張浩春

山西省晉神能源有限公司 山西忻州 036599

隨 著煤礦井下開(kāi)采技術(shù)的不斷提高和采煤裝備 的不斷升級(jí)換代，工作面采高的增大，工作面液壓支架的支撐高度和支撐力也隨之提高，因此，在液壓支架構(gòu)件中起著主要承載作用的液壓立柱安全可靠性顯得尤為重要[1]。目前，我國(guó)煤礦井下采煤工作面的最大采高已達(dá)到 8.8 m，而在采煤工作面起著支護(hù)作用的液壓支架其最大支護(hù)高度也增加到了 8.8 m，同時(shí)其配套的支架立柱內(nèi)徑增大到 630 mm。液壓支架在工作面支護(hù)頂板時(shí)，工作面頂板會(huì)對(duì)支架立柱施加軸向載荷和偏心載荷，而當(dāng)立柱受到偏心載荷作用時(shí)，會(huì)產(chǎn)生橫向撓度變化，其大小取決于立柱產(chǎn)生的橫向撓曲量和立柱在軸向受到的載荷大小[2]。目前已有很多關(guān)于液壓支架立柱方面的研究，但對(duì)于立柱在偏心載荷作用下?lián)隙茸兓闆r的研究不是很多，且有關(guān)支架立柱撓度計(jì)算的研究較少。筆者運(yùn)用量綱分析法與仿真技術(shù)，對(duì)立柱在偏心載荷作用下?lián)隙茸兓闆r進(jìn)行分析研究，提出一種立柱撓度值計(jì)算方法。

1 支架立柱的量綱分析

量綱分析法是在經(jīng)驗(yàn)和試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，利用物理定律的量綱齊次原則研究確定各物理量之間的關(guān)系，此方法被廣泛應(yīng)用于工程和自然學(xué)科的研究中。

液壓支架立柱撓度變化主要受 7 個(gè)方面的因素影響：①立柱缸體的長(zhǎng)度l；② 立柱缸體的截面抵抗矩I；③立柱缸體材料的彈性模量E；④ 在立柱缸體內(nèi)流動(dòng)的乳化液運(yùn)動(dòng)黏度ν；⑤ 乳化液的密度ρ；⑥ 立柱缸體內(nèi)的初撐力p；⑦ 偏心載荷彎矩B。

為描述上述 7 個(gè)影響因素的量綱，選取質(zhì)量M、時(shí)間T和長(zhǎng)度L這 3 個(gè)基本量為量綱，則以上 7 個(gè)因素的量綱式分別是：

(1) 缸體的長(zhǎng)度l，其量綱 [l]=L；

(2) 立柱缸體的截面抵抗矩I，其量綱 [I]=L4；

(3) 立柱缸體的彈性模量E，其量綱 [E]=ML-1T-2；

(4) 乳化液運(yùn)動(dòng)黏度ν，其量綱 [ν]=ML-1T-1；

(5) 乳化液的密度ρ，其量綱 [ρ]=ML-3；

(6) 缸體內(nèi)部的初撐力p，其量綱 [p]=ML-1T-2；

(7) 偏心載荷彎矩B，其量綱 [B]=ML2T-2。

立柱的撓度用y來(lái)表示，其量綱采用長(zhǎng)度L表示。根據(jù)量綱分析理論，立柱撓度y與以上幾個(gè)影響因素的關(guān)系可以用下式來(lái)表示。

式中：k為常數(shù)；冪次指數(shù)a～g為未知量。

將量綱代入式 (1)，可得

式 (2) 中，兩邊對(duì)應(yīng)的量綱指數(shù)是相等的，即量綱M的指數(shù)為 0，量綱T的指數(shù)為 0，量綱L的指數(shù)為 1，因此可以得到

利用式 (3)～(5)，不能求解出a～g7 個(gè)未知量。因此，若將a、b、e、g4 個(gè)未知量假設(shè)成為已知量，則可以將c、d、f求解出來(lái)，得出如下結(jié)果

將式 (6)、(7)、(8) 代入式 (1)，可以得到支架立柱撓度量綱分析式

或

對(duì)式 (10) 兩邊取對(duì)數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得

該線性方程中共有 4 個(gè)未知變量。

為求解式 (12) 中的K、a、b、e、g5 個(gè)未知量綱值，筆者選取 3 種缸徑，分別為φ230、φ250 和φ500 mm 的雙伸縮立柱來(lái)開(kāi)展數(shù)值仿真試驗(yàn)，將仿真結(jié)果代入式 (12)，并運(yùn)用多元線性回歸方法進(jìn)行分析，從而求出K、a、b、e、g5 個(gè)未知量。

2 立柱的有限元數(shù)值仿真

筆者聯(lián)合運(yùn)用有限單元法 (FEM) 和光滑粒子流體動(dòng)力學(xué) (SPH) 仿真技術(shù)，對(duì)支架立柱在受到偏心載荷后撓度變化情況進(jìn)行仿真。

