楊瑞剛，高 林，董 青，徐格寧

（太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030024）

1 引言

隨著物流倉儲的快速發(fā)展，巷道式堆垛機(jī)應(yīng)時代而生，巷道式堆垛機(jī)作為物流倉儲的專用堆垛機(jī)，是物流倉儲中最要的搬運(yùn)設(shè)備。隨著用地面積的緊張，堆垛機(jī)正向高速度和大高度方向發(fā)展，這對堆垛機(jī)的設(shè)計提出更高的要求，針對國內(nèi)的堆垛機(jī)性能指標(biāo)落后，結(jié)構(gòu)不合理、笨重等特點(diǎn)［1］，提出了對現(xiàn)有堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)在滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性條件下的快速優(yōu)化設(shè)計。

雙高雙立柱式堆垛機(jī)在啟動，加速運(yùn)行，停止時，堆垛機(jī)金屬結(jié)構(gòu)受到各種載荷作用，易發(fā)生撓曲變形，產(chǎn)生局部應(yīng)力集中［2］，故對堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化就顯得異常重要。文獻(xiàn)［2］通過運(yùn)用參數(shù)化建模運(yùn)用ANSYS求解，以立柱頂部撓度和立柱根部應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，通過改變單個設(shè)計參數(shù)尋優(yōu)，具有一定局限性，容易陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)［1］通過運(yùn)用MOGA遺傳算法對單立柱堆垛機(jī)設(shè)置不同的約束條件進(jìn)行靜態(tài)優(yōu)化。但由于設(shè)計參數(shù)較少，當(dāng)設(shè)計參數(shù)關(guān)系復(fù)雜時，對其進(jìn)行直接優(yōu)化，工作量巨大，效率極低。而代理模型可以減少調(diào)用真實(shí)模型次數(shù)，提高優(yōu)化效率，文獻(xiàn)［3］運(yùn)用Kriging模型和穩(wěn)健性設(shè)計相結(jié)合對乘務(wù)員約束系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健性設(shè)計，提高了設(shè)計質(zhì)量。文獻(xiàn)［4］通過kriging模型和遺傳算法對泵葉輪進(jìn)行了尺寸優(yōu)化，優(yōu)化后效率提高5.53%。文獻(xiàn)［5］通過Krig?ing模型和模擬退火粒子群算法對桁架模型進(jìn)行了模型修正和損傷識別等驗(yàn)證。文獻(xiàn)［6］將Kriging模型與傳統(tǒng)優(yōu)化算法和遺傳算法進(jìn)行對比，確定Kriging模型的有效性。并對翼型進(jìn)行優(yōu)化，翼型升阻比提高了81%，優(yōu)化效果明顯。文獻(xiàn)［7］通過將代理模型應(yīng)用到飛機(jī)旋翼上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)［8］通過運(yùn)用Kriging模型可以對非線性模型有很好的逼近能力。Kriging廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)和飛行器多學(xué)科優(yōu)化中，但將Kriging模型用于堆垛機(jī)整機(jī)優(yōu)化還很少。

鑒于此，這里提出一種適合雙高（速度高與高度高）堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的方案，即基于Kriging 模型與非支配排序遺傳算法（NSGA-II）的相結(jié)合的優(yōu)化方法，將雙高雙立柱堆垛機(jī)的位移和質(zhì)量作為待優(yōu)化目標(biāo)，綜合考慮雙高雙立柱整機(jī)的約束情況，采用參數(shù)化三維建模，通過最佳填充樣本空間（OSF）進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計，考慮不同設(shè)計參數(shù)進(jìn)行組合，避免陷入單個設(shè)計參數(shù)局部最優(yōu)。通過試驗(yàn)設(shè)計構(gòu)建克里金代理模型代替有限元模型（真實(shí)模型），可以最大程度避免在進(jìn)行優(yōu)化時調(diào)用真實(shí)模型次數(shù)，提高了優(yōu)化效率。最后通過精英保留策略快速非支配排序多目標(biāo)遺傳（NSGA-II）算法對Kriging代理模型尋找全局最優(yōu)Pareto解。

