仇銘陽，王 剛，孟慶微，馬潤年

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安，710077)

零日病毒是利用計(jì)算機(jī)平臺(tái)中存在的零日漏洞發(fā)起攻擊的一種網(wǎng)絡(luò)病毒，和一般網(wǎng)絡(luò)病毒相比，具有潛伏性強(qiáng)和信息不對(duì)稱的特點(diǎn)[1]。在零日病毒攻擊中，攻擊方可以利用對(duì)手計(jì)算機(jī)平臺(tái)存在的零日漏洞，事先設(shè)計(jì)和部署網(wǎng)絡(luò)攻擊行動(dòng)，較之防御方具有建立在信息優(yōu)勢(shì)基礎(chǔ)上的決策和攻擊優(yōu)勢(shì)，同時(shí)，由于傳統(tǒng)防御工作周期長、工作量大，零日攻防中攻擊方的優(yōu)勢(shì)更加明顯[2-4]。此外，和多數(shù)傳統(tǒng)病毒的“直接”“無差別”感染模式相比較，零日病毒攻擊通過分析目標(biāo)主機(jī)的資源信息，可選擇滿足特定條件的主機(jī)和恰當(dāng)時(shí)機(jī)發(fā)起攻擊，具有隱蔽性和針對(duì)性。零日病毒從存在到激活都存在時(shí)間差，也就是目前高級(jí)持續(xù)性威脅中普遍存在的潛伏性和潛伏周期，因此時(shí)滯問題也是零日病毒需要重點(diǎn)關(guān)注的。

從近年來零日攻擊相關(guān)研究情況分析，相關(guān)成果主要集中兩個(gè)方面。一是零日病毒傳播機(jī)理和傳播行為建模。文獻(xiàn)[5]分析了零日病毒作用機(jī)理和基本流程，在經(jīng)典SIR(susceptible infected recovered, SIR)模型[6-7]基礎(chǔ)上，提出了零日病毒傳播SIZDR(susceptible infected zero-day damaged recovered, SIZDR)模型。文獻(xiàn)[8]借鑒傳染病動(dòng)力學(xué)理論以不同安全狀態(tài)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)密度定義網(wǎng)絡(luò)攻防態(tài)勢(shì)，分析網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)安全狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑；以網(wǎng)絡(luò)勒索病毒攻防博弈為例，使用NetLogo多Agent仿真工具開展不同場(chǎng)景下攻防態(tài)勢(shì)演化趨勢(shì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)。針對(duì)零日病毒在內(nèi)的新型病毒潛伏特性。文獻(xiàn)[9]引入潛伏和隔離狀態(tài)，提出了SEIQRS(susceptible escape infected quarantine remove susceptible)模型，研究了潛伏隔離機(jī)制下的病毒傳播規(guī)律。二是零日病毒的防御方法和策略。文獻(xiàn)[10]引入沙盒技術(shù)，提出了一種基于信息系統(tǒng)狀態(tài)概率排序的分析模型，通過模型分析、跟蹤和評(píng)估系統(tǒng)狀態(tài)從而識(shí)別并阻止可能的零日攻擊。文獻(xiàn)[11]將低級(jí)操作碼、應(yīng)用程序許可和專有的 Android API 包作為輸入值，利用深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)了可在無須了解惡意特征的情況下，發(fā)掘疑似零日攻擊行為。文獻(xiàn)[12]考慮文檔類型零日漏洞檢測(cè)效果不佳，提出了一個(gè)以惡意文檔檢測(cè)為核心,漏洞特征判斷為輔助的文檔類型0Day漏洞檢測(cè)模型，通過該模型大大提高了對(duì)文檔類零日漏洞的檢測(cè)準(zhǔn)確率。文獻(xiàn)[13]為解決零日攻擊破壞性強(qiáng)的這一特點(diǎn)，提出了基于NIDPS和蜜罐的零日攻擊傷害最小化混合系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)了防御效果的最大化。以操作系統(tǒng)病毒為例，文獻(xiàn)[14]分析了病毒的時(shí)滯特性和感染力強(qiáng)等特點(diǎn)，引入動(dòng)態(tài)防御理念和平臺(tái)動(dòng)態(tài)防御模式，提出了操作系統(tǒng)病毒的時(shí)滯傳播模型及抑制策略，研究了時(shí)滯導(dǎo)致的系統(tǒng)演化分叉行為和操作系統(tǒng)跳變對(duì)病毒傳播抑制的有效性?？傮w上，前期研究主要關(guān)注零日病毒傳播的一般規(guī)律和防御模式，對(duì)零日病毒傳播和防御的研究還存在需要持續(xù)深入?？紤]到零日病毒的潛伏特性和時(shí)滯因素的影響，通過傳播機(jī)理分析和時(shí)滯模型求解，研究時(shí)滯可能造成的系統(tǒng)演化分叉行為和條件。文獻(xiàn)[15]提出了一類具有2種不同時(shí)滯的病毒傳播模型，分析了模型穩(wěn)定性及系統(tǒng)Hopf 分岔行為產(chǎn)生條件。文獻(xiàn)[16]在SEIR(susceptible escape infected remove)模型[17]的基礎(chǔ)上，考慮感染及恢復(fù)過程中存在時(shí)延的情況，提出了SEIR-KS(susceptible exposed infected kill signals recovered)模型，通過模型穩(wěn)定性分析及 Hopf 分岔行為分析，給出了病毒防御方法。其次，適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)攻防發(fā)展趨勢(shì)，借鑒操作系統(tǒng)病毒傳播抑制策略和操作系統(tǒng)跳變模式[14]，將動(dòng)態(tài)防御滲透到病毒傳播和免疫的行為建模和具體防御實(shí)踐中。文獻(xiàn)[18]在SIQRS(susceptible infected quarantine remove susceptible)模型的基礎(chǔ)上，考慮防病毒軟件殺死病毒的過程存在時(shí)滯，提出了時(shí)滯SIQRS 傳播模型并研究了模型穩(wěn)定性。張子振等人[19]考慮隔離病毒節(jié)點(diǎn)存在時(shí)滯這一情況，引入處理時(shí)滯，研究了無線傳感網(wǎng)絡(luò)中蠕蟲病毒的傳播問題。

