劉 祥, 黃天耀, 劉一民

(清華大學(xué)電子工程系, 北京 100084)

0 引 言

不同于傳統(tǒng)的脈沖多普勒雷達(dá),頻率捷變雷達(dá)的發(fā)射脈沖頻率可以在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化,因此具有抗干擾能力強(qiáng)、截獲概率低、能夠抑制海雜波等特點,在軍事領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值。然而,脈間頻率捷變會破壞脈沖之間的相位相參性,給頻率捷變雷達(dá)的相參積累和目標(biāo)檢測帶來了一定的挑戰(zhàn)。

作為一種新的雷達(dá)體制,頻率捷變雷達(dá)的信號處理也不同于傳統(tǒng)雷達(dá)。本文研究頻率捷變雷達(dá)的目標(biāo)檢測問題。針對這一問題,現(xiàn)有文獻(xiàn)的主要研究思路是先對雷達(dá)回波在待檢測距離和速度分辨單元內(nèi)進(jìn)行相參積累,然后使用傳統(tǒng)的恒虛警檢測算法進(jìn)行目標(biāo)檢測。文獻(xiàn)[1,3-4]通過對脈沖間的相位偏移進(jìn)行補(bǔ)償來實現(xiàn)相參積累,文獻(xiàn)[5]基于參差脈沖重復(fù)間隔消除脈間相位偏移,文獻(xiàn)[6-7]通過非均勻快速傅里葉變換實現(xiàn)相參多普勒處理。另一種研究思路是利用壓縮感知理論,根據(jù)雷達(dá)目標(biāo)的稀疏特征,對頻率捷變雷達(dá)的目標(biāo)進(jìn)行稀疏恢復(fù),并完成目標(biāo)檢測。文獻(xiàn)[9,12]從給出了頻率捷變雷達(dá)稀疏恢復(fù)性能的理論保障,文獻(xiàn)[10]提出了存在格點失配的情況下的恢復(fù)算法,文獻(xiàn)[13]研究了目標(biāo)的塊稀疏特性對恢復(fù)性能的提升。

傳統(tǒng)的恒虛警檢測方法假設(shè)目標(biāo)是點目標(biāo),位于一個距離-速度分辨單元內(nèi),然而點目標(biāo)假設(shè)對于頻率捷變雷達(dá)不一定成立。頻率捷變雷達(dá)的合成帶寬很大,具有較高的距離分辨力,使得目標(biāo)散射點分散在多個連續(xù)的距離分辨單元內(nèi),成為擴(kuò)展目標(biāo)。頻率捷變雷達(dá)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測方法,以及目標(biāo)擴(kuò)展對檢測性能的影響,還是一個有待研究的問題。

針對擴(kuò)展目標(biāo)場景,本文研究了頻率捷變雷達(dá)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測問題,并且設(shè)計了基于廣義似然比的檢測器。為了提升雷達(dá)的抗干擾能力和頻譜利用效率,我們考慮雷達(dá)只發(fā)射可用頻帶內(nèi)的一部分頻點,也就是存在頻點缺失的情況。本文首先根據(jù)頻率捷變雷達(dá)的信號模型,建立擴(kuò)展目標(biāo)檢測問題,然后推導(dǎo)了對應(yīng)的廣義似然比檢測的檢驗統(tǒng)計量。雷達(dá)檢測概率和虛警概率通過數(shù)值仿真得到。仿真結(jié)果表明,頻率捷變雷達(dá)的點目標(biāo)檢測性能不如窄帶雷達(dá)。對于擴(kuò)展目標(biāo),在低信噪比下,頻率捷變雷達(dá)的檢測性能不如窄帶雷達(dá),但在高信噪下,頻率捷變雷達(dá)的檢測性能優(yōu)于窄帶雷達(dá),而且使用頻點越多,合成帶寬越大,檢測性能越好。

1 信號模型

1.1 發(fā)射信號

考慮一個起始載頻為,跳頻點數(shù)為,跳頻間隔為Δ的頻率捷變雷達(dá)。用≥表示雷達(dá)的發(fā)射脈沖個數(shù),第個發(fā)射脈沖的中心頻率為

=+()Δ,=0,1,…,-1

(1)

在本文中,頻率捷變雷達(dá)的基帶發(fā)射信號為矩形脈沖,射頻發(fā)射信號可以表示為

(2)

式中:是脈沖重復(fù)間隔;是脈沖寬度;(·)表示矩形窗函數(shù),定義為

1.2 接收信號

對于一個到雷達(dá)的距離為,相對雷達(dá)徑向速度為的點目標(biāo),在第個脈沖重復(fù)周期內(nèi),目標(biāo)到雷達(dá)的距離可以近似為

()=(0)+≈+

(3)

式中:≤≤(+1)。在沒有噪聲的情況下,雷達(dá)的接收信號可以表示為

(4)

式中：表示信號強(qiáng)度。在第個脈沖重復(fù)周期,下變頻后的接收信號為

(5)

