曹翁云

在平面直角坐標(biāo)系中求三角形的面積，一般要根據(jù)三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，確定圖形的邊長和高，進(jìn)而利用面積公式求得.但根據(jù)三角形的三邊與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系不同，求解面積的方法也有所區(qū)別.下面介紹三角形的三邊在平面直角坐標(biāo)系中不同情況下三角形面積的求法，以供大家參考.

一、求一邊在坐標(biāo)軸上的三角形的面積

當(dāng)三角形有一邊在x軸（或y軸）上時(shí)，一般以x軸（或y軸）上的邊為底邊，其長等于x軸（或y軸）上兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）差的絕對值，這邊上的高就等于另一個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）的絕對值，然后直接利用三角形的面積公式求解.

例1如圖1，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，0），B（-2，0），C（2，4），求三角形ABC的面積.

分析：要求三角形的面積，需要分別求出其底邊及高.由圖1可知，三角形ABC的邊AB在x軸上，容易求得AB的長，而AB邊上的高，恰好是C點(diǎn)到x軸的距離，也就是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值.

解：∵A（4，0），B（-2，0），∴AB=4-（-2）=6.

∵C（2，4），∴C點(diǎn)到x軸的距離，即AB邊上的高為4，

點(diǎn)評：當(dāng)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)在x軸（或y軸）上時(shí)，求面積的關(guān)鍵就是求出三角形的高.這個(gè)距離就等于這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）的絕對值.

二、求一邊平行于坐標(biāo)軸的三角形的面積

當(dāng)三角形中有一條邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，我們解題的思路與例1相似，選擇平行于坐標(biāo)軸的線段作為底，這條邊的長等于兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（平行橫軸）或縱坐標(biāo)（平行縱軸）的差的絕對值；這條邊上的高則等于平行于坐標(biāo)軸的邊與第三個(gè)點(diǎn)的距離.

例2如圖2，已知A（-3，-2），B（3，-2），C（-2，2），求△ABC的面積.

分析：由于A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是-2，所以線段AB平行于x軸，因此，我們以AB為三角形的底邊，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，再根據(jù)坐標(biāo)的意義分別求出AB的長和AB邊上的高CD的長，即可求出這個(gè)三角形的面積.

解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，如圖2.

∵A（-3，-2），B（3，-2），∴AB=3+3=6 .

又∵C（-2，2），

∴點(diǎn)C到AB的距離為2+2=4，即AB邊上的高CD的長為4.

例3如圖3，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面積.

分析：由A（4，1），B（4，5）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可知邊AB與y軸平行，因而易求AB的長度.作AB邊上的高CD，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，也是4，這樣就可求得線段CD的長，進(jìn)而可求得三角形ABC的面積.

解：∵A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，

∴邊AB∥y軸，∴AB=5-1=4.

作AB邊上的高CD，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

∴CD=4-（-1）=5，

點(diǎn)評：這兩類題目都是最基礎(chǔ)的求三角形面積問題，都可以直接利用三角形的面積公式求解.求底時(shí)一般選擇位于坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸的線段，利用兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差或橫坐標(biāo)之差得出邊長，關(guān)鍵點(diǎn)在于找到底邊對應(yīng)的高.

三、求直角坐標(biāo)系中任意三角形的面積

如果三角形三邊均不平行于坐標(biāo)軸，無法直接求邊長和高，我們通常采用割補(bǔ)法.用平行于坐標(biāo)軸的直線將三角形割補(bǔ)成“橫平豎直”的基本圖形，或?qū)⑷切窝a(bǔ)為長方形、直角梯形，運(yùn)用求差法計(jì)算三角形的面積；或?qū)⑷切畏指畛蓭讉€(gè)小直角三角形，運(yùn)用求和法求得原三角形的面積.

例4在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求△ABC的面積.

分析：本題所求三角形的面積不易直接計(jì)算，可運(yùn)用分割法或形補(bǔ)法將三角形轉(zhuǎn)化為其他易于求解的圖形，通過求有關(guān)圖形面積的和或差求得原三角形的面積.

解法1：形補(bǔ)法.

如圖4，分別過B、C作y軸的垂線，再分別過A、C作x軸的垂線，組成矩形EFCR，

∵A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），

∴EH=FQ=3，EM=RN=3，F(xiàn)M=CN=3，RH=CQ=2，AM=1，

∴EA=3+1=4，RE=3+1=4，BR=2- 1=1，RC=3+3=6，CF=2+3=5，

點(diǎn)評：由于平面直角坐標(biāo)系的特殊性，水平線段和豎直線段的長度比較容易計(jì)算.當(dāng)所求三角形的面積不易直接計(jì)算時(shí)，就可以利用割補(bǔ)法得到各種基本圖形的面積來進(jìn)行和差計(jì)算.