參考點陣的畸變.經(jīng)濾波后,局部傅里葉分量為

式中,Ag(r)為振幅場,Pg(r)為相位場.而Pg(r)與位移場μ(r) 關系為

其中a1和a2分別為傅里葉空間中g1與g2對應實空間的非空線的矢量.獲得位移場后,采用經(jīng)典彈性力學可求得應變場[32]:

3 模擬結果分析

為研究不同取向差的對稱傾側小角度晶界位錯構型以及外加應變下位錯運動和反應,本文先在圖1 相圖所示的相點模擬四方相雙晶的弛豫過程,得到穩(wěn)定的晶界位錯構型;其次,對弛豫后的晶體構型施加應變,觀察對應的位錯響應,分析位錯運動行為、體系自由能、位錯周圍應變場等;最后分析不同位錯反應內(nèi)在機理及與宏觀性質(zhì)的對應關系.

3.1 四方相雙晶的弛豫過程模擬

通過表1 中A 方案的參數(shù)來模擬雙晶凝固并得到穩(wěn)定晶界構型的過程,如圖2 所示.設置中間晶粒與兩側晶粒的取向差為θ=4°,其經(jīng)歷了晶界逐步接觸-晶界弛豫后形成穩(wěn)定的對稱傾側小角度晶界.中間晶粒兩側小角度晶界各由4 個伯氏矢量b相同的位錯組成,并且兩兩間距相同如圖2(d),兩行位錯伯氏矢量b方向相反、大小相同,這些位錯為刃型位錯,其半原子面與晶界平行.

圖2 θ=4°時雙晶弛豫過程的模擬 (a) t=100;(b) t=1300;(c) t=1700;(d) t=30000Fig.2.Simulation of the relaxation process of bicrystals with θ=4°:(a) t=100;(b) t=1300;(c) t=1700;(d) t=30000.

對于不同的取向差弛豫后其穩(wěn)定的晶界位錯構型,如圖3 所示.圖3 中不同顏色的點表示兩側晶界的位錯在模擬區(qū)域內(nèi)的位置,藍色與青色的折線分別表示位錯數(shù)量和位錯間距的變化.圖中看到位錯在晶界處呈直線排布,當θ=6°與θ=8°時,兩側位錯相對于區(qū)域中心對稱,但θ=4°時,位錯沿區(qū)域下部偏移.隨著取向差的增大,位錯數(shù)量增加,位錯間距減小,這與小角度對稱傾側晶界的位錯模型相符合:

圖3 不同取向差對應的位錯構型、位錯數(shù)目與位錯間距Fig.3.Dislocation configuration,number of dislocations and dislocation distance corresponding to different misorientations.

進一步觀察凝固弛豫過程中體系自由能的變化,如圖4.隨著液相的不斷消耗,體系自由能減小,隨后保持不變,表明體系達到了穩(wěn)定狀態(tài),不同取向差呈現(xiàn)相同的趨勢.但取向差越大,穩(wěn)定時體系自由能越高,可認為,隨著取向差增大,晶界能越大,而導致整個體系自由能增大.

圖4 取向差對弛豫過程體系自由能變化的影響Fig.4.Effect of misorientations on the change of free energy during relaxation process.

為了分析不同取向差下晶界位錯附近的應變分布,現(xiàn)獲得晶界處εxx分量云圖,如圖5.位錯應變場呈蝴蝶狀范圍直線排布在晶界兩側,隨著取向差的增大,單個位錯的應變范圍逐漸減小,并且晶界位錯之間的無應變區(qū)域也減小.這表明小角度晶界的取向差與晶界附近的本征應變有著很大的聯(lián)系.

圖5 不同取向差下晶界處 εxx 應變云圖 (a) θ=4°;(b) θ=6°;(c) θ=8°Fig.5.Contours of εxx strain at the grain boundary under different misorientations:(a) θ=4°;(b) θ=6°;(c) θ=8°.

3.2 取向差對外加應變下位錯運動的影響

本文采用2.2 節(jié)設置的A,B 和C 三種方案,對弛豫后的晶體結構沿x軸施加拉應變,同時在y軸施加壓應變,分析在此條件下不同晶界取向差θ對對稱傾側晶界位錯運動的影響.

如圖6 為θ=4°時晶界位錯演變.圖中黑色箭頭表示位錯的運動方向,藍色虛線框中表示位錯演化過程中對應的特征構型.為便于表示晶界發(fā)射位錯類型及后續(xù)的位錯反應,在圖6(a)標定了四方相的(11)面,并用紅色位錯符號在插圖(g)中標識四種位錯類型n1,n2,n3,n4,分別對應的伯氏矢量為:,這里,a為晶體的點陣常數(shù).