2 雙高雙立柱式堆垛機(jī)優(yōu)化設(shè)計流程

由于雙高雙立柱式堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)是一個非線性問題，對其進(jìn)行直接優(yōu)化設(shè)計，將不斷調(diào)用真實(shí)模型進(jìn)行尋優(yōu)，將大大降低了優(yōu)化效率，為了解決此類優(yōu)化設(shè)計問題，通過構(gòu)造代理模型將成為關(guān)鍵。針對雙高雙立柱式堆垛機(jī)的特性，故需要找到一個精度高和能描述高度非線性過程的代理模型，文獻(xiàn)［3］中指出通過構(gòu)造Kriging 構(gòu)造代理模型不僅可以描述高度非線性過程，還可以去除噪聲。被廣泛應(yīng)用于高度非線性問題。

基于Kriging模型的雙高雙立柱式堆垛機(jī)靜態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計流程，如圖1所示。

圖1 堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化整體流程圖Fig.1 Overall Flowchart of Stacker Structure Optimization

具體過程如下：

（1）對雙高雙立柱式堆垛機(jī)進(jìn)行理論分析并通過構(gòu)建有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證，確保優(yōu)化設(shè)計模型的正確性；

（2）基于最佳樣本空間（OSF）的試驗(yàn)設(shè)計方法和Kriging理論建立代理模型；

（3）通過NSGA-II 多目標(biāo)優(yōu)化算法對Kriging 代理模型進(jìn)行求解，獲得多個Pareto非劣解集；

（4）通過評價準(zhǔn)則確定最佳Pareto非劣解。

3 雙高雙立柱堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析

這里研究對象為雙高雙立柱式堆垛機(jī)，其基本參數(shù)，如表1所示。雙高雙立柱式堆垛機(jī)模型圖，如圖2所示。

表1 堆垛機(jī)基本參數(shù)Tab.1 Stacker Basic Parameters

圖2 堆垛機(jī)模型Fig.2 Stacker Model

其中為主立柱、輔立柱、上橫梁、下橫梁各截面形式，如圖3所示。其中L1為主立柱下端腹板長度，T1為主立柱下端翼板厚度，其中L2為主立柱上端腹板長度，T2為主立柱上端翼板厚度，T3為輔立柱腹板厚度，T4為輔立柱翼板厚度，T5為上橫梁腹板厚度，T4為上橫梁翼板厚度，T7為下橫梁腹板厚度，T8為下橫梁翼板厚度。

圖3 各截面形式Fig.3 Each Section Form

3.1 堆垛機(jī)力學(xué)模型與有限元模型

當(dāng)雙高雙立柱式堆垛機(jī)載貨臺運(yùn)行到最高位置時，貨叉全伸叉取滿載貨物。為最危險工況［9］，其堆垛機(jī)門架受力示意圖，如圖4所示。堆垛機(jī)門架結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，如圖5所示。

圖4 堆垛機(jī)門架受力示意圖Fig.4 Stacking Machine Frame Force Diagram

圖5 堆垛機(jī)門架結(jié)構(gòu)力學(xué)模型Fig.5 Mechanical Model of Door Frame Structure of Stacker

其中，自重載荷為：G1為上橫梁及附件重力，G2為載貨臺、貨物、司機(jī)室及附件的重力，G3為起升裝置的重力，G4為電氣控制柜的重力，G5為下橫梁及附件重力，G6、G7為立柱重力，G8為運(yùn)行機(jī)構(gòu)自重，GZ1和GZ2分別為主立柱和輔立柱單位長度平均重力，qs和qx分別為上、下橫梁單位長度平均重力，而h1～h5和h8分別對應(yīng)于G1～G5和G8分別到下橫梁中心線的質(zhì)心高度。堆垛機(jī)在加速或者減速行走時產(chǎn)生的水平力為：H1～H5和H8對應(yīng)于G1～G5和G8的水平慣性力，q1、q2分別為立柱的單位長度平均質(zhì)量產(chǎn)生的水平慣性力。F1和F2分別為主立柱和輔立柱頂部作用力。

根據(jù)雙高雙立柱式堆垛機(jī)的工作特點(diǎn)、不同工況、考慮各項(xiàng)載荷實(shí)際出現(xiàn)的機(jī)率，按對結(jié)構(gòu)最不利的作用情況，將可能同時出現(xiàn)的載荷分別按A1和A4進(jìn)行組合，通過對比得到合理的載荷組合［10］。

