陳金雄，張敏，沈丹梅，楊玲玲，羅翔文

（1.武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300;2.武夷學(xué)院 土木工程與建筑學(xué)院，福建 武夷山 354300;3.福州超德中學(xué)，福建 福州 350000;4.莆田私立實(shí)驗(yàn)中學(xué)，福建 莆田 351100;5.福州靠譜云科技有限公司，福建 福州 350000）

服裝阻止人體皮膚與空氣環(huán)境直接接觸，相當(dāng)于保護(hù)人體的第二層皮膚。當(dāng)人們從事不同的生產(chǎn)活動(dòng)時(shí)，在不同環(huán)境下人們需要穿著不同性能的服裝。在高溫環(huán)境工作時(shí)，人們一般要穿著高溫防護(hù)服，而高溫防護(hù)服通常由三層織物材料構(gòu)成，記為I、II、III層，其中I層與外界環(huán)境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。高溫防護(hù)服的作用原理就是減緩和阻止熱量傳遞，使得到達(dá)人體皮膚的熱量盡可能少的聚集，以起到保護(hù)皮膚不被燒傷或灼傷的作用[1]。因此，高溫防護(hù)服應(yīng)該能夠起到保護(hù)人體的作用，同時(shí)也起到促使人體熱量散發(fā)、減小高溫空氣的傳遞速度、防止高溫中暑等作用[1]。而在高溫防護(hù)服的設(shè)計(jì)上要求高溫防護(hù)服要有較好的阻燃性和較強(qiáng)的隔熱性，為評(píng)價(jià)高溫防護(hù)服專(zhuān)用材料的防護(hù)性能的好壞需要進(jìn)行大量的熱防護(hù)性能的測(cè)試，但是，在高溫環(huán)境中進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)是不現(xiàn)實(shí)的，其將需要耗費(fèi)大量資金并且將造成資源浪費(fèi)。

研究對(duì)多層高溫防護(hù)服的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，首先運(yùn)用熱傳導(dǎo)的基本定律-傅里葉定律[2]建立一維熱傳導(dǎo)方程模型，并利用有限差分法對(duì)時(shí)間和空間節(jié)點(diǎn)作離散化處理，得到溫度分布的時(shí)間空間函數(shù)，進(jìn)而得到最終的溫度分布數(shù)值解。接著，建立基于有限差分法的一維熱傳導(dǎo)方程模型并運(yùn)用二分法得出最優(yōu)近似解數(shù)值，即高溫防護(hù)服第II層最佳厚度，為高溫防護(hù)服的合理設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 研究問(wèn)題及其主要思路

研究問(wèn)題來(lái)源于2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建競(jìng)賽A題，問(wèn)題如下：為了研究高溫防護(hù)服的厚度設(shè)計(jì)問(wèn)題，現(xiàn)將37℃的假人放置在高溫環(huán)境中并測(cè)得假人皮膚外側(cè)的溫度，下面我們利用借鑒數(shù)學(xué)模型[1-7]來(lái)確定假人皮膚外側(cè)的溫度變化狀況，并解決兩方面的問(wèn)題：

(1)已知高溫防護(hù)服專(zhuān)用測(cè)量材料的某些參數(shù)值(見(jiàn)表1)，當(dāng)環(huán)境溫度為T(mén)(x,t)=75℃時(shí)，各層專(zhuān)用材料厚度分別為L(zhǎng)Ⅰ=0.6 mm、LⅡ=6 mm、LⅢ=3.6 mm、LⅣ=5 mm，作業(yè)時(shí)間為0≤t≤90min時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度T（x=xⅣ，t），建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算溫度分布。

表1 專(zhuān)用服裝材料的參數(shù)值Tab.1 Parameters of special clothing materials

(2)當(dāng)環(huán)境溫度為T(mén)(x=0，t)=65℃、織物材料第四層厚度為L(zhǎng)Ⅳ=5.5mm時(shí)，確定第II層的最優(yōu)厚度，確保當(dāng)工作60min時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47℃，且超過(guò)44℃的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。