基于此，論文研究平臺(tái)動(dòng)態(tài)防御背景下零日病毒時(shí)滯傳播模型及其穩(wěn)定性。

1 零日病毒時(shí)滯傳播模型

根據(jù)對(duì)零日病毒傳播機(jī)理[5]的分析，結(jié)合平臺(tái)動(dòng)態(tài)防御的思想，零日病毒擴(kuò)散及免疫過程可簡化為初始感染、病毒傳播、病毒發(fā)作及損毀和平臺(tái)遷移4個(gè)階段。與零日病毒傳播機(jī)理不同，零日病毒時(shí)滯傳播及免疫的過程有所變化。在病毒傳播階段，目標(biāo)主機(jī)感染零日病毒的過程中存在耗時(shí)τ。在零日階段，將毀損狀態(tài)轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)的過程融入到零日狀態(tài)轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)的過程中。在平臺(tái)遷移階段，防御方利用平臺(tái)遷移技術(shù)以一定的概率將目標(biāo)主機(jī)中原有平臺(tái)遷移至其他平臺(tái)。由于平臺(tái)的轉(zhuǎn)變，使得針對(duì)原有平臺(tái)的零日攻擊無法正常進(jìn)行，從而達(dá)到了免疫的效果。結(jié)合以上論述，做出如下假設(shè)：①網(wǎng)絡(luò)僅存在一種零日病毒，且該病毒僅能感染一種特定運(yùn)行平臺(tái)下的目標(biāo)主機(jī)；②感染耗時(shí)為τ。感染過程一旦中斷，零日病毒無法成功感染該目標(biāo)主機(jī)。

SIZDRS模型[5]是針對(duì)零日病毒傳播機(jī)理提出的模型，在對(duì)零日病毒傳播及免疫過程的分析基礎(chǔ)上，對(duì)SIZDRS模型進(jìn)行了改進(jìn)。本文重新定義了零日病毒執(zhí)行階段，同時(shí)引入了異構(gòu)平臺(tái)狀態(tài)。提出了SIZRO模型，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系見圖1。