圖中看到,由于晶界位錯攀移克服晶界彈性阻礙所需的能量小于滑移,晶界位錯先沿水平方向攀移,且上下兩列位錯運動方向相反(Step 1).隨后,位錯附近原子發(fā)生預熔化,當預熔化區(qū)域達到一定寬度時,兩側晶界位錯將垂直于晶界方向同時發(fā)射出兩個大小相等方向相反的刃位錯(Step 2).

從圖6(b)可以觀察到晶界位錯分別為n1 和n2,發(fā)射位錯為n3 和n4.故上述晶界位錯分解發(fā)射為L1 型(見表2)位錯反應.隨后,晶界和發(fā)射位錯各自進行攀移,當n3 與n4 型位錯相遇時發(fā)生R1(見表2)型反應,直到n3 與n4 型位錯全部湮滅(圖6(c)中的Step 3).

圖6 應變作用下 θ=4°時晶界位錯運動模擬圖 (a) t=50;(b) t=14150;(c) t=15250;(d) t=17550;(e) t=29100;(f) t=48500.圖6(a)中插圖(g)和(h)分別表示刃位錯的類型和位錯對應的伯氏矢量類型Fig.6.Simulation of grain boundary dislocation motion under strain with θ=4°:(a) t=50;(b) t=14150;(c) t=15250;(d) t=17550;(e) t=29100;(f) t=48500.Inset (g) and (h) represent the type of edge dislocation and the Burgers vector type respectively corresponding to the dislocation in Fig.6(a).

隨后重復“Step 1→Step 2→Step 3”過程,如圖6(d)—(f)所示.但從圖6(f)可以看到下側晶界位錯不再呈直線排布,而是在垂直方向發(fā)生了滑移,這是由于R1 型反應未能使n3 與n4 型位錯全部湮滅,剩余的發(fā)射位錯和晶界位錯隨機形成位錯組,發(fā)生攀滑移,而導致下側晶界位錯位置改變

θ=6°(圖7)與θ=4°的位錯運動演化相比,仍按Step 1 和Step 2 過程進行(圖7(a)和圖7(b)).但晶界位錯不再同時分解發(fā)射出n3 與n4 型位錯,而是產(chǎn)生如圖7(b)中新的位錯組態(tài):發(fā)生L2(紅色圈)和L3(黃色圈)型(見表2)的分解發(fā)射,形成單個位錯和位錯組;褐色圈中雖然也為L1 構型,但比較于θ=4°,不再具有規(guī)則的對稱性;綠色圈中的位錯構型,未分解發(fā)射.可能原因是由于取向差增大,晶界位錯數(shù)量增加,當施加外應變時,各位錯受到的應變不再平均化,不一致的應變導致分解發(fā)射不同的位錯組態(tài).在Step 3 過程,位錯組發(fā)生分解,而對于單個位錯不再只發(fā)生攀移,而是攀移、滑移一起進行,如圖7(b)與圖7(c)中所標出的A 與B.隨后僅部分n3 與n4 型位錯相遇發(fā)生R1 構型位錯反應,如圖7(c)中紅色矩形框中所示.

表2 不同構型的位錯分解發(fā)射與位錯反應Table 2.Dislocation decomposition and dislocation reaction of different configuration.

圖7 應變作用下 θ=6°時晶界位錯運動模擬圖 (a) t=50;(b) t=15000;(c) t=16350;(d) t=19550;(e) t=23500;(f) t=26950Fig.7.Simulation of grain boundary dislocation motion under strain with θ=6°:(a) t=50;(b) t=15000;(c) t=16350;(d) t=19550;(e) t=23500;(f) t=26950.

隨著演化的進行,不再重復“Step 1→Step 2→Step 3”,而是保持原有的運動狀態(tài)進行Step 4,攀滑移時晶界位錯和發(fā)射位錯相遇時兩兩結合形成位錯組,例如圖7(d)中C 與D 位錯,結合后形成圖7(e)中的E 位錯組.這是由于發(fā)射的位錯只有部分發(fā)生反應而湮滅,模擬區(qū)域內(nèi)位錯數(shù)量較多,并部分以位錯組存在,各位錯受到的應變不足以驅(qū)使位錯分解發(fā)射.當演化進行到23500 步時,不同位錯或位錯組相遇發(fā)生如表2 中標號為R2,R3,R4,R5 的位錯反應,如圖7(e)中紅色方框中所示,為Step 5.通過上述的位錯反應,位錯發(fā)生湮滅,如圖7(f)所示,位錯數(shù)量減少,體系畸變減小,取向差趨于統(tǒng)一,但存在少量位錯,未能形成完美單晶狀.