FEM 主要運(yùn)用于固體域中的求解，SPH 主要運(yùn)用于流體域的求解[3]。為便于解決乳化液與支柱缸體之間的流固耦合問(wèn)題，筆者采用 SPH 將支柱缸體內(nèi)使用的乳化液用賦予與乳化液相同物理量的質(zhì)點(diǎn)來(lái)表示。

2.1 立柱的有限元三維模型

雙伸縮液壓立柱主要由缸體、導(dǎo)向套和活柱等部件構(gòu)成。在計(jì)算支架立柱撓度時(shí)，應(yīng)按照立柱全部伸出達(dá)到最大高度計(jì)算。立柱缸體中的乳化液視作 SPH 光滑粒子。雙伸縮液壓立柱達(dá)到最大伸出長(zhǎng)度時(shí)的有限元模型如圖 1 所示。3 種規(guī)格立柱的主要結(jié)構(gòu)特征參數(shù)如表 1 所列。

表1 3 種規(guī)格立柱主要結(jié)構(gòu)特征參數(shù)Tab.1 Main structural feature parameters of three sizes of column

圖1 立柱達(dá)到最大伸出長(zhǎng)度時(shí)的有限元模型Fig.1 Finite element model of column while it reaching maximum length

立柱缸體的主要材料為 30CrMnSiA 合金結(jié)構(gòu)鋼，立柱導(dǎo)向套的主要材料為 42CrMo 超高強(qiáng)度鋼，30CrMnSiA 和 42CrMo 的密度、彈性模量、泊松比均相同，分別為 7 850 kg/m3、207 GPa 和 0.3。

2.2 立柱仿真約束條件

在對(duì)立柱進(jìn)行數(shù)值仿真技術(shù)分析時(shí)，假設(shè)立柱工作時(shí)的初撐力與乳化液泵站所供的壓力相等。為了使分析結(jié)果具有一般代表性，規(guī)格為φ500 mm 的立柱工作時(shí)乳化液泵站壓力設(shè)定為 37.5 MPa，規(guī)格為φ230 和φ250 mm 的液壓立柱工作時(shí)乳化液泵站的壓力不低于 31.5 MPa。

按照 GB 25974.2—2010《煤礦用液壓支架 第 2 部分：立柱和千斤頂技術(shù)條件》要求，在液壓支架立柱頂部加載一個(gè)偏心載荷，其大小為 1.1 倍支架額定工作阻力，此時(shí)立柱的偏心距是立柱活柱頂部圓頭半徑的 0.3 倍。據(jù)此可知，φ230 mm 立柱的偏心載荷為 1 870 kN，偏心距為 20.5 mm；φ250 mm 立柱的偏心載荷為 2 090 kN，偏心距為 23.2 mm；φ500 mm 立柱的偏心載荷為 9 240 kN，偏心距為 41.5 mm。為了使加載在立柱頂端的偏心載荷更加精準(zhǔn)，在立柱活柱頂部安裝一個(gè)加載模塊，如圖 2 所示。

圖2 立柱偏心載荷加載示意Fig.2 Sketch of eccentric load on column

約束條件：①在立柱底部缸體下端圓頭外表面上的節(jié)點(diǎn)施加 6 個(gè)自由度的固定約束；② 在立柱活柱上部的圓頭和加載模塊之間、立柱導(dǎo)向套和立柱缸體之間均施加黏結(jié)約束；③在立柱活塞和立柱缸體內(nèi)表面之間、導(dǎo)向套和立柱活塞桿之間施加接觸約束。

2.3 立柱撓度影響因素分析

液壓支架立柱的撓度受立柱的初撐力、缸體活塞與立柱缸體內(nèi)壁之間的相對(duì)摩擦運(yùn)動(dòng)、立柱缸體變形量等因素影響[4-7]。在計(jì)算式 (12) 中的未知量時(shí)，假設(shè)立柱撓度值為已知量，同時(shí)將支架立柱劃分為活柱段、中缸段和底缸段進(jìn)行計(jì)算，其中各段的計(jì)算長(zhǎng)度分別為lA、lB、lC，具體分段如圖 3 所示。

圖3 立柱分段示意Fig.3 Segmented sketch of column

仿真所用 3 種規(guī)格的立柱相關(guān)參數(shù)如表 2 所列。

表2 3 種規(guī)格立柱各段相關(guān)參數(shù)Tab.2 Relative parameters of each segment of three sizes of column

利用上述相關(guān)條件和數(shù)值，對(duì) 3 種不同規(guī)格的支架立柱分別進(jìn)行仿真，可求解得出各段撓度，如表 3 所列。

表3 3 種規(guī)格立柱各段仿真撓度Tab.3 Deflection simulations of each segment of three sizes of column mm