圖1 SIZRO病毒傳播及免疫模型

在SIZDRS模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)新模型改進(jìn)部分進(jìn)行說明：

1)易感狀態(tài)S→初始感染狀態(tài)I。易感狀態(tài)S節(jié)點(diǎn)與零日狀態(tài)Z節(jié)點(diǎn)接觸，經(jīng)過一定時(shí)間間隔τ后，轉(zhuǎn)化為初始感染狀態(tài)。其中，Z(t-τ)表示考慮零日病毒感染時(shí)滯τ的情況下在t時(shí)刻零日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

2)零日狀態(tài)Z→易感狀態(tài)S。由于部分計(jì)算機(jī)核心系統(tǒng)被控制或部分由計(jì)算機(jī)操控的工控系統(tǒng)被破壞導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的性能下降，因此目標(biāo)主機(jī)在被損毀后，相關(guān)操作人員將對(duì)已損壞的設(shè)備進(jìn)行翻新或者使用新的設(shè)備。ω代表了由毀損狀態(tài)恢復(fù)為易感狀態(tài)的恢復(fù)率。

3)易感狀態(tài)S、初始感染狀態(tài)I、零日狀態(tài)Z、免疫狀態(tài)R→其他平臺(tái)狀態(tài)O。在平臺(tái)遷移的過程中，防御方并不知悉網(wǎng)絡(luò)中每一節(jié)點(diǎn)的感染情況。因此，防御方為了防御效益最大化，將對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的每一主機(jī)進(jìn)行平臺(tái)遷移。由于運(yùn)行平臺(tái)及環(huán)境的不同，針對(duì)原平臺(tái)的零日攻擊在其他平臺(tái)上無法進(jìn)行，從而達(dá)到免疫的效果。定義由原平臺(tái)遷移至其他平臺(tái)的遷移成功率為正向切換成功率P1。

4)其他平臺(tái)狀態(tài)O→易感狀態(tài)S。處于其他平臺(tái)狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)，在成功阻止零日病毒的攻擊后，防御方將其他平臺(tái)狀態(tài)遷移至原平臺(tái)狀態(tài)，定義該過程中平臺(tái)遷移成功率為反向切換成功率P2。

5)免疫狀態(tài)R→易感狀態(tài)S。病毒在擴(kuò)散過程中可能會(huì)存在變異等行為，使得免疫節(jié)點(diǎn)對(duì)變異后病毒失去免疫能力，或者由于用戶更新系統(tǒng)等使具有免疫功能的節(jié)點(diǎn)重新轉(zhuǎn)化為易感節(jié)點(diǎn)。υ代表了免疫狀態(tài)轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)的轉(zhuǎn)化率。

設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)N為各狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)量和，在病毒傳播及免疫過程中保持不變，新增變量O(t)表示t時(shí)刻其他節(jié)點(diǎn)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。根據(jù)條件可知，各狀態(tài)數(shù)量之間滿足：R(t)=N-S(t)-I(t)-Z(t)-O(t)。根據(jù)微分動(dòng)力學(xué)原理，可得模型對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

2 穩(wěn)定性分析

由式(1)求解可得平衡點(diǎn)P0(S0,I0,Z0,R0,O0)和P1(S1,I1,Z1,R1,O1)

(2)

式中：

(3)

引理1當(dāng)t→∞時(shí)，S(t)≤S0。

證明：設(shè)A(t)=S(t)+I(t)+R(t)+Z(t)，式(1)可進(jìn)一步表示為：

(4)

(5)

相應(yīng)的特征方程為：

λ(λ+P1+P2)=0

(6)

定理1 當(dāng)R0≤1時(shí)，式(1)表示的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在無病毒平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0,Z0,O0)處全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：定義Lyapunov函數(shù)

L(t)=

(7)

對(duì)式(7)求導(dǎo)可得：

γ·I(t)-(P1+ω)Z(t)=

(8)

由引理1可知：

L′(t)≤Z(t)(P1+ω)(R0-1)

(9)

