徐紅萍 賀真真 魚自發(fā) 高吉明

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

研究了玻色-費米超流混合體系中的相互作用調(diào)制隧穿動力學特性,其中玻色子位于對稱雙勢阱中,費米子位于對稱雙勢阱中心的簡諧勢阱中.采用雙模近似方法得到描述雙勢阱玻色-愛因斯坦凝聚的動力學特性方程組,并將其與簡諧勢阱中分子玻色-愛因斯坦凝聚的Gross-Pitaevskii 方程進行耦合.通過對不同參數(shù)下玻色-費米混合體系中的隧穿現(xiàn)象進行數(shù)值研究,發(fā)現(xiàn)簡諧勢阱中費米子與雙勢阱中玻色子的相互作用使雙勢阱玻色-愛因斯坦凝聚的隧穿動力學特性更加豐富.不但驅(qū)使雙勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚從類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變?yōu)楹暧^量子自囚禁,而且宏觀量子自囚禁表現(xiàn)為三種不同的形式:相位與時間呈負相關(guān)并隨時間單調(diào)減小的自囚禁、相位隨時間演化有界的自囚禁以及相位與時間呈正相關(guān)并隨時間單調(diào)增大的自囚禁.

1 引言

20 世紀80 年代以來,量子光學發(fā)展了若干種方法:冷原子云釋放再捕獲(release and recapture,RR)[1]、冷原子云受迫振蕩[2]、冷原子光譜分析[3]、非平衡四波混頻[4]、飛行時間光譜(time of flight,TOF)[5]和二維飛行時間吸收成像[6]等.目前,實驗上不僅實現(xiàn)了稀薄超冷原子氣體的玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,BEC)[1],還實現(xiàn)了雙組份超冷玻色-費米混合氣體的量子簡并,如:7Li-6Li[2],41K-40K[3],23Na-6Li[4],87Rb-6Li[5]和87Rb-40K[6]體系.超冷多體量子簡并氣體促進了當前原子分子物理、凝聚態(tài)物理、光學物理和量子信息等領(lǐng)域的研究.超冷原子氣體在實驗上的可控性(如利用Feshbach 共振技術(shù),通過調(diào)節(jié)外部磁場來改變原子間相互作用,以及操控光晶格外勢對系統(tǒng)進行周期調(diào)制,改變原子在不同格點的占據(jù)數(shù)和躍遷等)吸引研究者對該體系中的動力學特性展開了大量研究.在理論上,人們在對超冷雙組份混合氣體的研究中發(fā)現(xiàn)了一系列奇特的現(xiàn)象:約瑟夫森振蕩、隧穿現(xiàn)象、渦旋[7]、對稱性破缺[8]、孤子[9]、超固體[10]、超流體[11,12]、安德森局域化[13]、量子液滴[14]等.

宏觀量子隧穿顯示了量子多體波函數(shù)的聚集隧穿行為,在各種系統(tǒng)中都被研究過.兩個弱耦合BEC 之間的量子隧穿包括約瑟夫森振蕩、非線性朗道-齊納隧穿[15]、Rosen-Zener 隧穿[16]等.特別地,隨著時間的演化,在對稱雙勢阱中的BEC 的大多數(shù)粒子局域在一個勢阱中,表現(xiàn)出高度不對稱的宏觀量子自囚禁現(xiàn)象(macroscopic quantum self-trapping,MQST)[17].量子隧穿現(xiàn)象中很多參數(shù)在實驗上可以被直接調(diào)節(jié),如:基態(tài)能量差、隧穿系數(shù)、粒子數(shù)等,因此超冷原子氣體背景下的宏觀量子隧穿現(xiàn)象的研究受到了廣泛關(guān)注.光晶格中費米超流氣體約瑟夫森振蕩現(xiàn)象的研究為探究整個Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)超流端到BEC 端渡越區(qū)中的費米超流體提供了難得的機會.在實驗方面,研究者們在光晶格中觀察、研究了玻色-費米混合體系的輸運現(xiàn)象.但是,在不同勢阱中具有種間、種內(nèi)相互作用的玻色-費米混合體系的動力學研究很少受到關(guān)注.

