韓 軍

(甘肅省靖遠(yuǎn)縣高灣中學(xué) 730600)

數(shù)形結(jié)合通常指在數(shù)學(xué)信息不發(fā)生改變的情況下，數(shù)據(jù)與圖形的有效轉(zhuǎn)換，將相關(guān)數(shù)據(jù)精密的呈現(xiàn)在圖形上，以圖形上出現(xiàn)的變化，對數(shù)據(jù)變化進(jìn)行理解，并經(jīng)過數(shù)據(jù)了解到圖形的狀態(tài).因此，在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決時，需注重圖形與數(shù)值的有效結(jié)合，以促使學(xué)生通過眼睛觀看到數(shù)據(jù)的變化，這不僅能夠使學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)興趣得以提高，而且還能使數(shù)學(xué)問題更為簡單，促進(jìn)學(xué)生有效解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，從而使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)與思考習(xí)慣.初中階段的數(shù)學(xué)解題中，教師可通過相應(yīng)的教學(xué)方法對學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣進(jìn)行培養(yǎng)，以促使學(xué)生形成相應(yīng)的自學(xué)能力.基于此，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，需注重數(shù)形結(jié)合的思想融入，促進(jìn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解，以數(shù)形結(jié)合的思想解決相關(guān)應(yīng)用題，以此為數(shù)學(xué)學(xué)科的實踐問題解決奠定夯實的基礎(chǔ)，并促進(jìn)學(xué)生自身的水平提高.同時，數(shù)形結(jié)合還有助于學(xué)生的理解力以及邏輯能力的提高，引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)學(xué)題目中找到可應(yīng)用的內(nèi)容，以畫圖表達(dá)出內(nèi)容，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)題的簡單化、明了化，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)題的有效解決.

1 數(shù)形結(jié)合思想及其思維培養(yǎng)的意義

1.1 數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合運用到的是數(shù)和形的對應(yīng)關(guān)系，其能夠使數(shù)與形之間實現(xiàn)有效轉(zhuǎn)換，以便于數(shù)學(xué)難題的有效解決，許多問題都能通過該原理，獲得更為便捷的解題方式，許多的數(shù)學(xué)知識都抽象無法有效理解，如能通過數(shù)形的有效轉(zhuǎn)化，就更便于理解，屬于初中數(shù)學(xué)實際解題中的重要思想.通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，主要是對條件與結(jié)論之間的聯(lián)系進(jìn)行考察，將其聯(lián)系通過圖形或數(shù)軸實施表達(dá)，不僅能通過幾何與代數(shù)實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的解決，而且還能使解題的效率與準(zhǔn)確率得到有效提高.

1.2 數(shù)形結(jié)合思維培養(yǎng)的意義

首先，有助于學(xué)生直覺思維的發(fā)展.對于直覺思維而言，其主要指不通過嚴(yán)格邏輯推理的過程，在第一時間對數(shù)學(xué)問題做出合理猜測與設(shè)想，直到數(shù)學(xué)問題的解決，其并非是毫無根據(jù)的，而是來源于新舊知識的聯(lián)系、銜接與積累.通過直覺思維實現(xiàn)問題解決，就需做到認(rèn)真觀察、猜測、聯(lián)想與歸納.而數(shù)形結(jié)合的思維培養(yǎng)，則需學(xué)生形成相應(yīng)的自覺思維，需學(xué)生在較短的時間實現(xiàn)幾何模型的構(gòu)建，依據(jù)給出的已知條件，實現(xiàn)函數(shù)或者幾何圖形的構(gòu)造，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的直觀形象的解決.

其次，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣提高.初中數(shù)學(xué)的解題過程中，對學(xué)生而言是極為枯燥的，且涉及到一定的思維與邏輯，具有較大的難度，這就會影響到學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)興趣.想要避免該現(xiàn)象出現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，就需通過數(shù)形結(jié)合的思想，將數(shù)學(xué)題和圖形有效結(jié)合，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣提高的同時，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，促進(jìn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度降低，以促使學(xué)生積極主動接受數(shù)學(xué)知識的同時，促進(jìn)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)能力提高.

2 數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的問題

2.1 對數(shù)形結(jié)合的方法缺乏重視

經(jīng)過調(diào)查顯示，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)的解題中沒有得到充足的重視.由此可知，數(shù)形結(jié)合普及，不僅需教師自身具備相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合意識，而且還需創(chuàng)設(shè)出通過數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行問題解決的環(huán)境，且學(xué)生也需充分的認(rèn)識與了解到數(shù)形結(jié)合在解題中的重要性.

2.2 對數(shù)形結(jié)合的價值缺乏認(rèn)識

初中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)化學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)較為吃力，這就使學(xué)生無法充分了解到何為數(shù)形結(jié)合，無法通過數(shù)形結(jié)合的靈活運用，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的解決，也無法了解到數(shù)形結(jié)合的簡便性.許多原因致使學(xué)生無法充分認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合的重要性.

2.3 對數(shù)形結(jié)合的方法缺乏應(yīng)用

雖然教師們都知道數(shù)形結(jié)合運用的重要性，但在具體教學(xué)中，卻缺乏靈活的應(yīng)用.同時，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對于數(shù)形結(jié)合的實際應(yīng)用不夠了解，在具體教學(xué)中也不會用到該方法，且學(xué)生具備向師性，這就使教師的不了解成為學(xué)生的不了解，也無法了解到數(shù)形結(jié)合的重要性，這就使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的時候，不會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，也不會通過數(shù)形結(jié)合促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高.

