李思嬌，王 一，王 兵，林澤樺，閔金偉

(江西理工大學(xué) 土木與測(cè)繪工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

0 前 言

模糊數(shù)學(xué)是以不確定的事物為研究對(duì)象，承認(rèn)其模糊性，從多個(gè)要素對(duì)被評(píng)判事物的等級(jí)進(jìn)行綜合評(píng)判的方法。層次分析法是由Thomas L.Saaty教授提出的一種決策方法，簡(jiǎn)稱AHP，因思路清晰、系統(tǒng)性強(qiáng)等特點(diǎn)成為人們思考問題和解決問題時(shí)的手段，模糊數(shù)學(xué)和層次分析法結(jié)合不僅考慮因素更加周全、主觀影響程度較低，而且可以很好地將專家的想法融合到?jīng)Q策流程中。贛州古城墻是珍貴的國(guó)家級(jí)文物，但目前的人為和自然因素導(dǎo)致城墻病害嚴(yán)重破壞了古城墻的文物價(jià)值。因此，對(duì)古城墻病害進(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)價(jià)十分迫切，對(duì)于磚土復(fù)合結(jié)構(gòu)類型的文物保護(hù)具有十分重要的參考意義。

1 古城墻病害評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

1.1 指標(biāo)體系建立原則

因贛州古城墻病害情況復(fù)雜，對(duì)其進(jìn)行病害等級(jí)評(píng)價(jià)需要較為公正且科學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，指標(biāo)必須要清楚地反映古城墻目前的病害狀態(tài)，盡可能減小誤差。故在選取指標(biāo)時(shí)需遵循目的性原則、定性定量相結(jié)合原則、重點(diǎn)性原則、可行性原則和科學(xué)性原則。

1.2 病害分級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)選取及體系構(gòu)建

目前贛州古城墻的病害主要有裂縫、苔蘚、根系植物破壞和覆蓋、墻體變形、泛堿、磚石風(fēng)化和砂漿缺失等。根據(jù)實(shí)際情況，從古城墻墻體外部形態(tài)指標(biāo)、墻體力學(xué)性能指標(biāo)、裂縫發(fā)育程度指標(biāo)3個(gè)方面進(jìn)行病害分級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)的選取。選取苔蘚面積、泛堿面積、植物覆蓋面積、磚石風(fēng)化面積作為反映贛州古城墻墻體美觀程度的4個(gè)指標(biāo)，采用青磚回彈值和砂漿回彈值作為墻體力學(xué)性能的指標(biāo)，裂縫發(fā)展程度的主要指標(biāo)是裂縫的長(zhǎng)度、寬度、裂縫分布密度和裂縫位置及走向4個(gè)指標(biāo)。根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)的選取，建立贛州古城墻病害分級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系如圖1所示。

圖1 贛州古城墻病害分級(jí)指標(biāo)體系

2 古城墻病害指標(biāo)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

國(guó)內(nèi)磚石類古建筑與贛州古城墻情況較為類似，模糊評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)大部分是采取的四個(gè)等級(jí)。本文也采用四個(gè)等級(jí)，分別為微弱損傷(A級(jí))、輕度損傷(B級(jí))、中度損傷(C級(jí))、重度損傷(D級(jí))，根據(jù)以往研究及古城墻結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，總結(jié)出古城墻病害評(píng)價(jià)指標(biāo)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示。

表1 古城墻病害指標(biāo)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)表

3 明確隸屬函數(shù)

隸屬度的取值區(qū)間在0～1，其數(shù)值越靠近1，說明該評(píng)價(jià)指標(biāo)屬于某等級(jí)的程度越高，隸屬度數(shù)值越靠近0，說明該評(píng)價(jià)指標(biāo)屬于某等級(jí)的程度越低。目前，確定隸屬函數(shù)常見的方法有：模糊統(tǒng)計(jì)法、公式法、專家評(píng)定法和二元對(duì)比排序法等。本文中定量指標(biāo)的隸屬度函數(shù)使用公式法確定，常用的模糊分布函數(shù)包括矩形分布、正態(tài)分布、柯西分布、梯形分布等[1]。

墻體力學(xué)性能指標(biāo)中的磚回彈值和砂漿回彈值與古城墻病害損傷程度呈負(fù)相關(guān)，墻體力學(xué)性能指標(biāo)評(píng)價(jià)隸屬函數(shù)采用降半梯形分布隸屬函數(shù)，其中x為實(shí)際測(cè)量值，a1,a2,a3,a4分別為分級(jí)評(píng)價(jià)中A、B、C和D級(jí)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值。古城墻某病害指標(biāo)相對(duì)應(yīng)于A、B、C和D級(jí)的隸屬函數(shù)公式如(1)～(4)所示。

A級(jí)：

(1)

B級(jí):

(2)

C級(jí):

(3)

D級(jí):

(4)

