紀(jì)鍵銥，王榮輝，馬牛靜，余賢賓，陳 木

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640)

在橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，往往通過(guò)橋梁桿件的靜力影響線計(jì)算車輛荷載下的桿件內(nèi)力。通過(guò)動(dòng)力系數(shù)反映荷載的沖擊作用；而沖擊系數(shù)取值的合理性、影響線分析時(shí)邊界模擬的可靠性，特別是針對(duì)斜拉橋等大跨徑橋梁在車輛荷載下的實(shí)際響應(yīng)，一直有很多討論。針對(duì)各類橋梁，有學(xué)者建立車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)，采用模態(tài)疊加法或逐步積分法等傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)求解方法，分析橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，研究橋梁沖擊系數(shù)與振動(dòng)加速度等動(dòng)態(tài)指標(biāo)的變化規(guī)律。盧海林等采用newmark-β法求解車輛荷載下大跨徑彎橋的振動(dòng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)考慮單一沖擊系數(shù)會(huì)造成設(shè)計(jì)值的過(guò)盈或者不足。以上方法多應(yīng)用于連續(xù)梁橋的動(dòng)態(tài)響應(yīng)評(píng)估，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系橋梁或大跨徑斜拉橋結(jié)構(gòu)，多采用有限元法進(jìn)行分析求解。肖燁和羅小勇針對(duì)列車提載對(duì)既有橋梁的影響，建立列車-軌道-橋梁耦合有限元模型，分析列車提載對(duì)現(xiàn)有橋梁動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律。以上研究能夠得到橋梁結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載下的整體響應(yīng)特性，但難以從機(jī)理上解釋動(dòng)態(tài)行為的變化規(guī)律。結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可以看作是波的傳播和疊加，特別是對(duì)于大跨度梁索組合體系的橋梁而言，擾動(dòng)在結(jié)構(gòu)中的傳遞過(guò)程不可忽略。因此，若采用波動(dòng)理論來(lái)求解梁索組合結(jié)構(gòu)的沖擊響應(yīng)問(wèn)題，不僅可以使得結(jié)果具有明確的物理概念，也便于研究者從應(yīng)力波傳遞機(jī)理的角度為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化提供建議。本文采用的回傳路徑矩陣法（MRRM）是一種求解彈性波傳遞函數(shù)的矩陣分析方法。

Pestel和Leckie總結(jié)了連續(xù)系統(tǒng)中傳遞矩陣法（MTM）的基本原理和修正方法，并討論了MTM如何應(yīng)用于各種工程問(wèn)題。該方法一經(jīng)提出，便不斷有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)補(bǔ)充。在MTM的基礎(chǔ)上，Howard和Pao提出傳統(tǒng)回傳路徑矩陣法（MRRM），分析沖擊荷載下，彈性波在平面桁架內(nèi)的傳播過(guò)程。MRRM作為一種頻域矩陣分析方法，由于使用了Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)，避免了大多數(shù)頻域矩陣方法都存在的矩陣元在結(jié)構(gòu)的共振頻率處會(huì)表現(xiàn)出奇異性的缺點(diǎn)。相較于有限元法，MRRM求解結(jié)果是基于行波解，避免了離散誤差；與常用的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中求解振動(dòng)微分方程的時(shí)域逐步積分法相比，又避免了收斂的問(wèn)題。