其中,≤≤(+1)。

在第個脈沖重復(fù)周期,按照采樣間隔對接收信號進(jìn)行采樣,采樣時刻為

(6)

對任意0≤≤-1成立。那么,在采樣時刻=+,得到的采樣為

(7)

頻率捷變雷達(dá)的發(fā)射信號的合成帶寬為Δ,對應(yīng)的高分辨距離單元大小為1(Δ),一個粗分辨距離單元內(nèi)的高分辨距離單元個數(shù)為

特別地,本文設(shè)定脈寬為=1Δ,于是有=。假設(shè)目標(biāo)位于第個高分辨距離單元的中心,也就是說2c=+(Δ)。根據(jù)式(7),采樣信號可以表示為

(8)

在式(8)的信號表達(dá)式中,包含4個相位項,其中第1項取決于目標(biāo)速度,第2項和第4項取決于高分辨單元序號,第3項取決于粗分辨單元序號。其中,第4項不隨脈沖序號變化,可以跟合并,第3項是已知的,可以予以補(bǔ)償,補(bǔ)償后的信號可以表示為

(9)

式中:

2 擴(kuò)展目標(biāo)檢測

在本文中,我們依次對每個粗分辨距離單元進(jìn)行目標(biāo)檢測。頻率捷變雷達(dá)具有較大的合成帶寬,對應(yīng)的距離分辨率較高。因此,雷達(dá)目標(biāo)一般會變成擴(kuò)展目標(biāo),包含多個散射中心,分布在多個高分辨距離單元內(nèi)。同時,頻率捷變雷達(dá)的速度分辨率和傳統(tǒng)窄帶雷達(dá)相當(dāng),因此可以認(rèn)為目標(biāo)在速度維沒有擴(kuò)展,也就是說目標(biāo)的所有散射中心都位于同一個速度分辨單元。在下文中,基于上述假設(shè),我們建立第個粗分辨距離單元內(nèi)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測問題。

(10)

為了簡單,我們將式(10)表示為矩陣形式。定義

維速度導(dǎo)引矢量():

(11)

以及×維觀測矩陣:

(12)

式中:0≤≤-1; 0≤≤-1。

根據(jù)式(10),可以得到矩陣形式的觀測模型

=()°

(13)

式中:符號°表示向量的逐元素乘積。

下面我們給出擴(kuò)展目標(biāo)檢測的假設(shè)檢驗。在H假設(shè)下,是未知參數(shù),=,沒有目標(biāo)。在H假設(shè)下,≠,有目標(biāo)。在式(13)中,加上雷達(dá)接收機(jī)的噪聲、干擾以及雜波,表示為維向量。于是擴(kuò)展目標(biāo)檢測的假設(shè)檢驗可以表示為

H∶=
H∶=()°+

(14)

式中:是未知參數(shù);服從零均值、協(xié)方差為的復(fù)高斯分布。

3 廣義似然比檢測

3.1 檢驗統(tǒng)計量

使用廣義似然比檢測推導(dǎo)檢驗統(tǒng)計量。首先寫出在和假設(shè)下的似然函數(shù):

(15)

式中:在(;)中,和是未知參量。檢測問題(15)的對數(shù)廣義似然比可以寫作

(16)

根據(jù)式(16),我們把

(17)

作為廣義似然比檢測的檢驗統(tǒng)計量。給定檢測閾值,當(dāng)≥時,判定為有目標(biāo);當(dāng)<時,判定為沒有目標(biāo)。

3.2 檢驗統(tǒng)計量的計算

式(17)給出的檢驗統(tǒng)計量的表達(dá)式中含有兩個待優(yōu)化變量:目標(biāo)速度以及高分辨距離像。為了計算檢驗統(tǒng)計量,下面我們基于式(17)中的優(yōu)化,估計出和,然后計算對應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量。

為了簡單,首先我們把檢驗統(tǒng)計量等價表示為

(18)

式中:(·)表示共軛算子。注意到其中包含兩層優(yōu)化,外層優(yōu)化的含義是速度估計,而內(nèi)層優(yōu)化的含義是在補(bǔ)償?shù)羲俣仍斐傻南嘁坪髮δ繕?biāo)距離像進(jìn)行最小二乘估計。當(dāng)給定時,內(nèi)層優(yōu)化的最優(yōu)解為最小二乘估計

(19)

(20)

其中,目標(biāo)函數(shù)()的表達(dá)式為

(21)

這里我們可以進(jìn)一步簡化上述表達(dá)式。注意到矩陣的秩等于發(fā)射頻點個數(shù),用,,…,-1表示的非零奇異值,并且將的奇異值分解表示為

=

(22)

式中:是×維列單位正交矩陣;是維酉矩陣;維對角矩陣=diag(,,…,-1)。根據(jù)式(21)可以得到

(23)