當(dāng)R0≤1時(shí)，L′(t)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。根據(jù)LaSalle不變?cè)恚?1)表示的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)再無病毒平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0,Z0,O0)處全局漸進(jìn)穩(wěn)定。證畢。

投入使用的節(jié)能技術(shù)應(yīng)充分考慮其成本，不能為了追求節(jié)能、高效而一味加大投資，使得建筑的開發(fā)成本不斷增加。所以，電氣設(shè)計(jì)師在優(yōu)化節(jié)能設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)著重考慮設(shè)備材料應(yīng)用及節(jié)能方式選擇，以盡量實(shí)現(xiàn)成本控制及節(jié)能性能優(yōu)化。

定理2 當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)在有病毒平衡點(diǎn)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：根據(jù)引理1，式(1)可化簡為：

(10)

對(duì)應(yīng)的特征方程為：

λ3+(e+f+a)λ2+(ef+ae+af+bm)λ+aef+

bmf+mcγ-(nγλ+anγ)e-λτ

(11)

式中：

(12)

令λ=iμ，利用歐拉公式并分離實(shí)部和虛部，式(11)可化為：

(13)

式中：

(14)

進(jìn)而可得：

(15)

令k=μ2，式(15)可化為：

(16)

(17)

由以上分析可知：①基本再生數(shù)決定了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中零日病毒存在與否。當(dāng)R0≤1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中不存在零日病毒，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在無病毒平衡點(diǎn)P0(S0,I0,R0,Z0,O0)處局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，零日病毒存在于網(wǎng)絡(luò)之中且最終感染病毒計(jì)算機(jī)數(shù)量趨于穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)在有病毒平衡點(diǎn)P1(S1,I1,R1,Z1,O1)處局部漸近穩(wěn)定。②零日病毒的感染時(shí)滯對(duì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的傳播規(guī)模沒有影響。③網(wǎng)絡(luò)中兩類平臺(tái)的數(shù)量僅取決于平臺(tái)切換概率(正、反向切換率)，無論網(wǎng)絡(luò)中是否存在病毒，處于原有平臺(tái)和其他平臺(tái)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量始終保持不變。

3 仿真分析

仿真分析平臺(tái)遷移成功率和時(shí)滯因子對(duì)零日病毒傳播的影響，驗(yàn)證模型及其穩(wěn)定性。平臺(tái)遷移成功率可通過完善硬件及軟件來進(jìn)行調(diào)節(jié)，感染時(shí)滯因子主要是病毒自身特性。參照實(shí)驗(yàn)[5]，本文實(shí)驗(yàn)采用MATLAB2019進(jìn)行模擬仿真，利用仿真軟件中求解時(shí)滯微分方程的工具ODE45，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行求解，并成圖表示結(jié)果。其中，微分方程求解間隔為50，模型中各個(gè)參數(shù)的設(shè)置如下：β=0.6,K=6,α=0.2，υ=0.5,γ=0.6,P1=0.08,P2=0.15,ω=0.3，設(shè)節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=1 000，初始狀態(tài)下不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)為(S0,I0,Z0,R0,O0)=(700,50,50,100,100)。在仿真驗(yàn)證過程中，用易感狀態(tài)、零日狀態(tài)和異構(gòu)平臺(tái)狀態(tài)等3類狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化，動(dòng)態(tài)演示零日病毒傳播規(guī)律及平臺(tái)遷移的免疫效果。

3.1 平臺(tái)切換成功率

調(diào)整平臺(tái)切換成功率P1和P2驗(yàn)證其對(duì)病毒傳播的影響及免疫效果。分別令P1=0.08,0.1，0.4，圖2所示為不同正向切換概率對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)。

圖2 不同P1對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)

圖2(a)、(b)、(c)分別對(duì)應(yīng)P1=0.08,0.1，0.4的系統(tǒng)狀態(tài)。仿真結(jié)果表明，當(dāng)P1=0.4(R0<1)時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)P0(200,0,0,0,800)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)P1=0.1(R0>1)時(shí)，系統(tǒng)在P1(167,118,176,39,500)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)P1=0.08(R0>1)時(shí)，系統(tǒng)在P1(155,137,216,47,445)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)系統(tǒng)在局部漸進(jìn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1處時(shí)，零日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)隨著P1的增大而減小。可見，正向切換率越大，零日病毒在傳播及免疫過程中成功入侵目標(biāo)主機(jī)的概率越小，通過調(diào)節(jié)正向切換率P1，可以有效抑制零日病毒的傳播，達(dá)到較好的免疫效果。