MRRM提出后，有學(xué)者利用該方法精確有效地預(yù)測(cè)無(wú)限層狀介質(zhì)、層合梁、框架和圓柱形板殼結(jié)構(gòu)的短時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)性能。陳進(jìn)浩、許蘭蘭等運(yùn)用MRRM對(duì)框架結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的短時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行一系列的研究，分析不同傳遞路徑彈性波傳播時(shí)差及波形特征，并基于該方法進(jìn)一步討論框架結(jié)構(gòu)的自振特性。Li和Nie引入MRRM，對(duì)具有內(nèi)加勁肋的多跨矩形薄板進(jìn)行屈曲分析，推導(dǎo)了回傳路徑矩陣的計(jì)算算法，用以確定屈曲載荷。一系列的研究成果都說(shuō)明了MRRM法在求解結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)方面的可靠性和廣泛的適用性。然而，由于采用的Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)對(duì)于求逆的矩陣有苛刻的要求，傳統(tǒng)MRRM法多應(yīng)用于求解非彌散的縱向彈性波或者結(jié)構(gòu)的短時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)，例如，Jiang等采用了Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)，展開(kāi)級(jí)數(shù)的數(shù)量受到限制，僅能預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的早期響應(yīng)；且由于對(duì)求逆矩陣的諸多要求，在此之后的相關(guān)研究也多將研究對(duì)象限定為簡(jiǎn)支和連續(xù)梁。

針對(duì)上述研究的不足，本文基于DFT思想，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)波動(dòng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)解，進(jìn)而避免了矩陣元在求逆過(guò)程中的奇異性問(wèn)題，且通過(guò)試驗(yàn)和有限元對(duì)改進(jìn)后的算法進(jìn)行驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上，將MRRM應(yīng)用于移動(dòng)荷載作用下梁索組合結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)求解及頻譜分析。同時(shí)，從理論結(jié)果出發(fā)，討論所選取的截止頻域?qū)RRM法計(jì)算精度及計(jì)算效率的影響，進(jìn)一步提高M(jìn)RRM的計(jì)算效率。

1 梁-索結(jié)構(gòu)模型理論分析

1.1 斜拉結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

梁-索組合結(jié)構(gòu)如圖1所示。由圖1可見(jiàn)：支座和梁索連接位置作為節(jié)點(diǎn)，以I、J、O、K、L、M進(jìn)行編號(hào)；單元以兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行命名，IJ、JO、OK、KL為鐵木辛柯梁?jiǎn)卧?，在?jié)點(diǎn)J、K處以角度 α與索單元MJ、MK相連；移動(dòng)集中力

P

以恒定速度

V

，從節(jié)點(diǎn)I向L運(yùn)動(dòng)。對(duì)于任一單元，在其兩端節(jié)點(diǎn)分別建立一個(gè)單元局部坐標(biāo)系，以節(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，

x

軸平行于單元，其正方向指向單元另一節(jié)點(diǎn)；

y

軸垂直于單元。以圖1（b）中單元IJ為例，引入雙局部坐標(biāo)系統(tǒng)，即在I、J節(jié)點(diǎn)分別建立局部坐標(biāo)系，I節(jié)點(diǎn)處坐標(biāo)系用

x

和

y

表示，J節(jié)點(diǎn)處軸坐標(biāo)為

x

和

y

。梁?jiǎn)卧胶夥匠滩捎描F木辛柯梁理論，對(duì)于斜拉橋結(jié)構(gòu)而言，移動(dòng)荷載造成的索的彈性振蕩壓應(yīng)變遠(yuǎn)小于橋梁自重荷載及索張拉力引起的彈性拉應(yīng)變，所以在索單元中采用1維彈性桿理論來(lái)模擬移動(dòng)荷載引起的斜拉索中彈性波的傳遞是合適的。

圖1 梁-索組合結(jié)構(gòu)模型Fig. 1 Model of beam-cable structure

以IJ梁?jiǎn)卧蚃M索單元為例，局部坐標(biāo)系下的鐵木辛柯梁波動(dòng)方程（1）和（2）和1維桿單元波動(dòng)方程（3）如下：

式（1）～（3）中：

c

為 索中縱波波速，

c

=

E

為索單元彈性模量， ρ為 索單元密度；

y

為梁?jiǎn)卧獧M向位移；

φ

為梁?jiǎn)卧孛孓D(zhuǎn)角，

u

為索單元軸向位移，梁?jiǎn)卧c索單元為等截面單元，材料特性不變； μ為與截面形狀有關(guān)的數(shù)值因子；

A

為梁?jiǎn)卧娣e；

G

為剪切模量；

E

為彈性模量；

I

為截面慣性矩； ρ為梁?jiǎn)卧芏龋?p>q

為梁上作用的橫向分布荷載。

節(jié)點(diǎn)處的單元位移協(xié)調(diào)與內(nèi)力連續(xù)：

I節(jié)點(diǎn)：

y

(0,

t

)=0，

M

(0,

t

)=0；J節(jié)點(diǎn)：

y

(0,

t

)=?

