王健 吳重慶

(北京交通大學(xué),發(fā)光與光信息技術(shù)教育部重點實驗室,光信息科學(xué)與技術(shù)研究所,北京 100044)

基于少模光纖的模分復(fù)用技術(shù)可使傳輸容量增加數(shù)倍,是目前光纖通信系統(tǒng)的研究熱點.當(dāng)復(fù)用模式數(shù)量較多時,模式之間的串?dāng)_可在接收端采用多輸入多輸出數(shù)字信號處理算法解決.差分模式群時延(DMGD,τDMGD)越大,算法復(fù)雜度越高,為了降低接收機的復(fù)雜度需要使用低DMGD 的少模光纖.本文提出了使用變分法分析任意芯層折射率高于包層的少模光纖,推導(dǎo)出了這類光纖中基模的模斑尺寸、各個模式歸一化傳播常數(shù)、相對于基模的DMGD 的解析表達式,以及它們與歸一化頻率和光纖制造參數(shù)的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,以梯度型少模光纖為研究對象,優(yōu)化了光纖參數(shù),得到能夠傳輸前6 個LP 模,在C 和L 波段|τDMGD|<15 ps/km 的少模光纖的優(yōu)化參數(shù)為:最大芯層折射率與包層折射率之差n1– n2 =0.01,纖芯半徑a=14 μm,折射率分布指數(shù)α=1.975.最后討論了光纖制造誤差對DMGD 的影響.

1 引言

空分復(fù)用(spatial-division multiplexing,SDM)使單纖傳輸速率從太(T)比特級向拍(P)比特級躍進,已成為通信研究的熱點.空分復(fù)用有模分復(fù)用(mode-division multiplexing,MDM)和多芯光纖(multi-core fiber,MCF)傳輸兩個關(guān)鍵技術(shù)[1],因此,基于少模光纖(few-mode fiber,FMF)的MDM 系統(tǒng)也受到了極大的關(guān)注[2?7].

MDM 系統(tǒng)在輸入端可用一個多模式輸入的矢量Pin=[p1,p2,···,pn]T描述,式中pi表示第i個模式的相對強度;在輸出端也可以用一個多模式輸出 的矢量Pout=描述,因此MDM系統(tǒng)可視為一個多輸入多輸出(multi-input multioutput,MIMO)的系統(tǒng),可用n階方陣M(稱為傳輸矩陣)表示輸出和輸入之間的關(guān)系,即Pout=MPin.

當(dāng)模間耦合較弱時,傳輸矩陣M可視為一個對角矩陣,不同模式之間的串?dāng)_能夠忽略,可以在接收端分別接收,接收機比較簡單[8,9].最初的MDM 系統(tǒng)就采用了弱耦合的階躍型折射率分布的FMF[4],它的每個簡并模式群作為一個傳輸通道.然而,弱耦合形式FMF 中可用模式較少,盡管研究人員通過改變光纖結(jié)構(gòu),設(shè)計了各種弱耦合光纖[5?7],但因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜,制作困難,與其他光纖連接時損耗較大等缺點,較少獲得應(yīng)用.

為了進一步增加復(fù)用模式的數(shù)量,通常采用多層階躍折射率分布[3,10]和漸變折射率分布[11?13]的光纖.然而這時,不可避免遇到模間耦合問題,傳輸矩陣M不再是一個對角矩陣,信道之間有明顯的串?dāng)_.為了消除串?dāng)_,在接收端采用了多輸入多輸出數(shù)字信號處理的算法解決.然而,由于每個模式的群時延(或群速度)不相同,導(dǎo)致信號到達接收端時,不僅互相串?dāng)_,而且在時域上互相分開(走離),這導(dǎo)致信號處理算法復(fù)雜,因此減小模式間的群時延差,即差分模式群時延(differential mode group delay,DMGD)是降低接收機算法復(fù)雜程度的一個重要方法,所以需要優(yōu)化光纖參數(shù),獲得一種DMGD 最小的光纖[13?16].

