董 鵬 陳志明 于 偉

（1. 中國(guó)石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2. 美國(guó)得州大學(xué)奧斯汀分校，美國(guó)得克薩斯州 78712）

0 引 言

頁(yè)巖油開(kāi)發(fā)在非常規(guī)油氣能源中比例越來(lái)越大，已成為重要的油氣接替資源之一［1‐2］。為提高單井產(chǎn)能和油田采收率，大型壓裂直井已初步應(yīng)用到頁(yè)巖油藏中［3‐5］。對(duì)于大型壓裂井，產(chǎn)能評(píng)價(jià)是其實(shí)際生產(chǎn)的首要任務(wù)［6‐7］。鄂爾多斯盆地頁(yè)巖油藏主力油層脆性指數(shù)為39%～45%，屬于低脆性油藏［8］。同時(shí)，儲(chǔ)層非均質(zhì)性較強(qiáng)，在直井進(jìn)行大型壓裂后，壓裂井井筒附近會(huì)形成復(fù)雜多分支裂縫［9］，為其產(chǎn)能評(píng)價(jià)帶來(lái)了困難。因此，有必要進(jìn)一步完善大型壓裂直井的產(chǎn)能評(píng)價(jià)體系。

針對(duì)大型壓裂直井，目前主要有2 種簡(jiǎn)化物理數(shù)學(xué)模型：徑向復(fù)合模型和離散裂縫模型。M.Chang等［3］利用徑向復(fù)合模型模擬大型壓裂直井的控制區(qū)。在此基礎(chǔ)上，H.Arvind 等［4］基于微地震數(shù)據(jù)建立了大型壓裂直井的徑向復(fù)合模型，并基于數(shù)值解研究了大型壓裂直井產(chǎn)能。針對(duì)數(shù)值解受網(wǎng)格劃分及算法限制，劉雄等［5］根據(jù)儲(chǔ)層改造程度建立了徑向復(fù)合模型，得到了考慮滲透率敏感效應(yīng)影響下的大型壓裂直井產(chǎn)能方程。徑向復(fù)合模型在一定程度能較好地模擬大型壓裂后地層，但對(duì)于單重介質(zhì)和復(fù)雜邊界的頁(yè)巖油藏，由于缺少天然裂縫的有效溝通，應(yīng)用徑向復(fù)合模型存在一定不足。

為克服復(fù)合模型的局限性及對(duì)比大型壓裂與常規(guī)壓裂的開(kāi)發(fā)效果，一些學(xué)者［10‐13］利用離散裂縫模型來(lái)模擬大型壓裂直井及評(píng)價(jià)其產(chǎn)能。然而，受網(wǎng)格數(shù)量限制，數(shù)值模型難以真實(shí)地反映裂縫特性。程林松等［14‐15］和李璗等［16］也曾提出多分支裂縫井模型的產(chǎn)能方程，但遺憾的是裂縫被視為完全對(duì)稱且為無(wú)限導(dǎo)流。實(shí)際上，受地質(zhì)和工程因素影響，裂縫長(zhǎng)度、導(dǎo)流能力及縫間角度具有不對(duì)稱性。陳志明等［17］和Z.Chen 等［18］在線性流動(dòng)條件下，應(yīng)用保角變換，分別推導(dǎo)了不對(duì)稱多分支裂縫直井穩(wěn)態(tài)和擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，但模型未考慮非線性滲流因素和復(fù)雜邊界形態(tài)。D.P.Craig 等［19］和D.P.Restrepo 等［20］分別利用點(diǎn)源解和疊加原理得到復(fù)雜裂縫直井模型的半解析產(chǎn)能方程，但裂縫被假定為無(wú)限導(dǎo)流。目前，大型壓裂技術(shù)主要針對(duì)頁(yè)巖儲(chǔ)層，頁(yè)巖油藏不但存在流體的非線性流動(dòng)，而且經(jīng)過(guò)大型壓裂后還會(huì)形成非圓形體積改造區(qū)。因此，在產(chǎn)能評(píng)價(jià)時(shí)，亟需一套考慮非線性因素和非圓形邊界影響的大型壓裂直井解析產(chǎn)能模型。