y

(0,

t

)，

φ

(0,

t

)=

φ

(0,

t

)，

y

(0,

t

)=?

u

(0,

t

)sin α，

M

(0,

t

)+

M

(0,

t

)=0， sin α

N

(0,

t

)=

V

(0,

t

)?

V

(0,

t

)；O節(jié)點(diǎn)：

y

(0,

t

)=0

，

y

(0,

t

)=0

，

φ

(0,

t

)=

φ

(0,

t

)，

M

(0,

t

)+

M

(0,

t

)=0；K節(jié)點(diǎn)：

y

(0,

t

)=?

y

(0,

t

)

，

y

(0,

t

)=?

u

(0,

t

)·sin α

，

φ

(0,

t

)=

φ

(0,

t

)

，

M

(0,

t

)+

M

(0,

t

)=0，sin α·

N

(0,

t

)=

V

(0,

t

)?

V

(0,

t

)；L節(jié)點(diǎn)：

y

(0,

t

)=0

，

M

(0,

t

)=0；M節(jié)點(diǎn)：

u

(0,

t

)=0，

u

(0,

t

)=0。其中，

N

為軸力，

V

為剪力，

M

為彎矩。

1.2 控制方程數(shù)值求解

常系數(shù)非齊次偏微分方程如式（1）、（2）和（3）所示，其通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程通解和非齊次方程本身一個(gè)特解之和。齊次方程通解形式可以表示為完整解，如式（4）、（5）和（6）所示：

將式（4）、（5）和（6）代入波動(dòng)方程（1）、（2）和（3）的齊次方程，對(duì)于非齊次方程的特解采用拉普拉斯變換解法，最終得到控制方程的通解式（7）、（8）和（9）：

式中：待定系數(shù)

a

、

a

、

a

、

K

a

和

K

a

分別為節(jié)點(diǎn)

i

各入射波分量波幅；

d

、

d

、

d

、

K

d

和

K

d

分別為節(jié)點(diǎn)各出射波分量波幅；

k

、

k

、

k

分別為鐵木辛柯梁頻散關(guān)系，在吳斌、Doyle等的研究中均有描述，這里不再贅述；

P

和

P

為引入的外荷載影響量，為波動(dòng)方程特解。若荷載大小不變，恒為

q

，移動(dòng)荷載

q

(

x

,

t

) 可采用狄拉克函數(shù) δ及躍階函數(shù)

H

表示，這里仍以單元IJ來(lái)說(shuō)明，如式（10）和（11）所示：

波動(dòng)方程特解表達(dá)式如式（12）和（13）所示：

1.3 回傳路徑矩陣法的基本原理

根據(jù)局部坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)和內(nèi)力平衡關(guān)系，建立節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力波散射關(guān)系：

式中，

d

為節(jié)點(diǎn)I出射波波幅向量集合，

a

為節(jié)點(diǎn)I入射波波幅向量矩陣，

S

為節(jié)點(diǎn)I局部散射矩陣。

所有局部散射矩陣組合成結(jié)構(gòu)整體散射矩陣：

引入圖1同一單元兩端節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，建立結(jié)構(gòu)中波幅向量之間的相位轉(zhuǎn)換關(guān)系如式（16）所示：

式中：

P

為相位轉(zhuǎn)換矩陣，其中，

L

為單元長(zhǎng)度；

Q

為激勵(lì)源向量。將單元相位轉(zhuǎn)換矩陣組合為整體矩陣，得到

a

=

P

+

Q

， 其中，

P

為整體相位轉(zhuǎn)換矩陣，與出射波矩陣

d

元素位置順序不同。引入置換矩陣

U

，調(diào)整出射波向量

d

中元素位置，得到：

聯(lián)立式（15）和（17）得到：

式（18）～（19）中：

R

為回傳路徑矩陣，

R

=

SPU

；

s

為波源矢量，

s

=

SQ

。將式（18）和（19）代入式（7）、（8）和（9），即可得移動(dòng)荷載下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生自由振動(dòng)時(shí)，(

I

?