本文利用雙模近似研究了玻色-費米超流混合物中的相互作用調(diào)制隧穿動力學,其中對稱雙勢阱中玻色子的隧穿性質(zhì)受到位于雙勢阱中心的簡諧勢中的費米子相互作用的調(diào)制.首先利用雙模近似求解耦合含時Gross-Pitaevskii (GP)方程,得到系統(tǒng)的動力學方程組,在不同的參數(shù)下繪制了0-模和 π-模下的動力學相圖,并對這些相圖進行了分析.發(fā)現(xiàn)簡諧勢阱中費米子與雙勢阱玻色子的相互作用,豐富了雙勢阱BEC 的隧穿動力學特性.不但通過改變不同的初始參數(shù)使雙勢阱BEC 從類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變?yōu)镸QST,而且發(fā)現(xiàn)MQST 表現(xiàn)為三種不同的形式.

2 物理模型

基于玻色-費米混合體系的實驗和理論研究,探究了玻色-費米超流混合體系的隧穿動力學.其中弱排斥相互作用的玻色原子氣體囚禁于雙勢阱中,在雙勢阱中心位置處對稱放置的簡諧勢阱中囚禁了粒子數(shù)相等的雙組份費米氣體.當體系的溫度足夠低時,對于粒子數(shù)足夠多且處于同一量子態(tài)的玻色原子,可以用GP 方程來描述其動力學特性.對于簡諧勢阱中的費米氣體,利用Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)費米原子間的相互作用可以實現(xiàn)從BCS 超流端渡越到BEC 端.此時,贋自旋方向向上和向下的兩個費米原子構(gòu)成了弱相互作用的兩體束縛態(tài).遠離幺正區(qū)域時,處于BEC 端的費米氣體可以看作弱相互作用的分子BEC,因此BEC端的費米氣體也可以用GP 方程來描述.這里僅探究一維的情況,耦合含時玻色-費米超流混合物在零溫時可以用如下GP 方程來表述[18?20]:

其中,ψb(x,t)和ψf(x,t)分別為玻色子和費米子的序參量,滿足=Nb,f,Nb,Nf分別為玻色子和費米子的原子數(shù);mf為費米子的質(zhì)量;玻色子的質(zhì)量mb=2mf;參照文獻[15],取雙勢阱VD=(1/2)mω2x2+,簡諧勢阱VH=(1/2)×mω2x2,d為雙勢阱的勢壘高度,ω為簡諧勢的捕獲頻率,σ為高斯勢壘寬度;gb=為玻色-玻色種內(nèi)相互作用系數(shù),gf=為費米-費米種內(nèi)相互作用系數(shù),gbf=為玻色-費米種間相互作用系數(shù),mR=mbmf/(mb+mf)為約化質(zhì)量,abb,aff和abf分別為玻色-玻色散射長度、費米-費米散射長度和玻色-費米間散射長度.取簡諧振蕩的無量綱單位=mf=ω=1 .

雙模近似方法在研究雙勢阱中BEC 的動力學特性時被廣泛使用[21?23].在弱耦合極限下,采用雙模近似,雙勢阱中玻色原子凝聚體的序參量ψb(x,t)可以寫為

將方程(3)代入到方程(1)中,在方程兩邊分別乘以ψ1(x)和ψ2(x),然后在全空間積分,利用正交歸一條件,可以得到b1,2(t),θ1,2(t)所滿足的動力學方程:

其中,

通過把b1,2(t)的表達式代入到(4)式和(5)式,分離虛部和實部,再把方程(3)代入到方程(2)中,可以得到玻色-費米超流混合體系最終的演化方程:

3 數(shù)值模擬

目前,各研究小組已經(jīng)研究了雙組份BEC 在雙勢阱中的玻色-玻色隧穿動力學[24,25]、費米-費米隧穿動力學[26]及玻色-費米隧穿動力學[27].研究結(jié)果表明,玻色-愛因斯坦凝聚的隧穿動力學大致可以分為3 種模式:1)0 相位振蕩模式(0-模),即粒子布居數(shù)差在一個周期內(nèi)的平均值〈Zb(t)〉=0,相位平均值〈φb(t)〉=0 的振蕩模式;2) π 相位振蕩模式(π-模),即粒子布居數(shù)差在一個周期內(nèi)的平均值〈Zb(t)〉=0,相位平均值〈φb(t)〉=π 的振蕩模式;3) MQST 模式,即粒子布居數(shù)差在一個周期內(nèi)的平均值〈Zb(t)〉≠0 ,相位平均值可以為正負、零或π的振蕩模式.下面對以上3 種模式進行詳細討論.