其他參數(shù)保持不變，分別令P2=0.01，0.1,0.2。圖3為不同反向切換率對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)，圖3(a)、(b)、(c)分別對(duì)應(yīng)P2=0.01，0.1,0.2的系統(tǒng)狀態(tài)。

圖3 不同P2對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)

仿真結(jié)果表明，當(dāng)P2=0.01(R0<1)時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)P0(108,0,0,1,891)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)P2=0.1(R0>1)時(shí)，系統(tǒng)在P1(155,137,216,47,445)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)P2=0.2(R0>1)時(shí)，系統(tǒng)在P1(155,191,302,66,286)處局部漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)系統(tǒng)在局部漸進(jìn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1處時(shí)，零日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)隨著P2的增大而增加?？梢?，反向切換率越大，零日病毒在傳播及免疫過程中成功入侵目標(biāo)主機(jī)的概率越大，通過調(diào)節(jié)反向切換率P2，可以有效抑制零日病毒的傳播，達(dá)到較好的免疫效果。

3.2 感染時(shí)滯τ

圖4中不同顏色的曲線代表不同時(shí)滯下的零日節(jié)點(diǎn)狀態(tài)數(shù)，由上至下τ=0.1,0.2,0.3,1,2,3,10,20,30。

圖4 不同時(shí)滯τ對(duì)應(yīng)的零日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)

仿真結(jié)果表明，當(dāng)τ取不同的數(shù)值時(shí)，最終零日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)為216，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在P1(155,137,216,47,445)處達(dá)到平衡。因此，感染時(shí)滯的改變不影響零日病毒在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)傳播的最終狀態(tài)；但不同的感染時(shí)滯情況下，病毒擴(kuò)散至平衡狀態(tài)所需要的時(shí)間不同，零日病毒由初始狀態(tài)擴(kuò)散至平衡狀態(tài)所需時(shí)間隨著感染時(shí)滯的增加而增大。

當(dāng)τ=10,20,30時(shí)，病毒在傳播過程中出現(xiàn)了明顯的類周期現(xiàn)象。當(dāng)τ=10時(shí)，零日節(jié)點(diǎn)數(shù)變化曲線的第1個(gè)極小值出現(xiàn)在t=10時(shí)，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)數(shù)為(354,89,131,28,398)。當(dāng)t=20時(shí)，到達(dá)變化曲線的第2個(gè)極小值點(diǎn)，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)數(shù)為(212,121,188,41,438)。當(dāng)t=30時(shí)，變化曲線出現(xiàn)第3個(gè)極小值，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)數(shù)為(171,132,208,45,444)。當(dāng)τ=20(30)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分別在t=20(30)、40(60)、60(90)、80(120)時(shí)出現(xiàn)極小值。綜合以上分析，在系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)前，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)分別在t=nτ(n=1,2,…)時(shí)出現(xiàn)極小值；當(dāng)τ=0.1,0.2,0.3,1,2,3時(shí)，病毒傳播過程中未出現(xiàn)明顯的類周期現(xiàn)象。因此，感染時(shí)滯一方面影響了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)從初始感染階段到平衡階段的病毒擴(kuò)散規(guī)模。另一方面，在感染時(shí)滯較大時(shí)，感染時(shí)滯精準(zhǔn)刻畫了類周期變化的規(guī)律。

圖5為不同時(shí)滯τ對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)。仿真結(jié)果表明，隨著感染時(shí)滯因子逐漸增大，節(jié)點(diǎn)數(shù)量變化越明顯。同時(shí)，在時(shí)滯較大的情況下，隨著感染時(shí)滯的增加，曲線卷曲的情況越明顯，即零日狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)類周期變化的現(xiàn)象越明顯。