R

)

d

=0，此時(shí)系數(shù)行列式：

1.4 基于離散傅里葉變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)

(

I

?

R

)

由于自振頻率的存在， 有無(wú)窮多個(gè)極點(diǎn)，該矩陣無(wú)法直接求逆。Howard和Pao提出利用Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)法近似求解，隨后的研究者也多采用該方法。然而，該方法的適用條件十分苛刻，要求回傳路徑矩陣滿足：

該方法僅適用于求解非彌散的縱波及橫波的早期瞬時(shí)響應(yīng)。

基于離散傅里葉變換（DFT）的原理，如式（7）、（8）和（9）可寫為級(jí)數(shù)展開(kāi)形式，如式（22）、（23）和（24）所示：

式中，

t

為第

k

個(gè)時(shí)間點(diǎn)。在此前提下，對(duì)于取值滿足DFT的任一 ω，ω=2π

nF

/

N

（0 ≤

n

≤

N

?1，

N

為采樣點(diǎn)，

F

為采樣頻率），求得的(

I

?

R

)內(nèi)矩陣元素均為確定的數(shù)值，故可直接代入 (

I

?

R

)，求得廣義逆矩陣，進(jìn)而通過(guò)式（18）和（19）計(jì)算得到離散傅里葉系數(shù)，由逆FFT求解或通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)式（22）、（23）和（24），得到結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)。

2 理論方法正確性驗(yàn)證

通過(guò)簡(jiǎn)支鋼箱梁實(shí)橋動(dòng)力測(cè)試，獲取跑車時(shí)的箱梁底部動(dòng)應(yīng)變變化規(guī)律；結(jié)合有限元分析結(jié)果，對(duì)改進(jìn)后的MRRM法在梁?jiǎn)卧械膽?yīng)用進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)布置和試驗(yàn)橋梁結(jié)構(gòu)如圖2和3所示。其中，動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)點(diǎn)（圖2（c））布設(shè)在跨中鋼箱梁底部中線處（圖3（a）），通過(guò)連接著信號(hào)放大裝置的動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)DH8003（圖2（e）、（f））讀取實(shí)時(shí)應(yīng)變，采集頻率為2 000 Hz。

圖2 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)布置Fig. 2 Diagram of field test device

圖3 試驗(yàn)橋梁結(jié)構(gòu)Fig. 3 Structure of test bridge

圖3中，試驗(yàn)橋梁為單箱簡(jiǎn)支鋼箱梁橋，橋梁跨度為22.5 m。該橋?yàn)樾陆蛄?，橋面為平順的瀝青鋪裝層，在橋上以速度30和40 km/h，從左至右行駛一總重19.8 t的兩軸試驗(yàn)車輛，嚴(yán)格控制加載過(guò)程中車速恒定且沿車道中心直線行駛，避免車輛由于車頭擺動(dòng)或者加減速帶來(lái)的影響。該車軸距3.25 m，軸重分配通過(guò)磅秤測(cè)得，前后軸載分別為

P

=8.1 t和

P

=11.7 t。

使用有限元軟件ABAQUS建立兩個(gè)獨(dú)立移動(dòng)點(diǎn)荷載（前后軸載）作用下的簡(jiǎn)支梁?jiǎn)卧Ｐ汀Ａ簡(jiǎn)卧捎肂31單元模擬，橋梁結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 試驗(yàn)橋梁參數(shù)
Tab. 1 Parameters of the test bridge

