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        導(dǎo)數(shù)在雙變量函數(shù)中的應(yīng)用賞析

        2022-05-23 22:37:05陳仿云余其權(quán)
        關(guān)鍵詞:極值單調(diào)本題

        陳仿云 余其權(quán)

        一、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一,構(gòu)造函數(shù)

        例1(2022屆深圳市實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)已知函數(shù)f(x)=1/2x2,g(x)=alnx。

        解析:

        評(píng)注:本題將變形為 x1-x2h(x1)—2x1>h(x2)—2x2,使不等式的兩邊結(jié)構(gòu)統(tǒng)一。設(shè)x1>x2,構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)—2x,問題轉(zhuǎn)化為F(x)在(0,+00)上為增函數(shù),則F'(x)≥0在(0,+o)上恒成立,參變分離得a≥(2x—x2)max,最后根據(jù)二次函數(shù)的最值求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

        二、尋找關(guān)系,變量化一

        例2(2022屆陽春市第一中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2lnx(a為常數(shù))。

        (1)當(dāng)a≤4時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

        (2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且|x1-x2|≤3/2,證明:1f(x1)-f(x2)|≤ 1/6-41n2。

        解析:

        評(píng)注:本題的關(guān)鍵點(diǎn)為利用函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)求得x1,x2的關(guān)系,利用函數(shù)的單調(diào)性求得|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2),代入解析式替換掉x1后得到僅含有一個(gè)變量x2的解析式,然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),利用單調(diào)性解決問題。

        三、差的代換,變量化一

        例3(2021屆湛江市高三第一次模擬)已知函數(shù)f(x)=e,g(x)=2ax+1。

        (1)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值集合;

        (2)若a>0,且方程f(x)—g(x)=0有兩個(gè)不同的根x1,x2,證明:+2< ln(2a)。

        解析:

        四、商的代換,變量化一

        例4(2022屆皖西七校聯(lián)考)

        (1)當(dāng)a=—2時(shí),f(x)與g(x)在定義域上的單調(diào)性相反,求b的取值范圍;

        (2)

        解析:

        評(píng)注:

        總之,證明或求解雙變量函數(shù)或不等式的基本思想是將二元函數(shù)或不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)或不等式,可以合理利用雙變量之間的關(guān)系直接代入消元,也可以分散雙變量后直接構(gòu)造函數(shù),還可以變換不等式使兩個(gè)變元成為一個(gè)整體即重組雙變量后換元成單變量的函數(shù),掌握這些常用的方法,則這類函數(shù)問題就能迎刃而解。

        (責(zé)任編輯王福華)6122E2CD-BCF3-4BEC-BBFD-EF58EDAB3679

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