圖5 不同時(shí)滯τ對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)

3.3 傳播及免疫效果對(duì)比

實(shí)驗(yàn)[5]針對(duì)SIZDR模型進(jìn)行了模擬仿真。本節(jié)通過模擬相同或相似的環(huán)境，對(duì)比SIZRO模型與SIZDR模型對(duì)于零日病毒的免疫效果，驗(yàn)證SIZRO模型的免疫效果優(yōu)于SIZDR模型。根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的模型及本文設(shè)置的參數(shù)，令SIZDR模型中各參數(shù)取值分別為：β=0.6,K=6,α=0.2,υ=0.5,γ=0.6。設(shè)置節(jié)點(diǎn)總數(shù)N=1 000，初始狀態(tài)下，不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)為(S0,I0,Z0,D0,R0)=(700,100,100,0,100)。為了構(gòu)建相似的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，需要通過參數(shù)設(shè)置將SIZDR模型中零日狀態(tài)到毀損狀態(tài)并最終轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)的過程簡化為SIZRO模型中零日狀態(tài)轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)的過程。因此，令ω=1，意味著毀損狀態(tài)節(jié)點(diǎn)最終全部轉(zhuǎn)化為易感狀態(tài)。同時(shí)，為了滿足SIZRO模型中ω=0.3這一條件，令SIZDR模型中σ=0.3。SIZRO模型中各參數(shù)取值不變，初始狀態(tài)下，不同節(jié)點(diǎn)數(shù)為(S0,I0,Z0,R0,O0)=(700,100,100,100,0)。

在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，零日節(jié)點(diǎn)數(shù)量的多少直接反映了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中處于高風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的用戶主機(jī)數(shù)量的多少。零日節(jié)點(diǎn)數(shù)量越多，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)就越大；反之，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)險(xiǎn)就越小。因此，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，零日節(jié)點(diǎn)的數(shù)量與總結(jié)點(diǎn)數(shù)量的比值定義為網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)率，記為ψ。

圖6為不同病毒傳播模型的傳播及免疫效果對(duì)比圖。仿真結(jié)果表明，在相同條件下，SIZRO模型最終在有病毒平衡點(diǎn)P1(155,137,216,47,445)處局部漸近穩(wěn)定，SIZDR模型在有病毒平衡點(diǎn)P2(111,222,445,133,89)處局部漸近穩(wěn)定。在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，SIZRO模型中零日節(jié)點(diǎn)數(shù)量為216，SIZDR模型中零日節(jié)點(diǎn)數(shù)量為445。因此，兩個(gè)模型的網(wǎng)絡(luò)風(fēng)險(xiǎn)率分別為ψ1=0.212,ψ2=0.445，ψ1<ψ2。綜上，在相同條件下，SIZRO模型能夠更好的抑制零日病毒的傳播。針對(duì)零日病毒，平臺(tái)動(dòng)態(tài)防御的思想可以起到良好的免疫效果。

圖6 不同模型傳播及免疫效果對(duì)比圖

4 結(jié)語

本文在SIZDR模型的基礎(chǔ)上，考慮感染時(shí)滯因素并結(jié)合平臺(tái)層動(dòng)態(tài)目標(biāo)防御的思想，提出了SIZRO模型，通過穩(wěn)定性分析，討論了相關(guān)因素對(duì)病毒傳播及免疫效果的影響，對(duì)正向切換成功率、反向切換成功率及感染時(shí)滯3個(gè)參數(shù)開展了仿真，同時(shí)對(duì)比了SIZRO模型與SIZDR模型對(duì)零日病毒的免疫效果。理論分析和仿真結(jié)果表明，不同的感染時(shí)滯導(dǎo)致病毒擴(kuò)散規(guī)模到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間不同。利用平臺(tái)動(dòng)態(tài)防御思想，可以有效抑制零日病毒的傳播。改變平臺(tái)切換成功概率可以有效抑制零日病毒的傳播規(guī)模，起到較好的免疫效果。論文中還存在一定的不足之處，下一步工作將圍繞零日病毒傳播及免疫模型，提出并分析相應(yīng)的免疫策略。