密度/(kg·m-1)彈性模量/(105 MPa) 截面積/m2 截面慣性矩/(10-2 m4)7 850 2.06 0.292 6.67

移動(dòng)荷載采用ABAQUS子程序VDLOAD進(jìn)行編程調(diào)用，定義移動(dòng)荷載大小、移動(dòng)速度及作用位置。

本文算法采用的FFT采樣頻率為1 000 Hz，采樣數(shù)為16 384，根據(jù)鐵木辛柯梁幾何方程，梁?jiǎn)卧撞繌澢鷳?yīng)變 ε可由式（25）得到：

式中，

h

為截面形心軸到鋼箱梁底面距離。

由本文算法、有限元算法及試驗(yàn)得到的跨中位置鋼梁底面彎曲動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線對(duì)比如圖4所示。由于現(xiàn)場(chǎng)加載過(guò)程，實(shí)際車速不可避免與試驗(yàn)控制車速有所偏差，故實(shí)測(cè)曲線的波峰和波谷與理論曲線有一定偏移。本文算法結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的橋梁跨中動(dòng)應(yīng)變波動(dòng)變化趨勢(shì)較為接近，應(yīng)變幅值有一定偏差。

由圖4（a）可見(jiàn)：當(dāng)

V

=30 km/h 時(shí)，實(shí)測(cè)曲線的波動(dòng)趨勢(shì)與理論曲線能較好吻合。當(dāng)車輛逐漸接近跨中位置，實(shí)測(cè)曲線在個(gè)別點(diǎn)處出現(xiàn)實(shí)測(cè)波峰不明顯的情況；當(dāng)

t

=1.2 s時(shí)，此時(shí)實(shí)測(cè)應(yīng)變與理論應(yīng)變峰值出現(xiàn)最大的偏差為22%，大部分位置處實(shí)測(cè)曲線的波動(dòng)趨勢(shì)與理論曲線仍能較好吻合；當(dāng)

t

=1.54 s時(shí)，即車輛移動(dòng)到跨中位置，應(yīng)變幅值出現(xiàn)的偏差為8%。由圖4（b）可見(jiàn)：當(dāng)

V

=40 km/h 時(shí)，實(shí)測(cè)曲線的波動(dòng)趨勢(shì)與理論曲線能較好吻合。車輛移動(dòng)到跨中位置處，當(dāng)時(shí)間

t

=1.2 s時(shí)，應(yīng)變幅值偏差為9.8%；在車輛逐漸接近跨中位置的過(guò)程中，實(shí)測(cè)應(yīng)變曲線在少數(shù)位置出現(xiàn)波峰不明顯的現(xiàn)象，當(dāng)

t

=0.8 s時(shí)，應(yīng)變幅值出現(xiàn)最大偏差26%。造成以上情況的原因是進(jìn)行實(shí)橋試驗(yàn)時(shí)，橋面鋪裝、兩側(cè)防撞墻和截面內(nèi)部的縱向加勁肋均會(huì)增大截面剛度，使實(shí)測(cè)結(jié)果整體略小于理論結(jié)果。且在實(shí)橋現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試過(guò)程中，干擾因素較多，現(xiàn)場(chǎng)粘貼在箱梁底部的應(yīng)變片測(cè)得的應(yīng)變數(shù)據(jù)不可避免會(huì)有所損失，這也是局部點(diǎn)位處出現(xiàn)實(shí)測(cè)峰值不明顯，造成應(yīng)變幅值偏差較大的原因。故該計(jì)算結(jié)果是合理的，且本文算法結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相比，波動(dòng)趨勢(shì)基本相符合。

圖4 簡(jiǎn)支梁跨中彎曲動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線對(duì)比Fig. 4 Comparison of flexural strain at the lower surface of the beam at mid span