按A1進(jìn)行載荷組合時，取?1=1.1，起升動載系數(shù)?2按下式計算：

式中：?2min—與起升狀態(tài)級別相對應(yīng)的起升動載系數(shù)的最小值；

β2—按起升狀態(tài)級別設(shè)定的系數(shù)；

Vq—穩(wěn)定（額定）起升速度，單位為m/s。

載荷組合A1下的總輪壓：

按A4進(jìn)行載荷組合時運(yùn)行沖擊系數(shù)按式計算：

載荷組合A4下的總輪壓：

由于LUy4>LUy1因此因按載荷組合A4進(jìn)行計算。

3.2 雙高雙立柱堆垛機(jī)有限元模型

雙高雙立柱式堆垛機(jī)的金屬結(jié)構(gòu)主要有，主立柱（變截面），輔立柱，上橫梁，下橫梁組成。建立雙高雙立柱式堆垛機(jī)的有限元的模型時要簡化實(shí)際模型的中的一些不重要部件，使建立的有限元模型既可以反應(yīng)實(shí)際模型的真實(shí)狀況，又可以得到較為精確的結(jié)果。

雙高雙立柱式堆垛機(jī)的模型采用Solid works參數(shù)化建模，導(dǎo)入ANSYS workbench中，其中單元采用solid45單元，因?yàn)閷?shí)體單元可以更好的模擬實(shí)際情況。主立柱，輔立柱，上橫梁，下橫梁之間均采用ANSYS workbench中的bonded接觸。采用自由網(wǎng)格劃分，建立有限元模型。其單元總數(shù)為17597，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為109516，如圖6所示。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite Element Model

根據(jù)雙高雙立柱式堆垛機(jī)的實(shí)際工作情況，在下橫梁底部兩端面與上橫梁兩側(cè)面施加面約束，約束類型為：在A面施加固定約束，約束X，Y，Z三個方向自由度，在B面施加位移約束，限制住Y方向和Z方向的自由度，釋放掉X方向的自由度。在C面和D面施加位移約束，限制Z方向的自由度，防止堆垛機(jī)前后擺動，使其始終保為平面，釋放掉X和Y方向自由度。將堆垛機(jī)力學(xué)模型上面的力等效施加到有限元模型上，如圖7所示。

圖7 載荷施加Fig.7 Load Application

3.3 有限元求解

通過云圖9可知，在載貨臺移動到最高位置，且滿載貨物貨叉伸出時的工況下，最大等效應(yīng)力位移輔立柱下端，應(yīng)力值為103.21MPa，且整個堆垛機(jī)金屬結(jié)構(gòu)在x方向產(chǎn)生的位移為41.157mm，小于許用位移值。由于堆垛機(jī)主立柱材料采用Q345，許用應(yīng)力為[σ]=0.5*σs+0.35*σb ni=227MPa ，輔立柱材料采用Q235，許用應(yīng)力為158MPa，由云圖9可知，應(yīng)力均小于許用應(yīng)力。

圖8 堆垛機(jī)位移云圖Fig.8 Stacker Displacement Cloud Diagram

圖9 堆垛機(jī)應(yīng)力云圖Fig.9 Stacker Stress Cloud Diagram

4 Kriging代理模型構(gòu)建

由于雙高雙立柱式堆垛機(jī)在結(jié)構(gòu)分析時為非線性過程，而Kriging 模型可以很好的描述非線性過程，同時也能光滑目標(biāo)響應(yīng)、去除噪聲和提高優(yōu)化設(shè)計效率［3］。Kriging模型的主要是有線性回歸部分和隨機(jī)分布部分所組成［11］，其樣本點(diǎn)X=[x1，x2，x3…xn]T和響應(yīng)值Y=[y1，y2，y3…yn]T，其中，樣本點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)通過試驗(yàn)設(shè)計法中的最佳空間填充（OSF）來獲得。其Krig?ing模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：Y(x)—未知Kriging 模型；fi(x)—樣本點(diǎn)的多項(xiàng)式回歸組合，提供了設(shè)計空間的全局近似模擬；βi—回歸系數(shù)的最小二乘估計；z(x)—從正態(tài)分布的隨機(jī)項(xiàng)，是在全局近似模擬的基礎(chǔ)上創(chuàng)建的局部偏差，其協(xié)方差方程表達(dá)式為：

式中：R—N*N的協(xié)方差矩陣，沿對角線正定；r[xi，xj]—任意N個樣本點(diǎn)中xi和xj空間函數(shù)相關(guān)，為高斯的相關(guān)函數(shù)：

