徐金平，陳特清

(1.閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700;2.閩南理工學(xué)院 教育學(xué)院，福建 石獅 362700)

0 引言

非線性Schr?dinger方程在量子力學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用，近幾十年來，科研工作者對(duì)此類方程在數(shù)值求解方面做了許多研究[1-7].筆者將討論一類更廣泛的含五次非線性項(xiàng)的Schr?dinger方程 (簡(jiǎn)稱QNLS方程)

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u

的初值問題的多辛算法．為此，先通過引入正則變量把此方程轉(zhuǎn)化成多辛形式的方程組，再把得到的多辛方程組分別在時(shí)間方向和空間方向用二階Runge-Kutta方法離散，可以得到其多辛Preissman格式，最后用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此格式具有較好的精度，且能保持長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定性.

1 NLS方程的多辛方程組及其守恒律

考慮如下含五次非線性項(xiàng)的Schr?dinger方程的初邊值問題:

iut+uxx-(|u|2+|u|4)u=f(x,t)u,(-L≤x≤L,t>0),

(1)

u(x,0)=u0(x),u(-L,t)=u(L,t)=0.

(2)

其中,u(x,t)是復(fù)函數(shù)，f(x,t)是實(shí)函數(shù)，i2=-1．

為構(gòu)造(1)的多辛方程組，令u(x,t)=a(x,t)+ib(x,t),其中a(x,t)、b(x,t)均為實(shí)函數(shù),代入式(1)，并將虛部和實(shí)部分開,可得如下方程組：

(3)

引入正則變量ax=p,bx=-q，代入式(3)可得多辛方程組：

(4)

令z=(a,b,p,q)T，

則式(4)為

(5)

其中,Hamilton函數(shù)為

(6)

多辛方程組(5)相應(yīng)的多辛守恒律為

(7)

局部能量守恒律為

(8)

局部動(dòng)量守恒律為

然而，在大量社會(huì)資本涌入長(zhǎng)租公寓領(lǐng)域的背后，由于欠缺準(zhǔn)入門檻、標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范以及法律法規(guī)，市場(chǎng)發(fā)展良莠不齊的問題日漸突出。

(9)

(10)

把此格式應(yīng)用于QNLS方程的多辛方程組(4), 得到如下格式:

(11)

(12)

(13)

在式(11)～(13)中消去中間變量p,q,得

(14)

式(14)為本文的多辛Preissman格式.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)用一個(gè)具體算例來考查多辛Preissman格式的數(shù)值模擬能力. 為此，在QNLS方程(1)～(2)中取

f(x,t)=4(x-2t)2-exp[-2(x-2t)2]-exp[-4(x-2t)2],u0(x)=exp(-x2+ix),

此時(shí)QNLS方程(1)～(2)有解析解：u(x,t)=exp[(x+2t)2+i(x-3t)].

取空間方向的計(jì)算區(qū)間為[-15,15]，固定空間步長(zhǎng)h=0.1，分析不同時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.01和τ=0.001兩種情況. 用多辛Preissman格式(14)模擬到tn=1.0.表1列出了τ在上述兩種取法下的數(shù)值解和真解在幾個(gè)時(shí)刻的最大誤差和平方模誤差的比較.

表1 數(shù)值解在不同時(shí)間步長(zhǎng)下模擬得到的誤差

從表1可以看出，當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)τ取0.01時(shí)，誤差精度保持在10-2左右. 如果把時(shí)間步長(zhǎng)取得更小一些，當(dāng)取τ=0.001時(shí)，數(shù)值解可以更好地逼近真解值.

下面給出格式(14)在初始條件f(x,t)=0時(shí)的模擬圖.

從圖1可以看出，當(dāng)x從坐標(biāo)150向兩邊延伸時(shí)，|u|→0 ，且在100～200之間出現(xiàn)了孤立波峰，波峰值控制在0～1，此模擬圖基本上接近|u|的真解圖.

圖1 τ=0.001,h=0.1時(shí)|u|的模擬圖

圖2、3也能更好地模擬出u的實(shí)部、u的虛部、u在t=0,0.5,1時(shí)刻的圖形，并且模擬圖在計(jì)算1 000 步后仍能保持原孤立波的波形不變. 這表明筆者所構(gòu)造的多辛Preissman格式是有效的，適用于長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值行為.

圖2 u的實(shí)部和虛部隨時(shí)間演化的圖形

3 結(jié)論

從數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以看出，筆者構(gòu)造的多辛Preissman格式能夠保持長(zhǎng)時(shí)間的穩(wěn)定性，即在計(jì)算了很多步后仍能保持誤差基本不變.另外，由于討論的方程含有變系數(shù)項(xiàng)f(x,t)u,故在每一層迭代的時(shí)候都需要求解一個(gè)變系數(shù)的矩陣，這樣會(huì)耗用較多的計(jì)算時(shí)間.但筆者構(gòu)造的格式是兩層隱格式，與三層隱格式相比，降低了迭代的難度，從而也大大節(jié)省了計(jì)算機(jī)的運(yùn)行時(shí)間.

圖3 τ=0.001,h=0.1時(shí),|u|在不同時(shí)刻的模擬圖