本文算法計(jì)算得到的動(dòng)應(yīng)變曲線和有限元結(jié)果較為接近，移動(dòng)荷載時(shí)速

V

=30 km/h，

t

=1.56 s時(shí)，應(yīng)變幅值出現(xiàn)最大偏差，為5%；當(dāng)

V

=40 km/h，為4%。由此可推知，本文算法在計(jì)算移動(dòng)荷載下橋梁結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)波動(dòng)響應(yīng)具有較高的可靠性。圖5為車輛時(shí)速為40 km/h，兩個(gè)軸載分別作用下，跨中處彎曲動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線對(duì)比，其中，起始時(shí)刻

t

=0，是前軸作用簡(jiǎn)支梁的開(kāi)始時(shí)刻。前后軸作用下，最大動(dòng)應(yīng)變比值為18.580 /27.200=0.683，與前后軸載比值0.692接近。移動(dòng)荷載離開(kāi)之后，結(jié)構(gòu)以0.133 s的振動(dòng)周期進(jìn)行自由振動(dòng)，振動(dòng)頻率為7.52 Hz。根據(jù)式（20）計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)1階自振頻率為7.53 Hz，說(shuō)明外加擾動(dòng)消失后，結(jié)構(gòu)以1階自振頻率進(jìn)行震蕩。以上現(xiàn)象與實(shí)測(cè)結(jié)果和力學(xué)常識(shí)相吻合，說(shuō)明本文算法在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方面的適用性。

圖5 試驗(yàn)軸載作用下跨中彎曲動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線Fig. 5 Dynamic flexural strain time history curves under experimental axial load of the beam at mid span

3 梁-索組合結(jié)構(gòu)波動(dòng)響應(yīng)分析

為研究斜拉橋結(jié)構(gòu)中應(yīng)力波的傳遞規(guī)律，以圖1力學(xué)模型為研究對(duì)象進(jìn)行分析，相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表2，移動(dòng)荷載取15 000 N，荷載移動(dòng)速度取20 m/s，梁索之間的夾角取45°和90°。

表2 梁-索組合結(jié)構(gòu)體系參數(shù)
Tab. 2 Parameters of cable-beam structure system

構(gòu)件 密度/(kg·m-1)剪切模量/(1010 Pa)彈性模量/(1011 Pa)截面積/(10-3 m2)慣性矩/(10-3 m4)主梁 7 850 7.923 2.060 250.000 1.302斜拉索 8 005 — 1.950 7.854 —

3.1 動(dòng)力時(shí)程分析

索梁夾角α為45°和90°時(shí)，單元JO跨中位置橫向位移曲線如圖6所示。由圖6可知：本文算法結(jié)果的波動(dòng)趨勢(shì)與有限元結(jié)果具有較高的吻合度，在荷載移動(dòng)至JO跨中附近時(shí)，理論結(jié)果曲線變化更為平滑，這是由于有限元結(jié)果存在離散誤差，且有限元?jiǎng)恿Ψ治霾捎貌罘址?，求解響?yīng)易出現(xiàn)震蕩。相比有限元結(jié)果，本文算法得到的位移峰值較大， α=45時(shí)，偏差為9%； α =90時(shí)，偏差為8%。這是因?yàn)楸M管研究對(duì)象為無(wú)阻尼體系，但是有限元分析中默認(rèn)以體積黏度的形式引入人工阻尼，故波在有限元分析中是耗散的。分析表明，本文算法的計(jì)算結(jié)果合理，理論分析正確。由圖6可知，隨梁索夾角增大，在同樣的移動(dòng)荷載作用下，主梁橫向位移減小，即較大的梁索夾角可以增大結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)剛度。

圖6 兩種算法計(jì)算單元JO跨中位移曲線對(duì)比Fig. 6 Comparison of displacement curves of JO at mid span calculated by two algorithms

圖7為梁索夾角 α =90，索單元JM在M節(jié)點(diǎn)位置的軸力變化曲線。用本文算法計(jì)算得到的最大軸力為1.559×10N，用有限元?jiǎng)恿Ψ治龅玫降淖畲筝S力為1.651×10N，相對(duì)偏差為5%，且曲線波動(dòng)趨勢(shì)基本一致。與有限元靜力分析結(jié)果1.477×10N相比，索力的放大系數(shù)分別為0.06和0.11。

