呂晨茜，李宏鵬，常 浩，馬炬賓，盧志鵬，沈國茂，王淑珍，王小義

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

無碳小車是全國大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競賽的設(shè)計(jì)主題之一，對提高學(xué)生的工程實(shí)踐能力與培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和團(tuán)隊(duì)精神都具有重要意義。近年來，一些學(xué)者對無碳小車的設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，極大地提高了無碳小車的設(shè)計(jì)水平和運(yùn)行能力。例如Dong等人[1]設(shè)計(jì)了無碳小車的雙8字形軌道和盤形凸輪，同時(shí)設(shè)計(jì)了微調(diào)機(jī)構(gòu)，通過對微調(diào)機(jī)構(gòu)參數(shù)的調(diào)整，盡可能使無碳小車運(yùn)行時(shí)的誤差大大減少；Han等人[2]，首先將雙8字形軌道抽象成數(shù)學(xué)模型并完成了軌道的設(shè)計(jì)，其次對影響軌跡的參數(shù)進(jìn)行了研究，設(shè)計(jì)了小車的整體結(jié)構(gòu)，最后將設(shè)計(jì)好的小車進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并通過無碳小車的運(yùn)行表現(xiàn)對參數(shù)進(jìn)行修改；同時(shí)筆者也參考學(xué)習(xí)了文獻(xiàn)[3]～[7]關(guān)于無碳小車路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)方面的內(nèi)容。重點(diǎn)針對無碳小車避障路徑規(guī)劃和凸輪設(shè)計(jì)，采用三角函數(shù)的基本理論，對“8”字型避障路徑及對應(yīng)的凸輪設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，并用同樣的方法生成了“S”型臂章路徑。所提方法高效實(shí)用，可應(yīng)用于任意避障路徑的規(guī)劃和凸輪設(shè)計(jì)，對無碳小車的路徑規(guī)劃和設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

1 操作現(xiàn)場描述

無碳小車運(yùn)行場地為5 200 mm×2 200 mm的矩形平面區(qū)域，如圖1。

圖1 競賽場地

圖1中粗實(shí)線分別為邊界擋板和中間隔板，中間隔板長度為1 000 mm且厚度不超過12 mm，并且兩個(gè)隔板之間有1 000 mm的活動間隙；10個(gè)障礙物是直徑為20 mm、高200 mm的圓棒(圖1中黑色圓點(diǎn))；其中，8個(gè)中間障礙物之間的橫向距離為1 000 mm，與隔板中心線的垂直距離為550 mm，左右兩側(cè)的障礙物在半徑為550 mm的圓上。左下角和右上角的陰影區(qū)域?yàn)槌霭l(fā)區(qū)域。由于原理相同，文中僅給出S型詳細(xì)的路徑規(guī)劃和凸輪設(shè)計(jì)方案。S型路徑如圖2所示，小車整體簡圖與轉(zhuǎn)向原理分別如圖3、4。

圖2 “S”形運(yùn)行軌跡

圖3 小車車體俯視圖 圖4 小車前輪轉(zhuǎn)向示意

2 避障路徑規(guī)劃

(1)

(2)

式中：X、A和T分別為函數(shù)的變量、幅值和周期。

由于曲率半徑是曲率的倒數(shù)，故有：

(3)

式中：ρ為曲率半徑，K為曲率。

為便于計(jì)算，規(guī)定圖2路徑中所有圓弧部分的曲率半徑相等且ρ=350 mm。

首先，規(guī)劃樁2和樁4之間的路徑。如圖5，以2號樁為原點(diǎn)，連接2、3、4號樁建立軸X1，并建立相應(yīng)的軸Y1。

(4)

曲線1對應(yīng)的余弦函數(shù)為：

(5)

當(dāng)A1<ρ時(shí)，點(diǎn)2′處的曲率半徑相對應(yīng)的圓心O2在軸X1的下方，O2-2′兩點(diǎn)間的距離為ρ；當(dāng)A1>ρ(虛線小圓)時(shí)，點(diǎn)2′處的曲率半徑所對應(yīng)的圓心O2′在軸X1的上方，O2′-2′兩點(diǎn)間的距離為A1-ρ。通過計(jì)算得出：A1<ρ，所以O(shè)2-2兩點(diǎn)間的距離為ρ-A1=350-289=61 mm。

圖5 曲線1的設(shè)計(jì)圖

圖6 曲線2～4的設(shè)計(jì)圖

從圖5、6的幾何關(guān)系可知：

H=550-(O2-2)=550-61=489 mm

因?yàn)閳D6中虛線在點(diǎn)10′處的曲率半徑必須等于ρ，所以可根據(jù)式(4)得出T2所對應(yīng)的幅值A(chǔ)2：

(6)