如圖8 所示,當晶界兩側晶粒取向差增大到θ=8°時,Step 1 和Setp 2 與θ=6°時相似,但不存在未分解發(fā)射的晶界位錯,并且發(fā)射的位錯不再優(yōu)先向垂直方向進行攀移,而是如藍色實線矩形中與鄰近晶界位錯結合形成位錯組,如圖8(b)所示.這是由于取向差的進一步增大,導致晶界位錯數(shù)與分解發(fā)射的位錯數(shù)量進一步增加,晶界處位錯密度增大,晶界位錯與發(fā)射位錯之間間距減少,之間相互作用力增加,從而發(fā)射位錯優(yōu)先于晶界位錯形成位錯組.Step 3 時位錯組運動中不再分解,這表明隨著取向差的增大,晶界位錯對發(fā)射位錯的吸引力更大,當演化到t=17500 時,部分發(fā)射位錯或者與位錯組之間發(fā)生R1 和R3 構型的反應,如圖8(c).

圖8 應變作用下 θ=8°時晶界位錯運動模擬圖 (a) t=100;(b) t=16350;(c) t=17500;(d) t=20400;(e) t=25000;(f) t=34750Fig.8.Simulation of grain boundary dislocation motion under strain with θ=8°:(a) t=100;(b) t=16350;(c) t=17500;(d) t=20400;(e) t=25000;(f) t=34750.

部分位錯湮滅后繼續(xù)保持原有狀態(tài)運動,位錯組和少數(shù)單個位錯發(fā)生攀滑移,如圖8(d),為Step 4.Step 5 主要為位錯組發(fā)生R4 構型的反應,同時過程中也伴隨著R1 構型的反應,如圖8(e).隨著位錯之間的反應湮滅,畸變減小,最終未能形成單晶.

3.3 不同取向差下體系自由能變化

通過不同時刻自由能密度積分獲得了體系自由能隨時間的演化(如圖9).可以看到,體系自由能隨時間演化大致分為6 個階段(S1—S6).當θ=4°時(圖9(a)),對應3.2 節(jié)原子構型模擬結果,S1 階段對應Step 1 過程,攀移導致畸變能增加,體系自由能逐漸升高,直到最高點a點,并且此時原子也預熔化完畢;S2 階段對應Step2—Step3 過程,位錯的分解發(fā)射、反應導致攀移時所存儲的畸變能得到釋放,體系自由能降低,當發(fā)射位錯全部湮滅時,體系自由能降到最低點b點.S3—S6 階段為上述過程的重復,但c點下降到d點的后半段時存在能量的起伏波動且未達到與b點相同的最低點,是由于發(fā)生R1 型位錯反應時發(fā)射未全部湮滅.

圖9 不同取向差下體系自由能變化曲線 (a) θ=4°;(b) θ=6°;(c) θ=8°Fig.9.Variations of free energy under different misorientations:(a) θ=4°;(b) θ=6°;(c) θ=8°.

而進一步比較θ=6°和θ=8°,如圖9(b)和圖9(c)所示.S1—S2 階段能量變化依舊為其Step 1—Step 3 過程導致.而S3—S4 階段能量上升與下降的幅度相較于θ=4°時明顯降低,這是由于其未重復“Step 1→Step 2→Step 3”,而是Step 4 和Step 5 過程位錯與位錯組攀滑移以及位錯之間反應湮滅引起自由能的增加與減少.S5 和S6 階段,未湮滅完的位錯繼續(xù)攀移,體系自由能上升,當少數(shù)位錯湮滅時,能量下降到最低點.

3.4 位錯反應演化過程及應變表征

本節(jié)將通過GPA 方法構建位錯反應類型與應變之間的關系,探究誘發(fā)位錯反應的內(nèi)在因素.從晶體構型與應變關系圖10 看到,εxx和εyy應變圖中并未反映出位錯組構型,單個位錯的應變范圍較小,這是因為晶界位錯主應變主要分布在水平方向,而發(fā)射位錯分布在垂直方向.因此本節(jié)選用切應變εxy作為參考,圖11 和圖12 為R1—R5 構型位錯反應演化過程及對應的應變表征,其反應式可見表2.