圖7 斜拉索JM在節(jié)點(diǎn)M處軸力（ α=90°）Fig. 7 Axial force of JM at Joint M when α=90°

圖8為梁索夾角 α=90，以移動(dòng)荷載作用總時(shí)間為1

T

，在0～8

T

時(shí)間內(nèi)，JO單元跨中位置處的橫向位移曲線。由圖8可見(jiàn)，移動(dòng)荷載離開(kāi)后，結(jié)構(gòu)響應(yīng)趨于穩(wěn)定，以固定周期和幅值往復(fù)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)完整的振動(dòng)周期包含7個(gè)自振周期，自振周期大致在0.340～0.384 s。表3為本文算法和有限元法計(jì)算得到的梁索組合結(jié)構(gòu)前5階自振頻率及兩種方法計(jì)算結(jié)果的偏差值。由表3可知，發(fā)現(xiàn)移動(dòng)荷載離開(kāi)后，結(jié)構(gòu)以1階和2階自振頻率循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

圖8 0～8T 時(shí)間內(nèi)單元JO跨中橫向位移曲線Fig. 8 Deflection curves of the JO element at x=0.5L during 0～8T

3.2 頻響分析

如表3所示， α=45時(shí)，使用本文算法計(jì)算得到的梁索組合結(jié)構(gòu)前5階自振頻率與有限元結(jié)果最大偏差為0.29%，前2階自振頻率偏差為0，計(jì)算結(jié)果基本吻合。

表3 梁索組合結(jié)構(gòu)體系前5階自振頻率
Tab. 3 First 5th order natural frequencies of the cablebeam structure system

注：=(-)/。

階數(shù) f1（本文算法）/Hz f2（有限元）/Hz 偏差s/%1 2.58 2.58 0 2 2.93 2.93 0 3 3.49 3.48 0.29 4 4.51 4.50 0.22 5 8.38 8.36 0.24

以式（23）為例，由離散傅里葉原理可知，梁?jiǎn)卧灰苿?dòng)力響應(yīng)由

N

階頻率分量組成，對(duì)于移動(dòng)荷載下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)而言，若高階頻率分量的貢獻(xiàn)有限，則可以通過(guò)適當(dāng)?shù)念l域窗口選取，以較小的精度損失，獲取更高的計(jì)算效率。理論模型主梁的1階自振頻率ω=2.58 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)

N

=32 768，截取的最高頻率稱為截止頻率 ω，不截取頻率時(shí)的最高分析頻率為 ω,定義

f

= ω/ω，當(dāng)

f

分別取值為1、2和10時(shí)，計(jì)算結(jié)果如圖9所示。同時(shí)，不截取頻率 ω=ω時(shí)，算法結(jié)果也在圖9中進(jìn)行了對(duì)比，圖9對(duì)應(yīng)的算例模型的梁索夾角 α =45。

圖9 f 不同取值時(shí)撓度時(shí)程曲線對(duì)比Fig. 9 Comparison of deflection time history curves with different values of f

由圖9可見(jiàn)：當(dāng)

f

=1時(shí)，計(jì)算結(jié)果有較大偏差，最大偏差為20%；當(dāng)

f

=2時(shí)，位移曲線與不截取頻率時(shí)極為接近，在曲線局部峰值位置存在輕微差異。對(duì)于算例模型，

f

=2，計(jì)算用時(shí)僅為無(wú)截止頻率計(jì)算時(shí)間的2%。由此可以推論，移動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)以低頻響應(yīng)分量為主，對(duì)于算例梁索組合結(jié)構(gòu)體系，能量主要集中在頻率小于2倍1階自振頻率的低頻分量，因此，對(duì)于MRRM法，可通過(guò)截取低頻分量，提高計(jì)算效率。