在優(yōu)化MDM 系統(tǒng)所用的FMF 時,不僅需要考慮DMGD 盡可能小,而且為了減小FMF 的彎曲損耗,常采用帶凹槽的漸變折射率分布[17?23].為了同時滿足低DMGD 和減小微彎損耗的要求,研究者提出了許多優(yōu)化結(jié)構(gòu).對這些優(yōu)化結(jié)構(gòu)的分析,大多數(shù)都采用數(shù)值分析的有限元法[6,7,17,21,24?26].數(shù)值方法可以得到具體的結(jié)果,但物理意義不如解析法清晰,不能反映光纖的各個參數(shù)與DMGD 的確定關(guān)系.為此,本文提出使用變分法分析任意芯層折射率高于包層的FMF[27,28],推導(dǎo)出一般結(jié)構(gòu)光纖的歸一化傳播常數(shù)的表達式,以及DMGD 與歸一化傳播常數(shù)、歸一化頻率等參數(shù)的關(guān)系,并應(yīng)用于梯度型折射率光纖,得到具有低DMGD 的梯度型的FMF.考慮到DMGD 對折射率分布敏感,制作過程中的誤差會使折射率分布偏離優(yōu)化值,從而使實際FMFs 的DMGD 明顯增大,最后討論光纖制作過程中的誤差對DMGD 的影響.

2 理論

2.1 模式場的場分布

數(shù)學(xué)上,泛函是以函數(shù)為自變量,以數(shù)值為因變量的一種集合對應(yīng)關(guān)系.變分法是通過使泛函取極值,而得到自變量函數(shù)的方法.具體到光波導(dǎo)分析中,自變量函數(shù)就是模式場的分布函數(shù),而因變量數(shù)值就是傳播常數(shù),它們之間構(gòu)成一種泛函,泛函的具體表達式就是傳播常數(shù)的積分表達式.因此,求這個泛函的極值,即可得到模式場的場分布,及相應(yīng)的傳播常數(shù).在已知泛函表達式的基礎(chǔ)上,自變量采用什么函數(shù)形式,是求泛函極值的關(guān)鍵.常用的方法是采用一個正交函數(shù)族的函數(shù),在這里可以是貝塞爾函數(shù)、拉蓋爾-高斯函數(shù)等.根據(jù)文獻[27,28],對于任意一種芯層折射率高于包層的光纖,只要滿足弱導(dǎo)條件,其LPlp模的模式場elp(r,θ)都可以用拉蓋爾-高斯函數(shù)的形式表示,即

式中s是基模的模斑尺寸,不同結(jié)構(gòu)的光纖,差別僅在于s的不同,因此得到s即可得到此種光纖的模式場;x=(r/s)2;為拉蓋爾多項式,

所以LPlp模的模式場又可以寫為

式中Elp(x)是模式場隨r變化的部分,可寫為

另外,可以把(3)式中模式場elp(r,θ)隨θ的變化看成兩個簡并模式場的疊加,兩者分別隨cos(lθ)和 sin(lθ)變化,即:

2.2 歸一化傳播常數(shù)的計算

根據(jù)模式場的亥姆霍茲方程,LPlp模傳播常數(shù)βlp的積分表達式(泛函)可寫為[27,28]

式中,k為真空中的波數(shù),n(r) 為光纖的折射率分布.利用關(guān)系式x=(r/s)2,(7)式可進一步寫為

對于基模LP01,(8)式可簡化為

把光纖的折射率分布n(x) 代入(9)式,并對其積分,可得到的表達式.這樣,(9)式已經(jīng)將泛函(7)式化簡為參數(shù)s的單一函數(shù),讓取極值,即令=0,可得到基模的模斑尺寸s.把求出的s代入(4)式可以得到一個具體FMF 高階LPlp模的Elp(x),再利用(8)式,又可以求出相應(yīng)的,最后得到這種光纖LP 模歸一化傳播常數(shù)blp為

式中n1為芯層最大的折射率,通常n1=n(0);n2為包層的折射率.