1) 雙勢阱中的初始粒子數(shù)Nb對0-模的影響

當Nb=0.3Nf時,玻色原子數(shù)較小,原子間相互作用較弱,原子可以自由地在兩個勢阱中來回隧穿.雙勢阱中玻色子的粒子布居數(shù)差隨時間的變化表現(xiàn)為正弦振蕩,相位隨時間的變化是有界的,Zb-φb相圖表現(xiàn)為一個封閉的圓圈,這種振蕩模式被稱為類約瑟夫森振蕩,如圖1(a)所示.當Nb=Nf時,隨著玻色原子數(shù)增加,原子間排斥相互作用增強,粒子隧穿效應受到抑制,進而局域在雙勢阱的某一側(cè),體系進入了自囚禁狀態(tài),具體表現(xiàn)為〈Zb(t)〉Zb(0),相位隨時間演化是有界的,此時Zb-φb相圖是封閉的,稱這種囚禁模式為MQST2模式,如圖1(d)所示.當Nb=7Nf時,體系仍然處于自囚禁狀態(tài)〈Zb(t)〉>Zb(0),此時相位與時間呈正相關(guān),并隨時間單調(diào)增大,此時Zb-φb相圖不再封閉,稱此囚禁模式為MQST3模式,如圖1(e)所示.

圖1 0-模時雙勢阱玻色子初始粒子布居數(shù)差 Zb(t)和相對相位 φb(t)隨時間 t 的變化關(guān)系,以及 Zb-φb相圖 (a)Nb=0.3Nf;(b)Nb=Nf;(c) Nb=2.2Nf;(d)Nb=5.5Nf;(e)Nb=7Nf.(a)—(e)圖中的初始條件為 Zb(0)=0.6,φb(0)=0,Nf=260,gb=2×10?4,gf=2×10?4,gbf=2×10?2Fig.1.For zero mode,population imbalance change with time t,phase change with t and population imbalance change with the phase of the double-well:(a)Nb=0.3Nf;(b) Nb=Nf;(c) Nb=2.2Nf;(d)Nb=5.5Nf;(e)Nb=7Nf.For (a)–(e) figures the initial condition is set to Zb(0)=0.6,φb(0)=0 ,Nf=260,gb=2×10?4 ,gf=2×10?4 ,gbf=2×10?2 .

2) 雙勢阱中初始粒子數(shù)Nb對 π-模的影響

如圖2 所示,雙勢阱中玻色子的振蕩開始表現(xiàn)為類約瑟夫森振蕩,隨玻色原子數(shù)的增加依次由MQST2模式轉(zhuǎn)變?yōu)镸QST1模式再回到類約瑟夫森振蕩,最后進入MQST3模式.然而0-模時體系開始表現(xiàn)為類約瑟夫森振蕩,之后隨著玻色原子數(shù)的增加,經(jīng)歷由MQST1模式到類約瑟夫森振蕩再到MQST2模式的轉(zhuǎn)變,最后進入MQST3模式,其中MQST1模式時〈Zb(t)〉Zb(0).而對于 π-模,MQST1模式時〈Zb(t)〉>Zb(0),MQST3模式時〈Zb(t)〉

4 相圖和相變分析

已經(jīng)分析了當費米粒子數(shù)不變,0-模和 π-模時雙勢阱中玻色粒子數(shù)目對雙勢阱中BEC 隧穿動力學的影響.接下來,當費米粒子數(shù)目Nf=300 時,改變玻色粒子布居數(shù)差,得到了Zb-φb平面內(nèi)的相圖,如圖3 所示.當Nb=10 時,體系在0-模及 π-模時只存在類約瑟夫森振蕩,如圖3(a)所示.當Nb=30時,體系存在3 種振蕩模式:0-模時,當Zb(0)較小時,體系處于類約瑟夫森振蕩;隨Zb(0)的增大,體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1模式轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變的臨界值為Zb(0)=0.92.π-模時,當Zb(0)較小時,體系處于MQST2模式;隨著Zb(0) 的增大,體系由MQST2模式向類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變的臨界值為Zb(0)=0.87,如圖3(b)所示.當Nb=300時,0-模時與圖3(b)的演化過程相同,但是體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.58; π-模時,體系只存在自囚禁模式,體系由MQST1向MQST2模式轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.8,如圖3(c)所示.當Nb=600 時,0-模時體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.65; π-模時與圖3(b)和圖3(c)的演化不同,體系一開始處于類約瑟夫森振蕩,當Zb(0) 增大到0.83 時,體系向MQST3模式轉(zhuǎn)變,如圖3(d)所示.當Nb=1800 時,0-模時體系只存在自囚禁模式,體系由MQST3向MQST2模式轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.51; π-模時與圖3(d)的演化過程相同,但是體系由類約瑟夫森振蕩向MQST3轉(zhuǎn)變的臨界值為0.27,如圖3(e)所示.進一步增加玻色粒子數(shù)目,當Nb=2100 時,體系又重復圖3(e)的過程,如圖3(f)所示.