基于離散裂縫模型，在上述研究基礎(chǔ)上［17‐18］推導(dǎo)出了適用于鄂爾多斯盆地頁(yè)巖油藏大型壓裂直井的擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型。為檢驗(yàn)方程的正確性，利用現(xiàn)有的常規(guī)裂縫井產(chǎn)能模型進(jìn)行退化驗(yàn)證并利用數(shù)值模擬方法進(jìn)一步驗(yàn)證。最后，分析了裂縫長(zhǎng)度、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫數(shù)目及應(yīng)力敏感系數(shù)等因素對(duì)大型壓裂直井產(chǎn)能的影響。

1 物理模型

考慮非圓形泄流區(qū)域，以六面體為例，建立簡(jiǎn)化的大型壓裂直井物理模型（圖1）。油井控制區(qū)包含人工裂縫和天然油藏。受地質(zhì)和工程因素影響，在大型壓裂改造過(guò)程中，裂縫沿井筒呈不對(duì)稱網(wǎng)狀分布，利用X軸正半軸起逆時(shí)針?lè)较?，第i個(gè)角度表征為θ=θi，i= 1，2，…，n，n為裂縫間夾角數(shù)。

圖1 大型壓裂直井保角變換示意Fig.1 Schematic diagram of conformal transformation of LSF verticalwell

考慮頁(yè)巖油藏滲透率的應(yīng)力敏感效應(yīng)。建立物理基本假設(shè)：（1）沿井筒存在不對(duì)稱分布的復(fù)雜裂縫；（2）裂縫高度等于地層厚度；（3）復(fù)雜裂縫中流體線性流動(dòng)；（4）不考慮垂向流動(dòng)及裂縫污染；（5）油井控制區(qū)上下封閉；（6）流體流動(dòng)達(dá)到擬穩(wěn)態(tài)；（7）流體為單相、微可壓縮牛頓流體；（8）滲流過(guò)程中等溫；（9）考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)。

2 數(shù)學(xué)模型

采用保角變換［21‐22］對(duì)大型壓裂直井的非圓形地層進(jìn)行處理。

首先，利用形狀因子［23］將非圓形地層等效為擬圓形地層（圖1（c）），可得擬穩(wěn)態(tài)條件下等效泄流半徑，即

式中：re——等效半徑，cm；下標(biāo)e 表示邊界；A——泄油面積，cm2；CA——形狀因子。

式中：Z——復(fù)變函數(shù)；θ1——半縫間夾角，rad。

將W1平面的半縫變換到W2平面上，無(wú)因次寬度為π。W1平面的地層半圓變成W2平面的矩形，如圖1（f）。根據(jù)保角變換公式（2）變換后為

式中：Lf1——下部半縫長(zhǎng)度，cm；Lf2——上部半縫長(zhǎng)度，cm；rw——井半徑，cm；下標(biāo)f 表示裂縫；

1，2 表示下部和上部半縫；w 表示井筒。

變換后的地層長(zhǎng)和寬分別為ξe和π，其具有長(zhǎng)度特征，單位可視為單位長(zhǎng)度。對(duì)其他半縫間地層，可作同樣變換得到矩形地層。保角變換結(jié)束后，以單區(qū)為研究對(duì)象，進(jìn)行產(chǎn)能評(píng)價(jià)。

2.1 外部滲流區(qū)

根據(jù)保角變換后流線變化特征，外部區(qū)域流動(dòng)可視為單向流，如圖1（f），由于流體流動(dòng)達(dá)到擬穩(wěn)態(tài)，建立的連續(xù)性方程為