首先假設(shè)人體的熱量不會(huì)向外傳遞，而假人皮膚最外層溫度最終穩(wěn)定在48.08℃，再提出假設(shè):熱量傳遞形式只有熱傳導(dǎo)，并且熱傳遞是沿著垂直于皮膚方向進(jìn)行的，故視為一維的[3]。其一，針對(duì)“環(huán)境-高溫防護(hù)服-人體皮膚”系統(tǒng)，利用熱傳導(dǎo)的基本定律-傅里葉定律，建立一維熱傳導(dǎo)方程模型，然后利用有限差分對(duì)溫度的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散化處理。利用MATLAB軟件對(duì)問(wèn)題模型求解得到的溫度分布數(shù)據(jù)表和已測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，找到擬合程度最好的一組數(shù)據(jù)，驗(yàn)證該厚度結(jié)合下的高溫防護(hù)服的實(shí)際有效性。其二，在一定條件下確定第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。假設(shè)人體體溫恒定為37℃，邊界條件如下：環(huán)境溫度T(x=0,t)=65℃，右側(cè)邊界溫度T(x=xd，t)=37℃，假人的各參數(shù)信息是已知的，則可以在問(wèn)題(1)的模型基礎(chǔ)上利用有限差分法求得假人在不同時(shí)刻的體表溫度分布。但實(shí)際上題目并沒(méi)有給出假人的各項(xiàng)參數(shù)，即假人皮膚厚度Ld，熱傳導(dǎo)系數(shù)Rd，密度ρd，比熱cd等信息。該問(wèn)題上可以假設(shè)假人皮膚厚度，利用熱阻理論可以求出假人的熱傳導(dǎo)系數(shù);而假人密度不妨設(shè)與真人一致，利用二分法原理求出假人皮膚比熱。再在問(wèn)題(1)的模型基礎(chǔ)上利用有限差分法，確定出第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。

2 模型建立與求解

2.1 問(wèn)題一的模型建立與求解

2.1.1 模型分析

熱傳導(dǎo)過(guò)程中溫度隨時(shí)間或空間坐標(biāo)變化而變化，熱傳導(dǎo)過(guò)程分為Ⅰ層、Ⅱ?qū)印ⅱ髮?、Ⅳ層（空氣層）和皮膚層。因此考慮建立一維熱傳導(dǎo)方程模型，用有限差分法對(duì)發(fā)生熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散化處理，并建立關(guān)于時(shí)間和空間節(jié)點(diǎn)的溫度分布函數(shù)。

2.1.2 模型建立

將高溫防護(hù)服的三層材料平壁，假設(shè)熱量穿過(guò)層間接觸面時(shí)，不會(huì)有熱阻作用，溫度不下降。建立“環(huán)境-高溫防護(hù)服-人體皮膚”系統(tǒng)。取最表層織物材料上的任一點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)這點(diǎn)豎直方向?yàn)閥軸正方向、垂直于織物材料和皮膚方向?yàn)閤軸正方向。圖1為該導(dǎo)熱系統(tǒng)的截面示意圖。

圖1 “環(huán)境-高溫防護(hù)服-人體皮膚”系統(tǒng)截面示意圖Fig.1 “Environment-high temperature protective clothing-human skin”system section diagram

熱傳導(dǎo)遵循傅里葉定律[4，5]

式中:q為熱流量，x表示一維空間坐標(biāo)，t為時(shí)間，k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，T為溫度。

由傅里葉定律知，要計(jì)算物體的熱流量，除了要知道導(dǎo)熱系數(shù)還要知道物體溫度分布[6]，因此必須建立熱傳導(dǎo)微分方程。

在一維非穩(wěn)態(tài)無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)過(guò)程中，一維無(wú)熱源熱傳導(dǎo)方程表示為

式中:ρ是織物材料密度，c是織物材料比熱，k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，T為溫度，t為時(shí)間。一維空間中的ρ、c、k對(duì)t而言都是常數(shù)，則方程（2）變?yōu)闊醾鲗?dǎo)方程

現(xiàn)應(yīng)用有限差分法[6-7]對(duì)溫度T（x,t）分布的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散化處理，再求離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溫度，圖2為離散后的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)示意圖。

圖2 離散后的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)示意圖Fig.2 Discrete sketch of space and time nodes

對(duì)連續(xù)方程進(jìn)行離散化處理，任意取四個(gè)整數(shù)N，a，b，c，時(shí)間步長(zhǎng)為h=，三層防護(hù)服專(zhuān)用材料所對(duì)應(yīng)的空間步長(zhǎng)分別為，則時(shí)間節(jié)點(diǎn)和空間節(jié)點(diǎn)分別為

假設(shè)T（xi，tj）的數(shù)值解為,初始條件=（xi，0）,離散后可得到織物材料層內(nèi)溫度的有限差分格式如下

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)和公式(4)、(5)定義的空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)，應(yīng)用有限差分法求解熱傳導(dǎo)方程(3),通過(guò)MATLAB[8]軟件獲得不同時(shí)刻的溫度分布圖(如圖3所示),截取了0、1、2、4、8、16、45 min等七個(gè)時(shí)間的溫度分布圖,如下圖3中（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示；最終得到穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度分布數(shù)值解，如下圖3中（h）所示。此外，根據(jù)不同時(shí)刻溫度分布值畫(huà)出不同時(shí)刻的空間溫度分布圖,如下圖4示。