將以上數(shù)據(jù)代入式 (12) 中，采用多元線性回歸方法進(jìn)行分析計(jì)算，可得出K=-19.271，a=-0.028，b=-0.912，e=0.416，g=1.665。因K=lnk，故有k=eK=4.627×10-9。

將上述得出的數(shù)值代入到式 (9)，可得

將上述已得出的數(shù)值代入到式 (6)、(7)、(8)，可分別求解得到f=-1.219，d=-0.833，c=0.487。

根據(jù)上述計(jì)算得到所有數(shù)據(jù)如表 4 所列。

表4 各數(shù)據(jù)求解結(jié)果Tab.4 Solutions of each data

將表 4 中的各數(shù)據(jù)代入式 (1)，可得

通過(guò)式 (14)，可以分析每個(gè)因素對(duì)立柱撓度的影響。

選取初撐力p作為對(duì)立柱撓度影響因素進(jìn)行研究分析，把其他參數(shù)設(shè)成不變量，初撐力由p變至p1，同時(shí)對(duì)應(yīng)的立柱撓度由y變至y1，則由式 (14) 可得

同理，可得出其他幾個(gè)因素對(duì)立柱撓度的影響情況，

根據(jù)式 (15)～(18) 計(jì)算結(jié)果，可得立柱的撓度比值與參數(shù)之間的關(guān)系，如圖 4 所示。

圖4 立柱的撓度比與參數(shù)比之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between deflection ratio and parameter ratio of column

由圖 4 可以看出，當(dāng)支柱初撐力p和截面抵抗矩I逐漸增大時(shí)，其對(duì)應(yīng)的立柱撓度比值逐漸減小，而當(dāng)立柱的長(zhǎng)度l和彎矩B逐漸增大時(shí)，其對(duì)應(yīng)的立柱撓度比值也隨之逐漸增大。其中，支柱初撐力p和彎矩B的引起的變化率最大。由此可知，當(dāng)加大支架立柱的初撐力時(shí)，等于增加了支架立柱的抗彎剛度。

在仿真模擬過(guò)程中，上述幾個(gè)參數(shù)往往是同時(shí)發(fā)生變化，因此，可以把B、p、l和I這 4 個(gè)參數(shù)看作同時(shí)發(fā)生變化，變化后得到的變量值為B′、p′、l′和I′，由式 (14) 可以得到

根據(jù)式 (19)，可以分析研究立柱撓度與上述參數(shù)之間的關(guān)系。

假定在其他參數(shù)不變的情況下，增加支架的初撐力和工作阻力，同時(shí)將它們提升 10%，將數(shù)值代入到式 (19)，可以求解出立柱的撓度比值為 1.039，說(shuō)明立柱的撓度增加了 3.9%。當(dāng)只將立柱的工作阻力增加 10% 時(shí)，立柱撓度則增加了 16.8%。因此，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，提高支架立柱的初撐力，可以大大減小工作阻力增加時(shí)對(duì)立柱撓度的影響。

3 量綱分析式的有效性檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)式 (14) 的有效性，先運(yùn)用該式將上述 3 種不同缸徑立柱的撓度求解出來(lái)，然后任意選取一根不同缸徑的立柱，假設(shè)缸徑為φ400 mm，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表 5 所列，采用式 (14) 對(duì)該立柱的撓度求解并進(jìn)行仿真計(jì)算。最后將以上 4 種不同缸徑立柱的量綱值、仿真值進(jìn)行對(duì)比分析研究，結(jié)果如表 6 所列。

表5 φ400 mm 缸徑立柱各段相關(guān)參數(shù)Tab.5 Relative parameters of each segment of φ400 mm cylinder column

表6 不同規(guī)格立柱撓度的量綱分析值與仿真值對(duì)比Tab.6 Comparison of dimensional analysis results and simulation ones of deflection of various column

由表 6 可知，采用量綱分析得到的數(shù)值與采用仿真技術(shù)得到的數(shù)值最大誤差約為 6%，兩者吻合比較好。因此，立柱撓度值可以采用式 (14) 進(jìn)行預(yù)估。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)運(yùn)用量綱分析法和仿真模擬技術(shù)，建立了立柱撓度與影響其數(shù)值的幾個(gè)因素之間的無(wú)量綱關(guān)系式，并得到了計(jì)算立柱撓度的公式。根據(jù)公式可知，增加支架初撐力和立柱截面抵抗矩，可以降低立柱撓度，而加大立柱彎矩和缸體長(zhǎng)度時(shí)，立柱撓度隨之增大。初撐力和立柱彎矩的變化對(duì)立柱撓度的影響最大，而立柱缸體的長(zhǎng)度和截面模量變化對(duì)撓度值影響相對(duì)較小。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，提高支架立柱的初撐力，可以大大減小工作阻力增加對(duì)立柱撓度變化的影響。