式中：ρ——原油密度，g/cm3；v——原油滲流速度，cm/s；p——壓力，MPa；Ct——綜合壓縮系數(shù)，MPa?1；t——時(shí)間，s；下標(biāo)r 為天然油藏區(qū)。

考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)，運(yùn)動(dòng)方程為

式中：μ——地下原油黏度，mPa?s；K——滲透率，μm2；α——應(yīng)力敏感系數(shù)，MPa?1；ξ——保角變換后橫坐標(biāo)，cm；下標(biāo)i 為初始條件。

內(nèi)外邊界條件公式為

式中ξe——保角變換后橫坐標(biāo)邊界，cm。

由式（4）和式（5）可得到

其中，在保角變換后坐標(biāo)中，擬穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下壓力隨時(shí)間變換為

式中：Qw——油井產(chǎn)量，cm3/s；Bo——原油體積系數(shù)，cm3/cm3；Lref——參考長(zhǎng)度，cm；h——油層高度，cm；下標(biāo)ref 表示參考值，D表示所有量綱歸一化。

根據(jù)量綱歸一化參數(shù)，外部區(qū)域滲流方程為

式（9）和式（10）構(gòu)成了擬穩(wěn)態(tài)時(shí)的滲流模型，由于應(yīng)力敏感系數(shù)的存在，方程系數(shù)具有強(qiáng)非線性。于是，采用Pedrosa 擾動(dòng)方法［24‐25］進(jìn)行處理。Pedrosa 擾動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)為

考慮到αD值較小，零階擾動(dòng)解可滿足要求。因此，利用p1D來(lái)代替prD，替代后的滲流模型為

pfeD的計(jì)算公式為

2.2 裂縫滲流區(qū)

2.2.1 下部裂縫

由于油井的存在，裂縫中流線存在突變，如圖1（f）。于是，將裂縫壓力分段求解。對(duì)于下部裂縫，當(dāng)流體在裂縫中滿足擬穩(wěn)態(tài)滲流，考慮儲(chǔ)層流體向裂縫的補(bǔ)給［26‐27］，控制方程可表示為

式中qr——地層流往裂縫的流量，cm3/s。

其中，考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)，交換質(zhì)量可表示為

式中bf——裂縫寬度，cm。

考慮裂縫滲透率的應(yīng)力敏感效應(yīng)，運(yùn)動(dòng)方程為

式中：vf——裂縫流體流速，cm/s；η——保角變換后縱坐標(biāo)，cm。

內(nèi)外邊界條件表示為

考慮到油藏滲透率與裂縫滲透率比很小，忽略式（22）右端項(xiàng)，可得

式（22）和式（24）構(gòu)成下部裂縫區(qū)擬穩(wěn)態(tài)滲流模型。考慮到αD值較小，控制方程式（22）可簡(jiǎn)化為

其中：pfeD=pfD?peD。同樣由于應(yīng)力敏感系數(shù)的存在，方程系數(shù)具有強(qiáng)非線性。于是，采用Pedrosa替代方法進(jìn)行處理。Pedrosa 替代表達(dá)式為

