袁小冬

(江蘇省東臺(tái)中學(xué) 224200)

要高效地使用正交分解法，我們就需要完全掌握正交分解法的原理及解法步驟，在使用正交分解法中，我們需要以某一個(gè)力為基點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，一個(gè)x軸和一個(gè)y軸分別代表兩個(gè)垂直方向的分力.所以在使用正交分解法的時(shí)候，我們要清楚審題，知道解決問(wèn)題的目標(biāo)，不要做無(wú)用功.

1 怎樣建立直角坐標(biāo)系

我們平常學(xué)習(xí)的平面直角坐標(biāo)系都是在一個(gè)水平的平面上進(jìn)行建立，但是當(dāng)我們?cè)诮獯鹞锢韱?wèn)題時(shí)，遇見(jiàn)不在水平地面上的物體，如何建立直角坐標(biāo)系呢？在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我們只要注意沿著力的方向進(jìn)行分解，建立直角坐標(biāo)系.下面舉些例題進(jìn)行例證.

例題1在豎直的墻壁上有一個(gè)質(zhì)量為2kg的小方塊，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25，如果現(xiàn)在使用一個(gè)30N的推力F沿著斜向上的方向推這個(gè)小方塊，這個(gè)力的方向與水平方向成37°，在這個(gè)力的作用下小方塊保持靜止?fàn)顟B(tài)，如圖1所示，g=10m/s2.求:

(1)此時(shí)小方塊受到的摩擦力的大小

(2)如果要使得小方塊保持勻速下滑的狀態(tài)，力的方向不發(fā)生改變，則力的大小為多少？

圖1 圖2

解析(1)此時(shí)的小方塊為靜止?fàn)顟B(tài)，它所受到的力一共有四個(gè)，分別是墻壁對(duì)它的摩擦力f，自身的重力G，墻壁對(duì)它的彈力N和推力F.它的受力分析如圖2所示，通過(guò)這個(gè)圖，我們知道只需要分解F，建立直角坐標(biāo)系，分別為Fx和Fy.

因?yàn)橐３朱o止?fàn)顟B(tài)，所以分力Fy與f的合力要等于重力：

Fy=Fsin37°=30N×sin37°=18N

所以墻壁對(duì)小方塊摩擦力為：

f=G-Fy=2×10-18N=2N

(2)這一小問(wèn)與上一問(wèn)相同，小方塊依然是承受著4個(gè)力，只是靜摩擦力f變?yōu)閯?dòng)摩擦力f2.

因?yàn)樾》綁K是以勻速運(yùn)動(dòng)的方式下滑，所以豎直方向上和水平方向上的力應(yīng)該保持平衡，這樣才不會(huì)存在加速度.所以可以得到以下方程：

在水平方向上：N=Fcos37°

在豎直方向上：

Fsin37°+f2=G

小方塊的滑動(dòng)摩擦力為：f2=μN(yùn)

可以解得：F=25N

2 運(yùn)用正交分解法的步驟

1.先對(duì)目標(biāo)進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖.

2.以力的作用點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系.

3.將不在坐標(biāo)軸的所有力進(jìn)行分解，分解成在坐標(biāo)軸的分力.

4.相同坐標(biāo)軸上的力進(jìn)行運(yùn)算，列出方程

5.最后求出合力的大小和方向

例題2有一個(gè)人在放風(fēng)箏，這個(gè)風(fēng)箏的重力為4N，此時(shí)的風(fēng)箏線與水平面成53°，如圖3所示，這個(gè)人以5N的力拉住風(fēng)箏，求風(fēng)對(duì)風(fēng)箏的風(fēng)力F為多少及F與水平面形成的夾角的正切值.

圖3 圖4

解析在解答這題時(shí)，我們首先要對(duì)風(fēng)箏所受的力進(jìn)行受力分析，風(fēng)箏收到了自身的重力G、風(fēng)箏線的拉力T和風(fēng)力F.以風(fēng)箏為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將風(fēng)力F進(jìn)行分解，分別分解為水平方向上的分力Fx和豎直方向上的分力Fy，然后再對(duì)風(fēng)箏線的拉力T進(jìn)行分解，分別分解為水平方向上的分力Tx和豎直方向上的分力Ty.如圖4所示.

由圖可知,水平方向的力為：

Fx=Tcos53°

Fx=3N

豎直方向的力為：

Fy=Tsin53°+GFy=8N

所以風(fēng)力F為：

點(diǎn)評(píng)在解答這一題時(shí)，也可以使用相似三角形的方法進(jìn)行解題，但是相比于正交分解法難度更大，更容易出錯(cuò)，所以掌握正交分解法可以更加高效地、簡(jiǎn)易地解題.

2 正交分解法的使用注意

不要固執(zhí)地認(rèn)為需要求的力不能夠進(jìn)行正交分解，要根據(jù)物體受力情況具體分析.

例題3如圖5所示，現(xiàn)在要用一根繩子將一個(gè)物體勻速提起來(lái)，該物體的重力為G，在這個(gè)階段，四條細(xì)繩與豎直方向上的夾角都是60°，則每根細(xì)繩的拉力為多少( ).

圖5

解析令每根細(xì)繩的拉力為F，在豎直方向上有：

4Fcos60°=G

在高中物理力學(xué)的學(xué)習(xí)階段，我們?cè)诮鉀Q共點(diǎn)力問(wèn)題時(shí)，要注意幾個(gè)問(wèn)題，首先是確定物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是靜止的還是滑動(dòng)的.然后是理清楚物體的受力情況，要畫出受力分析圖，以便確定是要使用正交分解法還是三角形法.最后是求得正確答案，在物理解題時(shí)要正確運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算

4 正交分解法的具體運(yùn)用

4.1 求合力

4.2 受力平衡

4.3 受力不平衡

當(dāng)一個(gè)物體，受到n個(gè)作用力不平衡時(shí)，便要根據(jù)牛頓第二定律F=ma，來(lái)建立正交坐標(biāo)系x軸和y軸，并將這n個(gè)作用力，分解到坐標(biāo)軸上，或者將加速度分解到坐標(biāo)軸上，于x軸和y軸兩個(gè)方向上，分別建立牛頓第二定律方程，為

例題4如圖6所示電梯與水平夾角為30°，當(dāng)電梯加速度向上運(yùn)動(dòng)，人對(duì)梯面壓力為其重力的6/5，求證人與梯面之間的摩擦力是其重力多少倍？

圖6

解析對(duì)人進(jìn)行的受力進(jìn)行分析，其受到的重力mg，支持力為FN，摩擦力為Ff，根據(jù)圖6可知，取水平向右x軸正向，建立正交坐標(biāo)系，按照牛頓第二定律得出：

4.4 運(yùn)動(dòng)量

對(duì)于運(yùn)動(dòng)量的計(jì)算，同樣可以運(yùn)用正交分解法，包括位移、速度及加速度等矢量的計(jì)算，通常將一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，比如高中物理中的曲線運(yùn)動(dòng)，即合運(yùn)動(dòng)根據(jù)實(shí)際的運(yùn)動(dòng)效果，分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的相互垂直的分運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行求解.而且為了促使解題更加的方便，要注意盡可能將矢量，處于在坐標(biāo)軸上來(lái)計(jì)算，由此減少對(duì)矢量的分解，從而充分發(fā)揮出正交坐標(biāo)系的作用與“巧勁”，靈活的解決不同的矢量問(wèn)題，由此促進(jìn)學(xué)生的物理解題效率與準(zhǔn)確性的提升.