此時(shí)，完成樁10、1、2之間的初步路徑規(guī)劃(圖6虛線所示)，其所對應(yīng)函數(shù)如下：

(7)

為了使實(shí)際路徑曲線2以樁10為圓心和ρ為半徑的圓相切，需將初步路徑沿軸Y2移動至點(diǎn)10″，其移動距離為ρ-A2=350-191=159 mm。至此，完成曲線2的路徑設(shè)計(jì)。

(8)

顯然，曲線3、4的曲率半徑ρ相等，且曲線3、4的弧長可由式(10)、(11)確定：

(9)

(10)

(11)

則曲線5對應(yīng)的余弦函數(shù)為：

(12)

圖7 曲線5、6設(shè)計(jì)圖

從圖2可看出，整個(gè)路徑關(guān)于中心線對稱。因此，樁10、9、8之間的曲線和曲線2，樁8、7、6之間的曲線和曲線1及右下角的1/4圓弧和右上角的1/4圓弧都關(guān)于中心線對稱。因?yàn)閮蓚€(gè)對稱曲線的函數(shù)表達(dá)式完全一致，所以此處不再計(jì)算。通過以上分析，可計(jì)算出S形軌跡中的各分段函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，用MATLAB繪出圖2中的路徑，如圖8。

圖8 “S”形路徑圖

圖8中的環(huán)形路徑是由多段圓弧和多個(gè)完整三角函數(shù)組成。同時(shí)，樁4、5、6之間的曲線5也可由1/4的三角函數(shù)和直線組成，

同樣利用上述方法可獲得8字形路徑，如圖9。

圖9 “8”字形路徑圖

3 凸輪設(shè)計(jì)

3.1 計(jì)算前輪轉(zhuǎn)角

根據(jù)幾何關(guān)系，前輪旋轉(zhuǎn)角度θ等于圓心角λ。側(cè)輪的軌跡為運(yùn)行路徑時(shí)，可得出前輪轉(zhuǎn)角θ為：

傳統(tǒng)授課模式下，教學(xué)主要采用課堂講授方式，教學(xué)過程是單向的，授課過程是教師的獨(dú)角戲，通常是教師制訂課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)計(jì)劃及教學(xué)方案，然后開展教學(xué)。教師為了完成任務(wù)而教學(xué)，完全忽略掉了學(xué)生在教學(xué)過程中的主觀能動性和主體地位，學(xué)生變成了知識的容器，完全處于被動接受的地位。這樣做的結(jié)果通常是教師在課堂上侃侃而談，學(xué)生在課堂上昏昏欲睡，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的積極性，教學(xué)效果很差。

(13)

式中：ρ為曲率半徑；L為小車長度；H為小車寬度。

小車轉(zhuǎn)向時(shí)，小車前、后輪的曲率圓為同心圓。只要計(jì)算出小車路徑的曲率半徑，就可得到相應(yīng)的前輪轉(zhuǎn)角θ，如圖10所示。

圖10 前輪轉(zhuǎn)角θ圖

假設(shè)小車的長度L和寬度H分別為150 mm和110 mm，從圖8的出發(fā)點(diǎn)開始，沿著路徑行駛方向可計(jì)算出相應(yīng)路徑點(diǎn)的前輪轉(zhuǎn)動角度。當(dāng)小車前輪左轉(zhuǎn)時(shí)，角度為負(fù)；前輪右轉(zhuǎn)時(shí)，角度為正。圖8中路徑對應(yīng)的前輪轉(zhuǎn)動角度如圖11。圖中DO是轉(zhuǎn)向?qū)U的延長線，O為同心圓的圓心。

圖11 “S”形路徑前輪轉(zhuǎn)角圖

3.2 計(jì)算凸輪輪廓

根據(jù)幾何關(guān)系，縮短量E和伸長量e′與旋轉(zhuǎn)角度θ之間的關(guān)系如下：

(14)

(15)

小車向右轉(zhuǎn)和向左轉(zhuǎn)的凸輪實(shí)際半徑分別為：

Rs=r-EE′

(16)

凸輪的旋轉(zhuǎn)角度ξ為：

(17)

式中：Sn為沿路徑行駛方向上路徑每一點(diǎn)到起始點(diǎn)的路徑長度；S是規(guī)劃路徑的總長度。

由于路徑是顯函數(shù)組合而成，所以路徑長度可通過積分方法來計(jì)算，其中S形路徑S1=811 325 mm、8字形路徑S2=13 708 mm。

通過公式(18)、(19)計(jì)算出凸輪輪廓的每一點(diǎn)坐標(biāo)，利用MATLAB繪制出凸輪輪廓。

(18)