代入邊界條件式（28），可得

2.2.2 上部裂縫

上部裂縫區(qū)與下部裂縫區(qū)的滲流模型是類似的，僅邊界條件存在差異。在裂縫中，流體流動(dòng)的量綱歸一化控制方程為

同樣利用零階擾動(dòng)解p2D來(lái)代替pfD，控制方程可簡(jiǎn)化為

對(duì)此滲流模型進(jìn)行求解，并代入邊界條件式（33），可得

2.3 裂縫壓力分布

根據(jù)滲流模型求解結(jié)果，p2D可用分段函數(shù)來(lái)表達(dá)，即

3 產(chǎn)能模型

3.1 單區(qū)產(chǎn)能模型

對(duì)于大型壓裂直井，其產(chǎn)能可表達(dá)為

其中，上標(biāo)+表示井筒上部方向，上標(biāo)?表示井筒下部方向。量綱歸一化后可表達(dá)為

式中：CfD1——下部半縫的量綱歸一化導(dǎo)流能力；CfD2——上部半縫的量綱歸一化導(dǎo)流能力。

根據(jù)已求出的裂縫壓力分布表達(dá)式（23），可得

式（39）即為單區(qū)地層對(duì)應(yīng)油井產(chǎn)量的表達(dá)式。

3.2 整體產(chǎn)能模型

考慮裂縫長(zhǎng)度，裂縫間夾角及裂縫導(dǎo)流能力的差異性，對(duì)于任意單區(qū)j可以表示為

基于陳志明等［17］和Z.Chen 等［18］的產(chǎn)能疊加方法，忽略單區(qū)間影響，可得到考慮滲透率應(yīng)力敏感效應(yīng)和非圓形邊界的大型壓裂復(fù)雜裂縫直井滲流模型，公式為

式（41）即為擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型，當(dāng)然利用裂縫壓力分布表達(dá)式（35）可得到平均壓力與peD關(guān)系，則可得到關(guān)于平均壓力與pwD的擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能公式。為便于理解，文中利用式（41）進(jìn)行分析。

3.3 模型驗(yàn)證

3.3.1 解析方法驗(yàn)證

3.3.2 數(shù)值方法驗(yàn)證

利用商業(yè)數(shù)值模擬軟件對(duì)建立的產(chǎn)能模型進(jìn)一步驗(yàn)證。在數(shù)值模擬驗(yàn)證中，模型初始油層壓力為30 MPa，油藏邊長(zhǎng)為313 m，控制面積為2.54×105m2，基巖滲透率為0.089×10?3μm2，孔隙度為6%，滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)為0.01 MPa?1，地下原油黏度為1 mPa ?s， 原油體積系數(shù)為1.05 m3/m3。分別考慮了3 種不同縫網(wǎng)壓裂井情況，裂縫基礎(chǔ)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。利用式（41）計(jì)算產(chǎn)能前需進(jìn)行滲透率單位轉(zhuǎn)化。

表1 裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)Table 1 Parameters of fractures network

采用局部非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格加密方式建立不對(duì)稱兩分支、四分支及八分支復(fù)雜裂縫數(shù)值模型（圖2）。在不同油層厚度下，將式（38）計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)吻合程度較好，證明文中產(chǎn)能模型的可靠性（圖3）。

圖2 非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格復(fù)雜裂縫模型Fig.2 Non-structural grid models forcomplex fractures

圖3 不同儲(chǔ)層厚度下大型壓裂直井產(chǎn)量壓差比的產(chǎn)能模型數(shù)值驗(yàn)證Fig.3 Numerical verification of productivity model for production-pressure difference ratio of LSF vertical well with different reservoir thickness

4 結(jié)果分析

基于某頁(yè)巖油田WA 井參數(shù)，確定了理論模型部分參數(shù)：大型壓裂直井裂縫分支數(shù)為6，初始油層壓力為38.87 MPa，生產(chǎn)壓差為27.00 MPa，油層厚度為8.95 m，油藏邊長(zhǎng)為697 m，控制面積為1.26 km2，基巖滲透率為0.089×10?3μm2，孔隙度為6%，滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)為1.5 GPa?1，地下原油黏度為1 mPa?s，原油體積系數(shù)為1.05 m3/m3，裂縫基礎(chǔ)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 裂縫基礎(chǔ)參數(shù)Table 2 Basic parameters of fractures

4.1 滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)

基于表2 數(shù)據(jù)，獲得大型壓裂直井產(chǎn)能與滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)關(guān)系（圖4（a））。隨著應(yīng)力敏感系數(shù)的增大，壓裂井產(chǎn)能下降。這是由于隨著應(yīng)力敏感系數(shù)增大，基質(zhì)滲透率下降速率增大，流體的滲流能力變小，因此油井產(chǎn)量下降。同時(shí)，由于滲透率下降幅度與應(yīng)力敏感系數(shù)呈指數(shù)關(guān)系，因此壓裂井產(chǎn)能與滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)也近似呈指數(shù)關(guān)系。