2.3 模式的群時延和差分群時延

根據(jù)(10)式,LPlp的傳播常數(shù)還可寫為

其中 2Δ=.根據(jù)LPlp模單位長度上的群時延為

得群時延的表達式為

式中V=為光纖的歸一化頻率,a為纖芯的半徑.

如果定義差分模式群時延DMGD 是高階模與基模的群時延之差,它描述了光纖的模間色散特性,利用(13)式,推導(dǎo)出DMGD 為

從(14)式可以看出:少模光纖的DMGD 由兩項組成,一項是不考慮相對折射率差Δ隨波長的變化、僅僅因為傳播常數(shù)隨歸一化頻率的變化而引起,而另一項則是由相對折射率差?Δ/?λ隨波長的變化所引起.對于階躍光纖,后者的影響較小,故可以近似認為

(15)式表明,減小 d[(blp?b01)V]/dV和相對折射率差Δ,有利于減小階躍光纖的DMGD.

計算一般FMFs 由DMGD 引起的模間色散時,除了考慮blp隨波長的變化外,還要考慮Δ隨波長λ的變化規(guī)律.對于石英材料,Sellmeier 公式給出其折射率n與波長的關(guān)系為[27]

式中A1=0.6961663,A2=0.4079426,A3=0.8974794,B1=0.068403,B2=0.1162414,B3=9.896161.

3 梯度折射率少模光纖

3.1 基模模斑尺寸和歸一化傳播常數(shù)

梯度折射率光纖是一種廣泛使用的光纖,其折射率分布的表達式為

其中K為服務(wù)器和電子鎖之間的共享密鑰，C為移動因子，TOTP算法以當(dāng)前時間戳除以時間窗口（默認60s）作為移動因子，Truncate為截斷函數(shù)，digit為指定密碼長度（默認6位）。

式中α是確定折射率變化情況的指數(shù).對于梯度折射率光纖,首要工作是計算一般梯度折射率光纖的模斑尺寸.利用x=(r/s)2,(17)式可進一步表示為

把(18)式代入(9)式可計算出:

式中A=.(20)式是梯度型光纖模斑尺寸的一般表達式.當(dāng)α=2 時,梯度折射率光纖成為平方律光纖,此時A=1,s=.圖1 表示α分別為1.5,2.0 和2.5 時,模斑尺寸與纖芯半徑之比s/a隨V的變化.從圖1 可以看出:s隨α的增大而增大,而隨V的增大而減小.在本文討論的α和V值范圍內(nèi),模斑尺寸僅為纖芯半徑的1/3 左右.

圖1 指數(shù) α 不同時,梯度折射率光纖模斑尺寸與纖芯半徑之比 s/a 隨歸一化頻率V 的變化Fig.1.Ratio of the mode size of the graded fiber to the core radius s/a as a function of normalized frequency V when the index α is different.

其次,需要分別計算各個模式的傳播常數(shù),把(20)式代入(19)式得

再把(21)式代入(10)式得

進一步,把(20)式代入(4)式得到高階LP 模的場分布Elp(x),再利用(8)式和(10)式,得到其他LP 模的歸一化傳播常數(shù)blp的表達式.前6 個LP 模blp的表達式分別為

從blp的表達式可見,對于給定的梯度光纖的冪指數(shù)α,blp是歸一化頻率V的函數(shù).當(dāng)α分別為1.5,2.0 和2.5 時,blp隨V的變化,分別如圖2(a)—圖2(c)所示.注意,對α=2 的平方律光纖,blp表達式變得非常簡單,b01=1?2/V,b11=1?4/V,b02=b21=1?6/V,b12=b31=1?8/V,所以平方律光纖LP02和LP21模、LP12和LP31模對應(yīng)的blp-V曲線分別重合,如圖2(b)所示.為了驗證變分法分析少模光纖的正確性,使用有限元法對圖2(b)中同樣參數(shù)的光纖進行了數(shù)值仿真,計算出的blp與圖2(b)中結(jié)果的一致性非常好,說明變分法分析梯度型折射率光纖是正確和精確的.此外,在已知光纖參數(shù)情況下,由前6 個LP 模的歸一化傳播常數(shù)blp的表達式可直接計算出blp,比數(shù)值方法要簡便得多.比較圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)可見,α變小時,b變小,截止時的V變大.