裂縫長(zhǎng)度、裂縫寬度和裂縫分布密度這三個(gè)指標(biāo)與古城墻病害程度呈正相關(guān)，本文采用升半梯形分布隸屬函數(shù)，由此可建立古城墻某病害指標(biāo)相對(duì)應(yīng)于A、B、C和D級(jí)的隸屬函數(shù)公式如(5)～(8)所示。

A級(jí)：

(5)

B級(jí)：

(6)

C級(jí)：

(7)

D級(jí)：

(8)

本文使用專家評(píng)定法確定古城墻各段定性指標(biāo)的隸屬度，取值如表2所示。

表2 古城墻定性評(píng)價(jià)指標(biāo)隸屬度數(shù)值表

通過公式對(duì)古城墻病害的定量指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，數(shù)值如表3所示。

表3 古城墻定量評(píng)價(jià)指標(biāo)隸屬度數(shù)值表

4 明確指標(biāo)權(quán)重

層次分析法[2]是定性與定量相結(jié)合的綜合決策方法，通過將指標(biāo)兩兩比較，經(jīng)過數(shù)學(xué)計(jì)算間接得到各指標(biāo)的權(quán)重。具體步驟有：確定判斷矩陣、計(jì)算權(quán)重和進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

4.1 構(gòu)造判斷矩陣

判斷矩陣是根據(jù)二級(jí)準(zhǔn)則層和一級(jí)準(zhǔn)則層中同一級(jí)同一類的各指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較的結(jié)果，成對(duì)比較時(shí)根據(jù)1～9級(jí)比例標(biāo)尺進(jìn)行賦值，進(jìn)而構(gòu)成判斷矩陣，九級(jí)比例標(biāo)尺如表4所示。

表4 層次分析法評(píng)價(jià)尺度表

在贛州古城墻病害評(píng)價(jià)中，對(duì)同一層次的各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)成判斷矩陣A=(aij)n×n。

A=[a11…a1n

? ? ?

an1…ann]

(9)

在矩陣中，aii=ajj=1,aij=1/aji。

4.2 計(jì)算權(quán)重

根據(jù)所構(gòu)造的判斷矩陣，求解判斷矩陣的最大特征值和特征向量，并采用和積法計(jì)算權(quán)重，分為以下四個(gè)步驟：

1)將矩陣A中的元素歸一化，公式如下。

(10)

2)求歸一化后的矩陣中同一行各元素的和：

(11)

3)將相加以后的和除以n就得到權(quán)重向量：

(12)

4)通過公式來計(jì)算最大特征根，(Aw)i指向量Aw的第i個(gè)分量：

(13)

4.3 一致性檢驗(yàn)

由于處理對(duì)象的復(fù)雜性以及人的認(rèn)知決策存在差異性，可能會(huì)導(dǎo)致各指標(biāo)之間的順序矛盾，導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷矩陣經(jīng)不起推敲，無法應(yīng)用到?jīng)Q策之中，因而對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)十分重要。

判斷矩陣A的一致性指標(biāo)C.I.的計(jì)算公式和平均隨機(jī)一致性指標(biāo)C.R.的計(jì)算公式如下：

(14)

(15)

式中，C.I.為一致性指標(biāo)；λmax為判斷矩陣A的最大特征值；n為判斷矩陣A的階數(shù)；C.R.為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)；R.I.為隨機(jī)一致性指標(biāo)

R.I.的取值則根據(jù)矩陣A的階數(shù)在隨機(jī)一致性指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)表5中取值。

表5 隨機(jī)一致性指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)取值表

當(dāng)C.R.為0時(shí)，將矩陣A確定為完全一致性矩陣；當(dāng)C.R.小于0.1時(shí)，稱矩陣A為滿意一致性矩陣；當(dāng)C.R.大于0.1時(shí)，則認(rèn)為矩陣A不具有一致性，那么需要修改判斷矩陣A中的各個(gè)取值。

4.4 贛州古城墻病害指標(biāo)權(quán)重計(jì)算

根據(jù)上述步驟進(jìn)行計(jì)算，總結(jié)得到贛州古城墻一級(jí)指標(biāo)的二級(jí)指標(biāo)的權(quán)重分配情況如表6所示。

表6 贛州古城墻病害分級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重表

5 選取模糊合成算子及評(píng)判結(jié)果處理

5.1 模糊合成算子的選取

模糊綜合評(píng)判的基本模型如公式(16)所示：

(16)

式中，B為總體綜合評(píng)判矩陣；W為權(quán)重向量；°為模糊合成算子；R為綜合評(píng)判矩陣。

模糊合成算子[3]的類型有主因素決定型、主因素突出型和加權(quán)平均型等，贛州古城墻病害等級(jí)評(píng)價(jià)為二級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)，要考慮多因素之間的相互影響，因而選擇加權(quán)平均型進(jìn)行計(jì)算。