圖4 大型壓裂直井產(chǎn)能與各參數(shù)間關(guān)系Fig.4 Relations between productivity and different parameters of LSF vertical well

4.2 裂縫長(zhǎng)度

基于表2 中裂縫基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，獲得大型壓裂直井產(chǎn)能與裂縫長(zhǎng)度關(guān)系（圖4（b）），其中各分支裂縫長(zhǎng)度為等倍數(shù)變化。隨著裂縫長(zhǎng)度的增大，壓裂井的產(chǎn)能增加，且隨著長(zhǎng)度倍數(shù)的增加，其對(duì)產(chǎn)能影響越明顯。這是因?yàn)?，隨著裂縫長(zhǎng)度增大，裂縫控制區(qū)域增加，流體滲流阻力減小，壓裂井產(chǎn)能增大。當(dāng)裂縫長(zhǎng)度較小時(shí)，產(chǎn)能隨長(zhǎng)度變化較弱，裂縫導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)能起主導(dǎo)作用；當(dāng)裂縫長(zhǎng)度較大時(shí)，裂縫長(zhǎng)度起主導(dǎo)作用，產(chǎn)能隨長(zhǎng)度變化較明顯。因此，在頁(yè)巖油藏直井大型壓裂時(shí)，建議盡量造長(zhǎng)縫。

4.3 裂縫導(dǎo)流能力

基于表2 中裂縫基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，獲得大型壓裂直井產(chǎn)能與裂縫導(dǎo)流能力關(guān)系（圖4（c））。隨著裂縫導(dǎo)流能力倍數(shù)的增加，裂縫井產(chǎn)能增大，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力倍數(shù)增大到0.1 后，壓裂井產(chǎn)能基本保持不變。對(duì)于頁(yè)巖油藏，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力很大時(shí)，裂縫可近視為無(wú)限導(dǎo)流，繼續(xù)增加其導(dǎo)流能力，對(duì)產(chǎn)能影響很微弱。同時(shí)，從產(chǎn)能模型也可看出，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力很大時(shí)，式（41）中b值接近0，產(chǎn)能模型中裂縫導(dǎo)流能力參數(shù)可消去。因此，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力增大到一定值時(shí)，導(dǎo)流能力的增加對(duì)壓裂井產(chǎn)能影響很小。這與W.Luo 等［33］、S.Be‐rumen 等［34］和L.Wang 等［35］研究不對(duì)稱壓裂井試井模型時(shí)所得出的結(jié)論一致。因此，在頁(yè)巖油藏壓裂時(shí)，不必追求過(guò)高的裂縫導(dǎo)流能力。

4.4 裂縫數(shù)目

為分析裂縫數(shù)目對(duì)大型壓裂直井產(chǎn)能的影響，假設(shè)裂縫是一致的，各裂縫半長(zhǎng)和導(dǎo)流能力取表2中平均值為80.5 m，導(dǎo)流能力8.5×10?3μm2?m，裂縫夾角60°，獲得大型壓裂直井產(chǎn)能與裂縫條數(shù)關(guān)系（圖4（d））。由圖4（d）可知，隨著裂縫數(shù)目的增大，壓裂井的產(chǎn)能增大，這是由于隨著裂縫數(shù)目增大，縫控區(qū)域增大，流體滲流阻力下降，因此油井產(chǎn)能增大。當(dāng)裂縫的數(shù)量增大到3—4 條時(shí)，增油量的幅度變緩。裂縫數(shù)量繼續(xù)增大時(shí)，壓裂井增油幅度減弱。究其原因，是因?yàn)殡S著裂縫數(shù)增大，裂縫間干擾程度會(huì)加劇，壓裂井增油量的幅度減小。