式中：θK—用于擬合模型的不確定參數(shù)；M—設(shè)計參數(shù)的數(shù)量。

通過確定相關(guān)函數(shù)，則樣本點(diǎn)x處的響應(yīng)估計為：

式中：y—樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)的響應(yīng)值所組成的列向量；f—單位列矢量；

rT(x)—樣本點(diǎn)和預(yù)測點(diǎn)之間得相關(guān)矢量，如式（9）所示：

其中式（8）中β估計和式（6）全局模型方差估計值σ2如下式所示：

通過最大似然估計求解相關(guān)參數(shù)θK得到：

通過式（12）求解出θK后，可得到Kriging擬合精度最優(yōu)的代理模型。

由于雙高雙立柱式堆垛機(jī)為非線性問題，因此在構(gòu)建Krig?ing代理模型時，試驗(yàn)點(diǎn)的選取就顯得異常重要。這里通過采用最佳填充空間（OSF）設(shè)計得到試驗(yàn)設(shè)計方法，最佳填充樣本空間（OSF）相對于中心復(fù)合設(shè)計（CCD）可在整個設(shè)計空間均勻的分配設(shè)計參數(shù)，以最小的數(shù)量獲得對設(shè)計點(diǎn)的最大洞察。根據(jù)設(shè)計點(diǎn)各個參數(shù)的取值范圍，生成85組的樣本點(diǎn)，進(jìn)行計算，通過最佳填充空間（OSF）得到的樣本點(diǎn)和響應(yīng)值帶入Kriging模型中構(gòu)建響應(yīng)面模型。通過擬合優(yōu)度散點(diǎn)圖可以觀測Kriging模型擬合出的響應(yīng)面精度好壞，其中，樣本點(diǎn)越接近對角線，則表示Kriging模型擬合出的響應(yīng)面精度越高，如圖10所示。

圖10 擬合優(yōu)度散點(diǎn)圖Fig.10 Goodness of Fit Scatter Plot

設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)值通過Kriging模型擬合出的響應(yīng)面圖，如圖11～圖13所示?？梢酝ㄟ^對不同的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行組合，得到設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)值不同的響應(yīng)面圖。通過響應(yīng)面圖還可以看出各個設(shè)計參數(shù)對響應(yīng)值之間得影響。

圖11 設(shè)計參數(shù)與應(yīng)力的擬合響應(yīng)面Fig.11 Fitting Response Surface of Design Parameters and Stress

圖12 設(shè)計參數(shù)與位移的擬合響應(yīng)面圖Fig.12 Fitting Response Surface of Design Parameters and Displacement

圖13 設(shè)計參數(shù)與質(zhì)量的擬合響應(yīng)面圖Fig.13 Fitting Response Surface of Design Parameters and Mass

5 堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

基于雙高雙立柱堆垛機(jī)金屬結(jié)構(gòu)模型，建立以主立柱下端腹板長度L1、主立柱下端翼板厚度T1、主立柱上端腹板長度L2、主立柱上端翼板厚度、T2輔立柱腹板厚度T3、輔立柱翼板厚度T4、上橫梁腹板厚度T5、上橫梁翼板厚度T4、下橫梁腹板厚度T7、下橫梁翼板厚度T8為設(shè)計參數(shù)，堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度為約束條件，堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下所示：

式中：m—堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)質(zhì)量；y—堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)最大位移；σmax—堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力值；[σ]—鋼材許用值；xi—設(shè)計參數(shù)。

5.1 優(yōu)化算法

多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-II）是通過精英保留策略快速非支配排序的算法，是一種基本Pareto最優(yōu)解集的多目標(biāo)算法［13-14］。其分析流程圖，如圖14所示。其具體步驟為：（1）在變量范圍內(nèi)隨機(jī)生成初始化種群，根據(jù)Pareto 的等級關(guān)系對生成的種群進(jìn)行非支配排序后，帶入遺傳算法中進(jìn)行選擇、交叉、變異后，生成第一代子代種群。（2）第二代開始，將父代與子代合并，并進(jìn)行非支配排序，同時對非支配關(guān)系層中的個體進(jìn)行擁擠度計算，使解在目標(biāo)空間更加均勻。根據(jù)個體擁擠度和非支配關(guān)系選擇合適的種群組成新的父代種群，然后在帶入遺傳算法進(jìn)行選擇、交叉、變異生成新的子代種群。循環(huán)進(jìn)行，直到滿足進(jìn)化代數(shù)要求［15］。