圖2 指數(shù)α 不同時,梯度折射率光纖歸一化傳播常數(shù)blp隨歸一化頻率V 的變化 (a) α=1.5;(b) α =2.0;(c) α=2.5Fig.2.Normalized propagation constant blp of graded index fiber as a function of normalized frequency V when the index α is different:(a) α=1.5;(b) α=2.0;(c) α=2.5.

3.2 低DMGD 梯度折射率光纖的參數(shù)優(yōu)化

對于梯度折射率光纖,根據(jù)(14)式和前6 個LP 模的blp表達式,DMGD 是波長λ,折射率n1,n2,纖芯的半徑a和描述梯度變化的指數(shù)α的函數(shù).因此優(yōu)化低DMGD 的光纖,實際上就是選擇合理選擇這些參數(shù)的值,使DMGD 盡量小.

應(yīng)該說明的是:參數(shù)λ,n1,n2和a并不是完全獨立的.光纖包層通常由石英材料制作,從(16)式可知,其折射率是λ的函數(shù),λ確定了,包層折射率n2也就確定了,所以在進行優(yōu)化時,主要是確定n1?n2或n1的值,但n1?n2又與a有關(guān),原因如下.

歸一化頻率V=的大小決定了光纖中存在的模式數(shù)量,這一點可以從圖2 看出,因此在優(yōu)化時,首先需要確定要使用的LP 模的數(shù)量,然后確定V值.本文選擇前6 個LP 模LP01,LP11,LP21,LP02,LP31和LP12作為傳輸模式,就需要考慮更高階的模式LP03,LP22,LP41及其以上的模式截止.考慮到α=2 時,模式LP31和LP12截止時的V值為8,見圖2(b),模式LP03,LP22和LP41截止時的V值為10,另外根據(jù)文獻[3]中給出的結(jié)果:DMGD 很小時,α的值在2 附近,應(yīng)選取光纖的V值大于8 小于10.給出V值范圍后,還要考慮以下兩個因素,1)V值較小時模式LP31和LP12彎曲損耗變大,這就要求V值遠離LP31和LP12的截止值8;2)為了充分保證高階模LP03,LP22和LP41截止,V值應(yīng)比10 稍小一些.綜合以上兩個因素后,并考慮到n1?n2和a的實際取值范圍,這里取V=9.66 .在V確定的條件下,對于某一波長的入射光,n1?n2和a的關(guān)系是確定的,因此優(yōu)化參數(shù)時,a和n1?n2中只取其中一個即可,這里取a.

這樣能夠獨立選擇的優(yōu)化參數(shù)是λ,a和α.設(shè)入射光的波長λ=1.55 μm,將前6 個LP 模的blp代入(14)式,并利用(16)式,計算LP11,LP21,LP02,LP31和LP12的DMGD 隨α和a的變化,得到LP11的DMGD 曲線如圖3 所示.其他模式的曲線也類似,只是DMGD 值大一些,為簡便不再繪制.從圖3 可以看出:DMGD 對α的變化非常敏感,當(dāng)α=1.975 時,DMGD 最小;相比之下,DMGD 隨a的變大而緩慢變小,a越大DMGD 的變化越緩慢.為了便于比較,給出了α為最優(yōu)數(shù)值,即α=1.975 時,不同LP 模相對于基模的DMGD隨a的變化,如圖4 所示.從圖4 可以看出:LP11的DMGD 最小,LP21和LP02的DMGD 值基本相等,曲線重合,處于中間位置,LP31和LP12的DMGD 值也基本相等,曲線也重合,處于最大位置.此外,當(dāng)a>15 μm 時,6 個LP 模的DMGD都小于2 ps/km.應(yīng)該指出:使LP11模的DMGD等于零時的α作為最優(yōu)值更為理想,但由于α制造誤差較大(見后面的討論),這種對α更精細的調(diào)整意義不大.