5 應(yīng)用實(shí)例

以鄂爾多斯盆地頁(yè)巖油藏1 口大型壓裂直井WA為例進(jìn)行實(shí)例應(yīng)用分析。油藏基本參數(shù)：泄流面積為1.54×104m2，初始油層壓力為38.87 MPa，生產(chǎn)壓差為25.40 MPa，油層厚度為8.95 m，基巖滲透率為0.089×10?3μm2，孔隙度為6%，滲透率應(yīng)力敏感系數(shù)為0.01 MPa?1，泡點(diǎn)壓力為10 MPa，地下原油黏度為1 mPa?s，原油體積系數(shù)為1.05 m3/m3，井筒半徑為0.1 m，裂縫分支數(shù)為6。大型壓裂直井的其他詳細(xì)參數(shù)見(jiàn)表3，圖5 為該井的微地震數(shù)據(jù)。從微地震數(shù)據(jù)分析，該井壓裂改造區(qū)近似為六面體。

圖5 鄂爾多斯盆地大型壓裂頁(yè)巖油井微地震點(diǎn)Fig.5 Microseismic spot of LSF shale oil well in Ordos Basin

表3 大型壓裂直井的其他參數(shù)Table 3 Other parameters for LSF vertical well

采用式（41）來(lái)預(yù)測(cè)目前階段選取的實(shí)際產(chǎn)量。同樣，計(jì)算產(chǎn)能前需進(jìn)行達(dá)西單位轉(zhuǎn)化。分別考慮和不考慮應(yīng)力敏感情況，與實(shí)際產(chǎn)能對(duì)比。結(jié)果發(fā)現(xiàn)考慮應(yīng)力敏感效應(yīng)預(yù)計(jì)的產(chǎn)量與實(shí)際產(chǎn)量平均誤差為8.3%，基本符合大型壓裂直井實(shí)際生產(chǎn)情況（圖6）。

圖6 大型壓裂頁(yè)巖油井的理論累計(jì)產(chǎn)量與實(shí)際累計(jì)產(chǎn)量Fig.6 Theoretical and actual cumulative productions for LSF shale oil well

6 結(jié) 論

（1）經(jīng)過(guò)保角變換，本文的擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型與前人提出的典型裂縫井產(chǎn)能模型具有很好相容性，同時(shí)與數(shù)值模擬結(jié)果吻合程度較好，方程可靠性得到了驗(yàn)證。

（2）隨著裂縫長(zhǎng)度增大，裂縫控制區(qū)域增加，流體滲流阻力減小，壓裂井產(chǎn)能增大。當(dāng)裂縫長(zhǎng)度較小時(shí)，產(chǎn)能隨長(zhǎng)度變化較弱，裂縫導(dǎo)流能力對(duì)產(chǎn)能起主導(dǎo)作用；當(dāng)裂縫長(zhǎng)度較大時(shí)，裂縫長(zhǎng)度起主導(dǎo)作用，產(chǎn)能隨長(zhǎng)度變化較明顯。因此，在頁(yè)巖油藏直井大型壓裂時(shí)，建議盡量造長(zhǎng)縫。

（3）隨著裂縫導(dǎo)流能力倍數(shù)的增加，裂縫井產(chǎn)能增大。對(duì)于頁(yè)巖油藏，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力很大時(shí)，裂縫可近視為無(wú)限導(dǎo)流，繼續(xù)增加其導(dǎo)流能力，對(duì)產(chǎn)能影響很微弱。因此，在頁(yè)巖油藏壓裂時(shí)，不必追求過(guò)高的裂縫導(dǎo)流能力。

（4）隨著裂縫數(shù)目的增大，裂縫井的產(chǎn)能增大，這是由于隨著裂縫數(shù)目增大，縫控區(qū)域增大，流體滲流阻力下降，因此油井產(chǎn)能增大。裂縫數(shù)量繼續(xù)增大時(shí)，裂縫間干擾程度會(huì)加劇，壓裂井增油量的幅度減小。