李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,時(shí)量120分鐘．滿分150分．

第Ⅰ卷

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知集合M={x|-34}，則M∪N=( ).

A.{x|x<-5或x>-3}

B. {x|-5

C. {x|-3

D. {x|x<-3或x>5}

2.已知a=(3,-1),b=(-1,2),c=2a+b，則c=( ).

A.(6,-2) B.(5,0) C. (-5,0) D. (0,5)

A.1+i B.1-i C. -1+i D. -1-i

4.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：10=5+5=3+7(其中3+7與7+3算同一種方法)，在大于4且不超過(guò)16的偶數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的偶數(shù)，則兩個(gè)偶數(shù)都可以有兩種方法表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和的概率為( ).

5.一個(gè)總體中有600個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為001，002，…，600，利用系統(tǒng)抽樣方法抽取容量為24的一個(gè)樣本，總體分組后在第一組隨機(jī)抽得的編號(hào)為006，則在編號(hào)為051～125之間抽得的編號(hào)為( ).

A.056，080，104 B.054，078，102

C. 054，079，104 D. 056，081，106

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( ).

A.1盞 B.3盞 C. 5盞 D. 9盞

圖1

A.6 B.7 C. 8 D. 9

11.圖2網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( ).

圖2

第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)

13.等比數(shù)列{an}中，4a1,2a2,a3成等差數(shù)列，若a1=1，則公比q=____．

16.如圖3，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A1，A2為雙曲線的頂點(diǎn)，B1，B2為雙曲線虛軸的端點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)B1A2與F2B2交于點(diǎn)P，若∠B1PB2為銳角，則該雙曲線的離心率的取值范圍是____．

圖3

三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

(1)求角C．

(2)若BC=4，△ABC的中線CD=2，求△ABC的面積．

18.(本小題滿分12分)如圖4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，O為AB的中點(diǎn)，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

圖4

(1)證明：AB⊥平面A1OC;

(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱錐A1-ABC的體積．

19.(本小題滿分12分)十九大提出：堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧，某省某科研機(jī)構(gòu)幫助某貧困縣的農(nóng)村村民真正脫貧，堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合，積極引導(dǎo)該縣農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該村村民的經(jīng)濟(jì)收入．2019年年底，該機(jī)構(gòu)從該縣種植了這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了n戶，統(tǒng)計(jì)了他們2019年因種植中藥材所獲純利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)的情況(假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項(xiàng)一年最多增加11萬(wàn)元)，并分成以下幾組：[1,3)，[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表所示，已知樣本中數(shù)據(jù)落在[9,11]這一組的頻率為0.1.

純利潤(rùn)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[)9,11[]頻數(shù)2030a4020

(1)求n和表中a的值；

(2)試估計(jì)該貧困縣農(nóng)戶因種植中藥材所獲純利潤(rùn)的平均值和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表)．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．

(2)設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與曲線C相切于點(diǎn)M，且與直線x=-1相交于點(diǎn)N，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)E，使得以MN為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn)?若存在，求出定點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(1)求f(x)在區(qū)間(0,2π)上的極值點(diǎn)；

(2)證明：g(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)．

請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).

(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

23.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍．

參考答案

一、選擇題

1.A 2.B 3.D 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A

二、填空題

三、解答題

17.(1)由正弦定理及已知條件，得

兩邊同乘ab，得a2+b2-c2=-ab．

(2)方法1設(shè)AC=x，AD=BD=y，

由余弦定理，得

即x2+16-4y2=-4x.

①

根據(jù)余弦定理，得

因?yàn)椤螦DC與∠BDC互補(bǔ)，

所以cos∠ADC+cos∠BDC=0.

即2y2-x2-8=0.

②

方法2延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DC=DE，連接AE，BE，則所得四邊形ACBE是平行四邊形.

又因?yàn)镃E=2CD=4，BC=4，

所以BE=4，AC=4．

18.(1)因?yàn)镃A=CB，O為AB中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.

因?yàn)锳B=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B為等邊三角形，即OA1⊥AB.

又OC∩OA1=O，OC，OA1?平面A1OC，

所以AB⊥平面A1OC．

(2)因?yàn)锳B=CB=2，

所以△ABC為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，

因?yàn)镺A1⊥AB，OA1⊥OC，AB∩OC=O，AB，OC?平面ABC，所以O(shè)A1⊥平面ABC.

即OA1是三棱錐A1-ABC的高.

所以a=200-20-30-40-20=90．

(2)計(jì)算可得樣本中的數(shù)據(jù)落在每個(gè)區(qū)間的頻率分別為0.1，0.15，0.45，0.2，0.1，所以農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤(rùn)的平均值為2×0.1+4×0.15+6×0.45+8×0.2+10×0.1=6.1(萬(wàn)元)．

因?yàn)榍?組的頻率為0.25<0.5，前3組的頻率為0.7>0.5，所以樣本的中位數(shù)在第三組，設(shè)樣本的中位數(shù)為x(萬(wàn)元)，

20.(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則Q(-1,y).

得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y).

化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x．

k2x2+(2km-4)x+m2=0.

由Δ=0，得km=1.

假設(shè)存在點(diǎn)E(x0,0)滿足ME⊥NE，則

①

當(dāng)x0=1時(shí)，①式恒成立．

所以存在一個(gè)定點(diǎn)E(1,0)，使得以MN為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn)．

21.(1)f′(x)=xcosx(x∈(0,2π))，

因?yàn)間(0)=0，所以x=0是g(x)的一個(gè)零點(diǎn).

即要確定g(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需確定x>0時(shí)，g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

當(dāng)x>0時(shí)，

又因?yàn)閠(x)開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為x=2，

所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，

由于g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，而g(0)=0.

綜上，g(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)．

(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．

23.(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=-x2+x+4，

當(dāng)x>1時(shí)，令-x2+x+4≥2x，

當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，令-x2+x+4≥2，

解得-1≤x≤1，則f(x)≥g(x)的解集為[-1,1].

當(dāng)x<-1時(shí)，令-x2+x+4≥-2x，此時(shí)無(wú)解，則f(x)≥g(x)的解集為?．

(2)依題意-x2+ax+4≥2在[-1,1]恒成立.

即x2-ax-2≤0在[-1,1]上恒成立.

解得-1≤a≤1，故a的取值范圍是[-1,1]．