4 結(jié) 論

本文對(duì)MRRM在梁索組合結(jié)構(gòu)中求解彌散波的應(yīng)用進(jìn)行了研究，基于DFT思想改進(jìn)傳統(tǒng)MRRM法，使其適用于分析結(jié)構(gòu)中彌散波的傳播特性，求解移動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)響應(yīng)，結(jié)果如下：

1）本文算法與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)得到的跨中動(dòng)應(yīng)變波動(dòng)變化趨勢(shì)較為接近，應(yīng)變幅值有一定偏差，計(jì)算結(jié)果較為合理。試驗(yàn)車輛以速度

V

=30 km/h行駛時(shí)，大部分位置的波動(dòng)趨勢(shì)的實(shí)測(cè)曲線與理論曲線吻合較好，當(dāng)

t

=1.54 s時(shí)，即車輛移動(dòng)到跨中位置時(shí)，應(yīng)變幅值出現(xiàn)偏差為8%；當(dāng)車輛逐漸接近跨中位置時(shí)，實(shí)測(cè)曲線在個(gè)別點(diǎn)處出現(xiàn)實(shí)測(cè)波峰不明顯的情況，如在

t

=1.2 s時(shí)，實(shí)測(cè)應(yīng)變與理論應(yīng)變峰值出現(xiàn)最大偏差為22%。當(dāng)

V

=40 km/h，實(shí)測(cè)曲線的波動(dòng)趨勢(shì)與理論曲線能較好吻合；在車輛逐漸接近跨中位置的過(guò)程中，實(shí)測(cè)應(yīng)變曲線在少數(shù)位置也出現(xiàn)波峰不明顯的現(xiàn)象。橋梁附屬設(shè)施和截面內(nèi)部的縱向加勁肋均會(huì)增大截面剛度，使得實(shí)測(cè)結(jié)果整體略小于理論結(jié)果。且在實(shí)橋現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試過(guò)程中，干擾因素較多，實(shí)測(cè)結(jié)果不可避免會(huì)有所損失，這也是局部點(diǎn)位處出現(xiàn)實(shí)測(cè)峰值不明顯，造成應(yīng)變幅值偏差較大的原因，故該計(jì)算結(jié)果是合理的。有限元結(jié)果與本文算法得到的結(jié)果較為接近，最大偏差為5%，且相較有限元法，本文算法是基于行波解，避免了離散誤差，求解結(jié)果更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的波動(dòng)特性。

2）對(duì)于梁索組合體系結(jié)構(gòu)，梁索夾角 α=45°或90°時(shí)，本文算法得到的橫向位移曲線與有限元結(jié)果相比，曲線波動(dòng)趨勢(shì)具有較高的吻合度；相比有限元結(jié)果，本文算法得到的位移峰值略大，最大偏差為9%，這是因?yàn)椴ㄔ谟邢拊治鲋惺呛纳⒌?，有限元分析表明，本文算法的?jì)算結(jié)果合理，理論分析正確。以本文的簡(jiǎn)化力學(xué)模型為例，研究發(fā)現(xiàn)在移動(dòng)沖擊荷載下，隨著梁索夾角增大，主梁橫向位移逐漸減小，即較大的梁索夾角可以增大結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)剛度。

3）通過(guò)適當(dāng)截取頻率范圍，忽略高階分量的影響，大大提高了MRRM法的計(jì)算效率。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于梁索組合結(jié)構(gòu)，截取頻率 ω/ω≥2，位移曲線與不截取頻率時(shí)基本無(wú)偏差。且對(duì)于該理論模型，ω/ω=2，計(jì)算用時(shí)僅為無(wú)截止頻率用時(shí)的2%。可得出，移動(dòng)荷載作用下，梁索組合結(jié)構(gòu)以低頻響應(yīng)為主，本文的力學(xué)模型，主梁中的波動(dòng)能量主要由頻率低于2ω的彎曲波攜帶。