3 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

3.1 利用數(shù)軸促進(jìn)絕對值問題解決

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在教學(xué)初始已引入了數(shù)軸，由于數(shù)軸和實數(shù)構(gòu)建了一一對應(yīng)關(guān)系，并為相反數(shù)、絕對值等全新概念等賦予了幾何意義.在對絕對值定義開展講解時，需對數(shù)軸知識進(jìn)行學(xué)習(xí)，并引入實際問題.

例如，數(shù)軸上點A至原點之間的距離是3，點B至原點之間的距離是2，求A、B兩點之間的距離.

由數(shù)軸上來看，至原點的距離是3的點需分別置于原點的兩側(cè)且和原點之間的距離都是3個單位長度，因此，兩個點表示的數(shù)分別是+3與-3，也就是點A表示+3與-3，點B表示+2與-2，詳見圖1.此時，AB兩點之間的距離是1個單位長度或者是5個單位長度.

圖1

評析在本題中，絕對值的概念是能夠直接應(yīng)用的，若不做圖，就會認(rèn)為題目抽象，且容易丟一種情況，但將數(shù)值呈現(xiàn)于數(shù)軸上，不僅形象且直觀，而且還能促進(jìn)數(shù)和形的有效融合，以深化學(xué)生對于知識的印象.

3.2 利用函數(shù)圖像促進(jìn)方程、不等式問題解決

平面直角坐標(biāo)系通常是在數(shù)軸后，又一個將代數(shù)和幾何有效銜接的工具，其擴(kuò)大為有序?qū)崝?shù)對與平面中所有點都是一一對應(yīng)的關(guān)系，將點轉(zhuǎn)變?yōu)榫€與面，更為初中時期重要的知識，即函數(shù)，提供了有效的生長土壤.而函數(shù)能夠與許多的知識有效結(jié)合，構(gòu)成具有較強綜合性的數(shù)學(xué)題，如其能與不等式、方程等相聯(lián)系，通過函數(shù)圖像對不等式解的取值范圍、方程的根等進(jìn)行解決.此時，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像對相關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行明了、直觀的解決，主要有以下形式.

3.2.1 函數(shù)與方程、方程組

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0,k,b是常數(shù))

①如果函數(shù)y=0的時候，會得出一元一次方程kx+b=0，這個時候，自變量x的值就是方程kx+b=0的解，其表示為圖像上則是一次函數(shù)圖像和x軸交點的橫坐標(biāo).

②如果x、y是兩個變量，因此，一次函數(shù)可看作為二元一次的方程kx-y+b=0.

③求取方程組的解通常就是求取兩個函數(shù)值相等的時候自變量的數(shù)值.二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系詳見圖2.

圖2

④二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)圖像和x軸的交點坐標(biāo)是(x1,0)、(x2,0)，即x1、x2為方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根，若y=ax2+bx+c的圖像和x軸無交點，那么，方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)的具體圖像位于x軸上方的全部點的橫坐標(biāo)的集合是一元二次不等式ax2+bx+c>0的全部解集，而圖像位于x軸下方全部點的橫坐標(biāo)集合是一元二次不等式ax2+bx+c<0的全部解集.通過圖像進(jìn)行方程解答，可通過二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之間的關(guān)系，進(jìn)行圖形繪制，以做出解答.在對ax2=bx+c(a≠0)進(jìn)行求解時，可將y=ax2和y=bx+c兩個圖像分別畫出，并找出兩個函數(shù)圖像的交點坐標(biāo).

3.2.2 函數(shù)和具體應(yīng)用

具體的應(yīng)用題一直屬于教師頭疼、學(xué)生害怕的題，但是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的主要目的就是進(jìn)行實際問題的解決，也就是具體應(yīng)用.因此，找出準(zhǔn)確的方法，多加練習(xí)與總結(jié)極為重要.最為典型的就是通過平面幾何圖形，將問題圖形化，通過圖形進(jìn)行問題的直觀解決，以促使問題的解答更加簡單、明了.

例如，某廠銷售一種面包，未銷售出去的可退回廠家，依據(jù)統(tǒng)計表明，單價為7角的時候，每天可售160個，售價每增加1角，每天少售20個，每個面包成本是5角，設(shè)面包單價是x角，每天銷售利潤是y角.

(1)通過x代數(shù)表示利潤與售賣個數(shù)的關(guān)系；

(2)求取y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)面包單價為多少的時候，利潤最大？最大是多少？

分析二次函數(shù)主要反映了變量的數(shù)量關(guān)系與其變化規(guī)律的函數(shù)形式，基于此，在對具體問題和二次函數(shù)的問題進(jìn)行研究時，可構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過二次函數(shù)具備的性質(zhì)進(jìn)行問題解決，通過數(shù)形結(jié)合，則能有效呈現(xiàn)該思想.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合屬于極其重要的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)試題的解決中通常具有無法替代的作用，能夠?qū)⒃S多抽象化數(shù)學(xué)問題通過直觀形象的方式展現(xiàn).因此，初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，需注重數(shù)形結(jié)合思想的運用，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡易化，從而使學(xué)生的解題效率與準(zhǔn)確率得以提高的同時，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量提升.