圖3 LP11 模的DMGD 隨α 和a 的變化Fig.3.DMGD of LP11 mode as a function of α and a..

圖4 λ=1.55 μm,α=1.975 時DMGD 隨a 的變化Fig.4.DMGD as a function of a when λ=1.55 μm,α=1.975.

在優(yōu)化時,還要計算DMGD 隨波長的變化.圖5 是a=14 μm,n1?n2=0.01 ,α=1.975 時,DMGD 隨波長的變化.在C+L 波段(1.530—1.625 μm),V的變化范圍為9.77—9.20,滿足僅傳輸前6 個LP 模的條件.從圖5 可以看出:LP11的|τDMGD|<5 ps/km,LP21和 LP02的|τDMGD|<10 ps/km,LP31和LP12的|τDMGD|<15 ps/km,這樣低的DMGD 非常理想.

圖5 DMGD 隨波長的變化Fig.5.DMGD as a function of wavelength.

1)α值相對獨立,最容易確定,正如上面所討論的,取α=1.975 .2)在V不變情況下,纖芯半徑a越大,n1?n2越小,LP 模對彎曲越敏感,從這個角度看應(yīng)讓a較小,n1?n2較大.但a變小時模有效面積又變小,為了使基模的Aeff>100 μm2,a應(yīng)該大于12.5 μm,于是取a=14 μm.按照V=9.66,入射光波長λ=1.55 μm,最后確定n1?n2=0.01 .

最后討論光纖制造誤差對DMGD 的影響.根據(jù)文獻[4]給出的光纖制造時纖芯折射率n1、半徑a和α值的三倍標(biāo)準差 3σ(σ表示標(biāo)準差)分別為5×10?4,0.5 μm 和0.02,可計算出入射光波長λ=1.55 μm,參數(shù)值n1?n2=0.01 ,a=14 μm,α=1.975時,制造誤差偏離上述3 個參數(shù)值分別為±σ,±2σ和±3σ情況下,LP31和LP12的DMGD的變化,這兩個模式是6 個模式中DMGD 最大的,對制造誤差也是最敏感的,具體計算結(jié)果如圖6 所示.由于纖芯折射率和半徑制造誤差引起DMGD的變化較小,而α誤差引起的變化較大,為了能清晰地看出光纖各參量誤差對DMGD 的影響,圖中繪制了兩個y軸,分別表示折射率和纖芯半徑誤差,以及α誤差引起的DMGD 變化.從圖6 可以看出,DMGD 對α變化非常敏感,制造誤差會使實際FMFs 的DMGD 明顯增大,為此將兩個具有相反DMGD 的FMF 相連接,通過選擇合適的延時、延時斜率和光纖長度,可以構(gòu)造出實際DMGD 較小的光纖補償鏈路.

圖6 DMGD 隨折射率、芯區(qū)半徑和α 值制造誤差的變化Fig.6.DMGD as a function of manufacturing errors of refractive index,core radius and α value.

4 結(jié)論

提出了使用變分法分析任意芯層折射率高于包層的FMF 傳輸特性的方法,包括模式場分布、傳播常數(shù)和DMGD.以梯度折射率光纖為研究對象,推導(dǎo)出了不同冪次梯度型光纖的基模模斑尺寸和歸一化傳播常數(shù)的解析表達式,分析了DMGD隨光纖參數(shù)的變化規(guī)律,說明了光纖參數(shù)的優(yōu)化方法.得到了能夠傳輸前6 個LP 模的FMF 在C 和L 波段的優(yōu)化參數(shù):n1?n2=0.01,a=14 μm,α=1.975.最后討論了光纖制造誤差對DMGD 的影響,證實了α值對DMGD 的影響最大,并指出可以將兩個具有相反DMGD 的實際FMF 連接作為補償鏈路,部分抵消由于α制造誤差產(chǎn)生的高DMGD.