圖10 含位錯組的晶體位錯構型及對應的不同應變?nèi)∠驊冊茍D (a) 晶體構型圖;(b) εxx;(c) εxy;(d)εyyFig.10.Dislocation configuration of crystals containing dislocation groups and corresponding strain contours of different strain orientations:(a) Crystal configuration diagram;(b) εxx;(c) εxy;(d) εyy.

圖11 不同位錯反應構型的演化圖 (a)—(d) R1 構型;(e)—(h) R2 構型;(i)—(l) R3 構型;(m)—(p) R4 構型;(q)—(t) R5 構型Fig.11.Evolution of different dislocation reaction configurations:(a)–(d) R1 configurations;(e)–(h) R2 configurations;(i)–(l) R3 configurations;(m)–(p) R4 configurations;(q)–(t) R5 configurations.

R1 為n3 與n4 型位錯之間 的反應.演 化過程中,位錯在y方向攀移,x方向滑移,位錯之間原子層發(fā)生錯配,并呈正切應變(圖12(b)).在正切應變的驅(qū)動下,位錯相互靠近,如圖11(a)和圖11(b).當正切應變消失后,位錯之間僅剩兩個原子層厚的預熔區(qū),呈負切應變(圖12(c)).在負切應變的驅(qū)動下,位錯湮滅,局部應變消失,如圖11(d)和圖12(d)所示.

而對于R2 反應,為晶界位錯與位錯組之間的反應,位錯組中位錯呈 90°,負切應變區(qū)重合,位錯與位錯組在y方向滑移,x軸方向攀移,之間錯配的原子層呈正切應變,中心處較兩邊應變值大,如圖11(e)和圖12(e).在正切應變驅(qū)動下,位錯與位錯組距離減小3 個原子層厚度后正切應變消失,剩下的負切應變與單個位錯的負切應變區(qū)相連(圖12(f)).隨后在負切應變的驅(qū)動下,原子層的畸變消失,n1 和n2 型位錯湮滅,得到含有標準應變分布的n3 型位錯,如圖11(h)和圖12(h).

圖12 不同位錯反應構型演化時應變(εxy)云圖 (a)—(d) R1 構型;(e)—(h) R2 構型;(i)—(l) R3 構型;(m)—(p) R4 構型;(q)—(t) R5 構型Fig.12.Strain (εxy) contours during the evolution of different dislocation reaction configurations:(a)–(d) R1 configuration;(e)–(h) R2 configuration;(i)–(l) R3 configuration;(m)–(p) R4 configuration;(q)–(t) R5 configuration.

R3 構型也為位錯與位錯組的反應,除了攀滑移方向以及應變場分布是與R2 相反,其過程和應變表征與R2 相似,最后n3 與n4 位錯湮滅,得到含有標準應變分布的n1 位錯,如圖11(i)—(l)和圖12(i)—(l).

R4 構型位錯反應為兩位錯組間的演化過程,如圖11(m)—(p).各位錯組間由呈90o的兩位錯組成.隨時間演化,位錯組沿y方向靠近,并沿x方向滑移,隨位錯組間靠近至接近2 層晶面間距,反向的n3 與n4 型位錯湮滅,并留下較大負切應變區(qū),最終驅(qū)動n1 與n2 型位錯全部湮滅,如圖11(o)與圖11(p)和圖12(o)與圖12(p).

R5 反應為n1 與n2 型位錯之間的反應,除了攀滑移方向及應變場分布與R1 相反,其過程與應變表征是與R1 相似,最后n1 與n2 型位錯湮滅見圖11(q)—(t)與圖12(q)—(t).

4 結論

本文通過晶體相場方法模擬在外應變作用下不同取向差的對稱傾側小角度晶界的位錯運動與反應,研究結果如下:

1)在外應變的作用下,不同取向差初始時均經(jīng)歷晶界位錯的攀移、分解發(fā)射以及位錯反應等過程.隨著取向差增大,位錯密度增加,產(chǎn)生更多位錯組構型,以及相應位錯組之間的反應.

2)不同取向差下體系自由能變化分為6 個階段.S1 階段,位錯攀移導致能量積累,體系自由能增加;S2 階段,位錯分解發(fā)射以及反應湮滅使能量得到釋放,體系自由能降低;S3—S6 階段為上述過程的重復.隨著取向差的增大,S3—S6 階段不再重復,而是繼續(xù)運動的位錯及位錯組的攀滑移及之間反應湮滅導致體系自由能升高與下降.

3)不同的構型位錯反應中,位錯或位錯組在正切應變的驅(qū)動下,通過攀滑移靠近.當位錯或位錯組接近時,正切應變消失,剩下的負應變驅(qū)動位錯湮滅.