圖3 不同時(shí)刻溫度分布圖Fig.3 Temperature distribution at different time

圖4 不同時(shí)刻的空間溫度分布Fig.4 Spatial temperature distribution at different time

通過(guò)Matlab畫(huà)出上面求解得到的溫度與對(duì)應(yīng)時(shí)間的關(guān)系圖、賽題附件二的假人皮膚外側(cè)溫度與時(shí)間的關(guān)系圖，如圖5所示，其中粗曲線是賽題附件二的溫度曲線，細(xì)曲線是求解得到的溫度曲線。

圖5 溫度對(duì)比圖Fig.5 Temperature chart

由圖5可以看出得到的假人皮膚外側(cè)溫度分布曲線和賽題的附件2中假人皮膚外側(cè)溫度曲線擬合良好，并通過(guò)Matlab運(yùn)用插值擬合得到溫度與時(shí)間的關(guān)系式為

2.2 問(wèn)題二的模型建立與求解

2.2.1 模型分析

問(wèn)題一已經(jīng)得到了假人外側(cè)皮膚在不同時(shí)刻的溫度分布圖。但實(shí)際上題目并沒(méi)有給出假人的皮膚厚度Ld、熱傳導(dǎo)系數(shù)Rd、密度ρd、比熱cd等信息。該問(wèn)題上可以假設(shè)假人皮膚厚度，利用熱阻理論可以求出假人的熱傳導(dǎo)系數(shù);而假人密度不妨設(shè)與真人一致，利用二分法原理求出假人皮膚比熱。再在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上利用有限差分法確定第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。

2.2.2 模型求解

2.2.2.1 熱阻

采用類(lèi)比電流、電壓和電阻間的關(guān)系可快速計(jì)算最終溫度分布的穩(wěn)態(tài)情況。熱阻系數(shù)亦稱(chēng)為熱阻，是指在有溫度差的情形下，導(dǎo)熱材料的熱阻系數(shù)增大，則導(dǎo)熱材料對(duì)熱傳導(dǎo)的阻礙能力就增強(qiáng)。因此在一維無(wú)內(nèi)熱源的情況下，對(duì)于兩端溫差為ΔT（類(lèi)比于電壓），熱流密度為qd=k×ΔT/Ld（類(lèi)比于電流），厚為L(zhǎng)d的導(dǎo)熱層，其熱阻Rd（類(lèi)比于電阻）定義如下

在問(wèn)題一中用的是一維熱傳導(dǎo)方程模型，可以看成每一層的熱阻是一樣的，即

2.2.2.2 二分法原理[9]

(1)f（x）的有根開(kāi)區(qū)間為[a,b]，在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值為f（a）,f（b）；

(4)重復(fù)進(jìn)行②③步，直到區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度小于允許的誤差值，此時(shí)中點(diǎn)即為所求根。

2.2.2.3 模型求解

求假人皮膚表面溫度T（xⅣ，t），但必須確定第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。假設(shè)人體體溫恒定37℃，邊界條件如下：環(huán)境溫度T（x=0,t）=65℃，右側(cè)邊界溫度T（x=xd，t）=37℃，假如假人的各參數(shù)信息是已知的，則可以在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上利用有限差分法確定第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。但實(shí)際上題目并沒(méi)有給出假人的各項(xiàng)參數(shù)即假人皮膚厚度Ld，熱傳導(dǎo)系數(shù)kd，密度ρd，比熱cd等信息。該問(wèn)題上可以假設(shè)假人皮膚厚度，利用熱阻理論可以求出假人的熱傳導(dǎo)系數(shù);而假人密度設(shè)與真人一致，利用二分法原理求出假人皮膚比熱。再在基于第一問(wèn)的基礎(chǔ)上利用有限差分法確定第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度。

高溫防護(hù)服專(zhuān)用材料部分參數(shù)已知如表1所示。利用MATLAB軟件進(jìn)行求解得到皮膚熱阻Rd=0.116 1，進(jìn)而求得假人皮膚比熱cd=1.0×103，最終確定得到第Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度LⅡ=19.090 6mm。

3 結(jié)論

在合理假定的前提下，應(yīng)用傅里葉定律、有限差分法、二分法等理論將高溫防護(hù)服的厚度設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為高溫防護(hù)服熱傳遞模型，利用MATLAB軟件編程解決了該問(wèn)題，為高溫防護(hù)服設(shè)計(jì)者提供參考。此外，可將該模型應(yīng)用到皮膚燒傷度預(yù)測(cè)等領(lǐng)域。