由圖3 的相圖可以看到,0-模時,隨玻色粒子數(shù)增加,體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1模式轉(zhuǎn)變的臨界值先減小后增大,最后僅存在自囚禁相.由此說明玻色粒子數(shù)增加抑制了雙勢阱中BEC的隧穿效應.同時,簡諧勢阱中的費米原子豐富了雙勢阱BEC 動力學,使其出現(xiàn)了3 種不同特征的MQST 模式.而 π-模時情況較復雜,玻色粒子數(shù)較小時,體系由MQST2模式向類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變;增大玻色粒子數(shù),體系只存在自囚禁模式;進一步增大玻色粒子數(shù),體系由類約瑟夫森振蕩向MQST3模式轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變的臨界值隨玻色粒子數(shù)增加而減小.

簡諧勢阱中費米子對雙勢阱中玻色子的調(diào)制與二者之間的相互作用能有關(guān),然而粒子數(shù)比值Nb/Nf和相互作用強度gb,gf,gbf都會影響二者之間的耦合強度,進而共同調(diào)制雙勢阱BEC 的隧穿動力學.圖4 展示了雙勢阱BEC 在粒子數(shù)比值Nb/Nf和相互作用強度gb,gbf下的相圖.除了前面討論的增加Nb可以使雙勢阱BEC 由類約瑟夫森振蕩向自囚禁轉(zhuǎn)變外,從圖4 可以得出,固定Nb/Nf之值,增大gb和gbf的值也能使體系產(chǎn)生由類約瑟夫森振蕩向自囚禁相的轉(zhuǎn)變.

圖4 (a),(c)0-模和(b),(d)π-模時,Nb/Nf-gb 和Nb/Nf-gbf 平面內(nèi)的相圖,其中(a),(b)參數(shù)為 gf=2×10?4,gbf=2×10?2;(c),(d)參數(shù)為 gb=2×10?4,gf=2×10?4Fig.4.For (a),(c) zero mode and (b),(d) π mode,the phase diagram in the Nb/Nf-gb and Nb/Nf-gbf plane with (a),(b)gf=2×10?4,gbf=2×10?2 and (c),(d) gb=2×10?4,gf=2×10?4.

5 結(jié)論

本文研究了玻色-費米超流混合物的隧穿動力學特性,其中玻色子位于雙勢阱中,費米子位于雙勢阱中心的簡諧勢阱中.利用雙模近似方法得到描述雙勢阱BEC 的動力學特性方程組,并將其與描述簡諧勢阱中分子BEC 的GP 方程進行耦合,通過數(shù)值模擬討論了玻色-費米超流混合物相互作用調(diào)制的隧穿動力學特性.研究發(fā)現(xiàn),通過改變體系的初始參數(shù),如玻色粒子數(shù)、費米粒子數(shù)、玻色子間相互作用強度、費米子間相互作用強度、玻色-費米間相互作用強度以及粒子布居數(shù)差和相對相位,都能使雙勢阱中的BEC 由類約瑟夫森振蕩向自囚禁模式轉(zhuǎn)變.0-模時隨著玻色原子數(shù)的增加,體系依次經(jīng)歷了以下變化:類約瑟夫森振蕩→相位隨時間單調(diào)減小并始終小于零的自囚禁(MQST1)→類約瑟夫森振蕩→相位隨時間在有界范圍內(nèi)變化的自囚禁(MQST2)→相位隨時間單調(diào)增大并始終大于零的自囚禁(MQST3). π-模時隨著玻色原子數(shù)的增加,體系依次經(jīng)歷了以下變化:類約瑟夫森振蕩→相位有界的自囚禁(MQST2)→相位隨時間單調(diào)減小并始終小于零的自囚禁(MQST1)→類約瑟夫森振蕩→相位隨時間單調(diào)增大并始終大于零的自囚禁(MQST3).以上變化過程與雙勢阱中BEC 的隧穿特性顯著不同.由此可以得出,位于雙勢阱中心簡諧勢阱中的費米子與雙勢阱中玻色子之間的相互作用豐富了雙勢阱BEC 的隧穿動力學特性.