圖14 NSGA-II算法流程圖Fig.14 NSGA-II Algorithm Flowchart

5.2 模型優(yōu)化對比

由于雙高雙立柱式堆垛機(jī)有限元模型單元數(shù)量眾多，為了提高雙高雙立柱式堆垛機(jī)的優(yōu)化效率。分別采用NSGA-II多目標(biāo)優(yōu)化算法對堆垛機(jī)有限元模型進(jìn)行優(yōu)化和基于最佳樣本空間（OSF）試驗(yàn)設(shè)計構(gòu)建的Kriging代理模型進(jìn)行優(yōu)化對比，由于直接優(yōu)化與初始種群規(guī)模有直接影響，為了減少仿真時間，NSGA-II參數(shù)設(shè)置：初始種群規(guī)模為100，最大允許的Pareto 百分比為70%，進(jìn)化代數(shù)50，突變因子概率為0.02，交叉因子概率為0.98。其對比結(jié)果，如表2所示。

表2 不同模型的優(yōu)化對比Tab.2 Comparison of Model Optimization

通過表2 表明：基于最佳樣本空間（OSF）試驗(yàn)設(shè)計構(gòu)建的Kriging 代理模型進(jìn)行優(yōu)化相對于NSGA-II 對真實(shí)模型優(yōu)化調(diào)用次數(shù)較少65次，優(yōu)化時間減少了12.992h，優(yōu)化效率提升明顯。NSGA-II 多目標(biāo)優(yōu)化算法對參數(shù)進(jìn)行設(shè)置［13］，初始種群規(guī)模為300，最大允許的Pareto百分比為70%，進(jìn)化代數(shù)300，突變因子概率為0.02，交叉因子概率為0.98。通過對Kriging擬合代理模型進(jìn)行自適應(yīng)多目標(biāo)優(yōu)化，得到的為Pareto解非支配排序散點(diǎn)圖，如圖15所示。

圖15 Pareto解集散點(diǎn)圖Fig.15 Pareto Solution Scatter Plot

通過在Pareto非支配排序最優(yōu)解集中選出5個優(yōu)化設(shè)計方案中，通過對其圓整后，如表2所示。

由表3可知在Pareto最優(yōu)解集中的5個優(yōu)化設(shè)計方案中可以看出目標(biāo)函數(shù)δmax，σmax，與mass之間存在某種制約關(guān)系，因而選擇出一個折中方案。方案1 相對于剩余方案質(zhì)量較少了（5.4～8.7）%，而方案一的應(yīng)力和位移相對于其他方案相差不大，因此選擇方案1作為堆垛機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解。通過表四最優(yōu)解與初始解進(jìn)行對比可知，其堆垛機(jī)整機(jī)質(zhì)量下降了5%，最大位移減小了2.7%，最大應(yīng)力增加了14%，卻依然滿足靜強(qiáng)度和靜剛度要求。

表3 5個最優(yōu)Pareto解Tab.3 5 Optimal Pareto Solutions

表4 最優(yōu)方案和原始方案對比Tab.4 Comparison of Optimal and Original Plans

6 結(jié)論

這里以雙高雙立柱堆垛機(jī)整體結(jié)構(gòu)為工程實(shí)例，提出以三維模型的參數(shù)，最佳填充樣本空間（OSF）、Kriging模型非支配排序多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-II）相結(jié)合的多目標(biāo)靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計方法，其特點(diǎn)為：（1）在雙高雙立柱堆垛機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化過程中，通過采用最佳樣本填充空間（OSF）進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計，在通過Kriging模型構(gòu)建近似響應(yīng)面模型代替復(fù)雜真實(shí)的模型。從而避免優(yōu)化時調(diào)用真實(shí)模型的次數(shù)，提高優(yōu)化效率。（2）通過考慮最大應(yīng)力、最大位移和整機(jī)質(zhì)量等要求，在雙高雙立柱堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化過程中，通過運(yùn)用非支配排序多目標(biāo)遺傳算法（NSGA-II）進(jìn)行尋優(yōu)獲得多個最優(yōu)的非支配排序Pareto解。（3）通過上述方法能夠有效的提高結(jié)構(gòu)設(shè)計的效率和質(zhì)量，對雙高雙立柱式堆垛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了參考。