(19)

通過查閱資料可知：偏心凸輪能夠減小轉(zhuǎn)向?qū)U與凸輪輪廓接觸時(shí)的壓力角。文中所述的偏心凸輪是指轉(zhuǎn)向?qū)U的中心軸線位置O′相對于凸輪中心軸線O的升高或降低，其偏心距為e。圖14中左右兩圖分別對應(yīng)圖12、13中的兩種情況。

圖12、13中，r是凸輪基圓半徑，p是轉(zhuǎn)向?qū)U的橫截面半徑，d是凸輪厚度的1/2，t是小車車體對稱中心面與凸輪厚度對稱面的距離。根據(jù)幾何關(guān)系，可得凸輪實(shí)際半徑Rs和Rs′為：

圖12 凸輪半徑縮短時(shí)前輪向右轉(zhuǎn)示意圖

圖13 凸輪半徑伸長時(shí)前輪向左轉(zhuǎn)示意圖

圖14 偏心凸輪的設(shè)計(jì)圖

(20)

(21)

將式(27)、(29)、(30)帶入式(22)中，同樣可繪制出凸輪輪廓。

通過以上分析，并根據(jù)表1所列的車體參數(shù)可對S形軌跡和8字形軌跡進(jìn)行凸輪設(shè)計(jì)，分別為圖15、16。其結(jié)果表明，偏心凸輪的最大半徑比非偏心凸輪的最大半徑小，偏心凸輪的最小半徑比非偏心凸輪的最小半徑大，這使得偏心凸輪輪廓比非偏心凸輪輪廓更光滑。因此，偏心凸輪更有利于小車的運(yùn)行，其轉(zhuǎn)向?qū)U的自鎖概率也更小。

表1 車體參數(shù)

圖15 “S”形凸輪

圖16 “8”字形凸輪

3.3 凸輪仿真驗(yàn)證

在確定無碳小車各參數(shù)的情況下，可用仿真來驗(yàn)證凸輪的合理性、穩(wěn)定性。盡量在仿真環(huán)節(jié)中檢查出存在的問題，以最大限度避免后期反復(fù)實(shí)驗(yàn)造成的時(shí)間和成本的浪費(fèi)。此次通過Motion分析對8字形非偏心凸輪進(jìn)行運(yùn)動軌跡仿真驗(yàn)證。

取主動輪直徑D=170 mm，可得8字形軌跡對應(yīng)的傳動比i為：

(22)

結(jié)合表1中的車體結(jié)構(gòu)參數(shù)，對8字形非偏心凸輪進(jìn)行仿真，其效果圖如圖17、18。

可以看出：運(yùn)行多圈時(shí)軌跡會產(chǎn)生較小偏移，但從整體上看，全程運(yùn)行軌跡重復(fù)性良好，無撞樁情況發(fā)生，滿足賽題要求。仿真結(jié)果表明，此方法設(shè)計(jì)的凸輪是合理有效的，其穩(wěn)定性良好。這與后期制作出的小車實(shí)物實(shí)際測試的結(jié)果基本吻合，滿足精度要求和設(shè)計(jì)目標(biāo)，符合使用條件。

圖17 單圈軌跡仿真效果圖

圖18 多圈軌跡仿真效果圖

4 結(jié) 語

研究了基于三角函數(shù)的避障路徑規(guī)劃方法和凸輪輪廓的設(shè)計(jì)。該方法充分利用了余弦函數(shù)曲率連續(xù)光滑的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)，其曲率半徑可從無窮大變?yōu)槟骋惶囟ㄖ担缓蠼Y(jié)合圓弧和直線設(shè)計(jì)出小車路徑。文中所提小車路徑設(shè)計(jì)方法具有普遍性，通過調(diào)整余弦函數(shù)的周期及振幅就可得到任何曲率半徑連續(xù)光滑的運(yùn)行路徑；通過路徑函數(shù)和小車車體的幾何關(guān)系，可計(jì)算出前輪轉(zhuǎn)角；根據(jù)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系可計(jì)算出凸輪的輪廓；根據(jù)轉(zhuǎn)向?qū)U和凸輪的位置關(guān)系，提出了偏心凸輪的設(shè)計(jì)方法；通過Motion分析驗(yàn)證了該方法的有效性、合理性，符合實(shí)際設(shè)計(jì)理論，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。結(jié)果表明，偏心凸輪輪廓比非偏心凸輪輪廓更光滑，在一定程度上降低了自鎖的可能性。