5.2 綜合評(píng)判結(jié)果處理

當(dāng)進(jìn)行完以上所有步驟后，得到一組與評(píng)價(jià)等級(jí)相對(duì)應(yīng)的隸屬度數(shù)值，稱為綜合評(píng)判向量B。在確定最終評(píng)價(jià)等級(jí)時(shí)，最常用的方法為最大隸屬度原則，該方法簡(jiǎn)便明了，應(yīng)用廣泛，但未充分利用到向量B所獲取的其他信息。另一種識(shí)別方法叫做貼近度法，它表示兩個(gè)模糊集之間的相似程度的度量。貼近度包含對(duì)稱貼近度和非對(duì)稱貼近度，非對(duì)稱貼近度考慮到了多等級(jí)結(jié)構(gòu)的綜合評(píng)價(jià)，較適用于贛州古城墻的病害等級(jí)評(píng)判。

贛州古城墻病害分級(jí)模型為多層次不同等級(jí)模型，如果最終評(píng)價(jià)隸屬值之間相差較大可選擇最大隸屬度法，如最終評(píng)價(jià)隸屬值之間相差不大甚至較為接近，則使用非對(duì)稱貼近度法進(jìn)行結(jié)果評(píng)價(jià)。

贛州古城墻病害等級(jí)分為以下四種：A級(jí)：微弱損傷，不修繕；B級(jí)：輕度損傷，低密度檢測(cè)，可不修繕；C級(jí)：中度損傷，中密度檢測(cè)，考慮修繕；D級(jí)：重度損傷，高密度檢測(cè)，立即修繕。

6 古城墻病害等級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)

6.1 古城墻病害一級(jí)指標(biāo)綜合評(píng)判

對(duì)一級(jí)指標(biāo)做綜合評(píng)判，模糊合成算子采用加權(quán)平均法計(jì)算，公式為：

(17)

式中，Bi為一級(jí)指標(biāo)綜評(píng)判矩陣；Wi為一級(jí)指標(biāo)權(quán)重向量；Ri為一級(jí)指標(biāo)隸屬矩陣。

表7為古城墻病害一級(jí)指標(biāo)的綜合評(píng)判矩陣表。

表7 一級(jí)指標(biāo)綜合評(píng)判矩陣表

6.2 古城墻病害等級(jí)綜合評(píng)判

根據(jù)一級(jí)指標(biāo)綜合評(píng)判矩陣，構(gòu)造總體綜合評(píng)判矩陣R，R是以B1，B2，B3為行的模糊矩陣，即：

(18)

式中，R為綜合評(píng)判矩陣；B1為墻體外部形態(tài)指標(biāo)綜合評(píng)判矩陣；B2為墻體回彈值指標(biāo)綜合評(píng)判矩陣；B3為裂縫發(fā)育指標(biāo)綜合評(píng)判矩陣。

根據(jù)公式構(gòu)造總體綜合評(píng)判矩陣R，得到古城墻總體綜合評(píng)判矩陣如表8所示。

表8 古城墻各段總體綜合評(píng)判矩陣表

模糊綜合評(píng)判的基本模型如公式(19)所示：

(19)

根據(jù)上述結(jié)果，二級(jí)權(quán)重向量W=[0.110，0.390，0.581]，利用公式運(yùn)算得到最終的總體綜合評(píng)判向量如表9所示。

表9 各段古城墻總體綜合評(píng)判向量

由總體綜合等級(jí)評(píng)判向量B可知，北段城墻病害等級(jí)評(píng)價(jià)為C級(jí)，東段城墻病害等級(jí)評(píng)價(jià)為A級(jí)。西段城墻等級(jí)評(píng)判向量中數(shù)值之間較為接近，采用非對(duì)稱貼近度法進(jìn)行評(píng)判。

非對(duì)稱貼近度的公式為：

(20)

式中，N(B,Cj)為貼近度；B為西段總體綜合等級(jí)評(píng)判向量；Ci為理想狀態(tài)下的總體綜合等級(jí)評(píng)判向量；m為評(píng)判等級(jí)個(gè)數(shù)。

計(jì)算結(jié)果為：

N(B,CA)=0.832，N(B,CB)=0.836，N(B,CC)=0.866，N(B,CD)=0.864

由上述計(jì)算結(jié)果可得，N(B,CC)最大，西段城墻病害等級(jí)評(píng)判結(jié)果為C級(jí)，與最大隸屬度原則計(jì)算的結(jié)果相同。根據(jù)運(yùn)算結(jié)果，得出古城墻各段最終的病害等級(jí)評(píng)判結(jié)果，西段城墻和北段城墻為C級(jí)，東段城墻病害等級(jí)為A級(jí)。

7 結(jié)束語

本文通過使用模糊數(shù)學(xué)和層次分析相結(jié)合的方法對(duì)古城墻進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)結(jié)果為：西段城墻和北段城墻病害等級(jí)為C級(jí)，屬于中度損傷，應(yīng)中密度檢測(cè)，考慮修繕。東段城墻病害等級(jí)為A級(jí)，屬于微弱損傷，無需修繕。西段城墻病害程度與北段城墻病害程度相同，西段和北段城墻病害程度比東段城墻病害程度嚴(yán)重。

[ID:013119]