因為是一維實變量,在式(20)中可以通過一維遍歷搜索確定其最優(yōu)值。忽略跳頻的影響,頻率捷變雷達(dá)的速度分辨率為

將作為搜索間隔,檢驗統(tǒng)計量可以根據(jù)下面的公式進(jìn)行計算:

(24)

3.3 檢測概率和虛警概率

給定檢測門限,檢測概率為H假設(shè)下≥的概率,而虛警概率為H假設(shè)下≥的概率。式(24)給出的檢驗統(tǒng)計量是個非獨立的隨機(jī)變量的最大值,其概率密度一般沒有解析表達(dá)式,導(dǎo)致檢測概率和虛警概率也無法直接計算。因此,我們只能通過數(shù)值模擬去近似計算。具體來說,我們基于獨立重復(fù)實驗,產(chǎn)生大量的檢驗統(tǒng)計量的樣本,通過統(tǒng)計樣本大于閾值的比例,來近似計算檢測概率和虛警概率。對應(yīng)的數(shù)值計算結(jié)果將會展示在下一節(jié)。

4 數(shù)值結(jié)果

=40=15625 m/s

為了產(chǎn)生目標(biāo)強(qiáng)度回波,需要對雷達(dá)目標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計建模。為了使結(jié)果更具有一般性,我們考慮了幾種不同的目標(biāo)模型:

下面我們比較不同發(fā)射頻點個數(shù)下的恒虛警檢測性能。對第1類目標(biāo),圖1和圖2分別展示了在高信噪比SNR=20 dB和低信噪比SNR=10 dB下的ROC曲線。從圖1可以看出,在高信噪比下,使用頻點個數(shù)越多,檢測性能越好。從圖2可以看出,當(dāng)信噪比較低時,使用更少的頻點可以得到更好的檢測性能。原因在于,使用頻點較少時,檢測信噪比更高,而當(dāng)使用頻點較多時,對目標(biāo)的分辨率更高。當(dāng)信噪比較低時,制約檢測概率的主要影響因素是信噪比,因此使用較少的頻點更有優(yōu)勢。而當(dāng)信噪比較高時,信噪比對檢測性能的影響變?nèi)?使用更多的頻點可以更好地對目標(biāo)進(jìn)行分辨,檢測性能更好。在信噪比比較高的條件下,相比窄帶雷達(dá),頻率捷變雷達(dá)雖然使目標(biāo)從點目標(biāo)變成了擴(kuò)展目標(biāo),但是并沒有導(dǎo)致檢測概率下降,反而能夠增大檢測概率。

圖1 第1類目標(biāo)檢測概率和虛警概率的關(guān)系(SNR=20 dB)

圖2 第1類目標(biāo)檢測概率和虛警概率的關(guān)系(SNR=10 dB)

圖3和圖4分別給出了第2類目標(biāo)在高信噪比和低信噪比下的ROC曲線?？梢钥闯?對于第2類目標(biāo),同樣可以得出在高信噪比下頻率捷變雷達(dá)檢測性能更好,而在低信噪比下窄帶雷達(dá)檢測性能更好的結(jié)論。這說明我們對檢測性能的分析可以適用于不同的目標(biāo)類型。

圖3 第2類目標(biāo)檢測概率和虛警概率的關(guān)系(SNR=20 dB)

圖4 第2類目標(biāo)檢測概率和虛警概率的關(guān)系(SNR=10 dB)

最后,我們再展示對第3類目標(biāo),也就是點目標(biāo)的檢測性能。當(dāng)目標(biāo)尺度較小時,目標(biāo)位于一個高分辨距離單元內(nèi),可以看成一個點目標(biāo)。圖5和圖6分別展示了SNR=20 dB和SNR=10 dB下的ROC曲線?？梢钥闯?如果目標(biāo)是點目標(biāo),無論是在高信噪比還是低信噪比下,都是使用頻點個數(shù)越少,檢測性能越好。由于始終只有一個高分辨距離單元內(nèi)有目標(biāo),不需要對目標(biāo)進(jìn)行分辨,增加發(fā)射頻點個數(shù)帶來的分辨率提升對于改善檢測性能意義不大,但是卻會導(dǎo)致檢測信噪比下降,最終導(dǎo)致檢測概率降低。

圖5 第3類目標(biāo)檢測概率和虛警概率的關(guān)系(SNR=20 dB)

圖6 第3類目標(biāo)檢測概率和虛警概率的關(guān)系(SNR=10 dB)

5 結(jié) 論

本文建立了頻率捷變雷達(dá)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測問題,推導(dǎo)了廣義似然比檢測的檢驗統(tǒng)計量,并且通過數(shù)值仿真給出了對應(yīng)的虛警概率和檢測概率。仿真實驗表明,在低信噪比下頻率捷變雷達(dá)的擴(kuò)展目標(biāo)檢測性能不如窄帶雷達(dá)。而在高信噪比下,頻率捷變雷達(dá)的檢測性能優(yōu)于窄帶雷達(dá),并且合成帶寬越大,檢測性能越好。