黃孫華，王 杰，熊林云

（1.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240；2.重慶大學(xué)電氣工程學(xué)院，重慶 400044）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)的規(guī)模和范圍不斷增大，對(duì)電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的要求越來越高[1-3]。電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定是電力系統(tǒng)遭受大干擾能夠恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行的能力，是電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要基礎(chǔ)[4-5]。在電力系統(tǒng)中，隨著負(fù)荷增長(zhǎng)的電能需求以及考慮到經(jīng)濟(jì)效益，很多發(fā)電機(jī)運(yùn)行在額定容量附近[6-7]。同時(shí)，隨著電力系統(tǒng)之間的互聯(lián)范圍的不斷擴(kuò)大，電網(wǎng)出現(xiàn)事故的概率和嚴(yán)重程度明顯增加[8-9]。當(dāng)系統(tǒng)受到的擾動(dòng)時(shí)，如短路故障、斷線以及級(jí)聯(lián)故障，會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的暫態(tài)振蕩現(xiàn)象，對(duì)整個(gè)多機(jī)電力系統(tǒng)造成嚴(yán)重的威脅[10]。

目前，主要是通過調(diào)速器調(diào)節(jié)出力和通過電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（Power System Stabilizer，PSS）調(diào)節(jié)勵(lì)磁這兩種措施來提高電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定[11-18]。文獻(xiàn)[11]采用了遺傳—粒子群優(yōu)化算法得出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)參數(shù)并應(yīng)用到仿真中，明顯提高了抑制系統(tǒng)振蕩的效果。文獻(xiàn)[13]應(yīng)用智能算法來優(yōu)化調(diào)節(jié)器的PID 控制器的參數(shù)，可以有效抑制電力系統(tǒng)振蕩，同時(shí)也能夠兼顧完善其一次調(diào)頻性能。文獻(xiàn)[14]提出了協(xié)同控制器來調(diào)節(jié)調(diào)速器以提高電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性。雖然通過優(yōu)化調(diào)速器的參數(shù)能夠明顯提高抑制電力系統(tǒng)振蕩的效果，但是調(diào)速器是一種機(jī)械部件，頻繁使用會(huì)對(duì)其造成機(jī)械損傷，調(diào)節(jié)效果可能會(huì)受到影響。同時(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中，調(diào)速器的靈敏度也會(huì)受到制約，并且其響應(yīng)速度相對(duì)于PSS 而言比較慢[15]。PSS 具有控制簡(jiǎn)單，響應(yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)，目前是常用的抑制電力系統(tǒng)振蕩的措施。文獻(xiàn)[16]利用PSS 調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁并根據(jù)相位補(bǔ)償原理得到純阻尼力矩，能夠有效抑制電力系統(tǒng)振蕩。文獻(xiàn)[17]根據(jù)不同頻段的振蕩，提出了多個(gè)通道的多頻段PSS（Multi-Band Power System Stabilizer，MBPSS），能夠?yàn)椴煌l段的振蕩提供更合適的補(bǔ)償。雖然經(jīng)過MBPSS 控制器能夠針對(duì)不同頻段提供合理的補(bǔ)償，但MBPSS 的本質(zhì)仍然是一種線性控制器。MBPSS 只能控制電力系統(tǒng)在某一范圍內(nèi)保持穩(wěn)定[18]。然而，電力系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)受到大的擾動(dòng)時(shí)，PSS 不能夠有效控制系統(tǒng)在允許范圍內(nèi)穩(wěn)定運(yùn)行。因此，研究非線性的控制策略來保證電力系統(tǒng)在大干擾動(dòng)時(shí)能夠安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要的意義。

滑模控制具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)，目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在非線性系統(tǒng)中，具有非常好的控制效果[19]。但是，滑模控制的缺點(diǎn)主要是會(huì)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用到滑?？刂破髦行纬煞?jǐn)?shù)階滑?？刂破?，其已經(jīng)被證實(shí)能夠有效抑制抖振現(xiàn)象[20]。分?jǐn)?shù)階微積分由分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)組成。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以將控制輸入的符號(hào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為控制信號(hào)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)形式，有效減少開關(guān)控制動(dòng)作引起的抖振現(xiàn)象[21]。分?jǐn)?shù)階積分可以作為符號(hào)函數(shù)的低通濾波器消除高頻分量，獲得高精度的性能[22]。同時(shí)，分?jǐn)?shù)階滑?？刂瓶梢栽黾訁?shù)調(diào)整的自由度，提高控制器設(shè)計(jì)的靈活性，提高系統(tǒng)的精度，進(jìn)而提高控制器的控制性能[23]?；诨？刂破骱头?jǐn)?shù)階微積分的優(yōu)點(diǎn)，本文提出了分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鱽硖岣唠娏ο到y(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性能。同時(shí)，本文提出的控制器能夠使電力系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到穩(wěn)定，使系統(tǒng)能夠安全穩(wěn)定運(yùn)行。

1 電力系統(tǒng)的模型及其解耦

多機(jī)電力系統(tǒng)是不同區(qū)域發(fā)電機(jī)通過變壓器和線路等接入電網(wǎng)給用戶供電。多機(jī)電力系統(tǒng)中的第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

式中：δi為電機(jī)功角；ωi為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度；Hi為發(fā)電機(jī)的慣性時(shí)間常數(shù)；Di為發(fā)電機(jī)的阻尼系數(shù)；Pei，Pmi分別為電磁轉(zhuǎn)矩和機(jī)械轉(zhuǎn)矩；ω0為額定發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度；Eqi和E′qi分別為發(fā)電機(jī)在q軸上的空載電壓和瞬態(tài)電壓；Efdi為勵(lì)磁電壓；Tdoi為繞組時(shí)間常數(shù)。

多機(jī)電力系統(tǒng)的其他相關(guān)電氣量為：

式中：Qei和Vti分別為無功功率和機(jī)端電壓；Gij和Bij分別為總線i和總線j之間的等效電導(dǎo)和電納；xdi和x′di為d軸電抗和d軸瞬態(tài)電抗；Idi和Iqi分別為d軸和q軸的電流；δj為第j臺(tái)發(fā)電機(jī)功角。

由式（1）可知，多機(jī)電力系統(tǒng)是個(gè)高度復(fù)雜，強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。同時(shí)，勵(lì)磁Efi和輸出ωi不存在直接的聯(lián)系。因此，首先通過輸入輸出線性化的方法對(duì)其進(jìn)行解耦和線性化。輸入輸出線性化的方法是不斷對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行微分，直到系統(tǒng)輸入和輸出能夠構(gòu)建出直接的聯(lián)系。對(duì)輸出ωi進(jìn)行微分，可以得到：

2 分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗栽O(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 相關(guān)定義定理與性質(zhì)

定義1[19]：Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

式中：α為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階次；n為正整數(shù)；Γ(·)為伽馬函數(shù)，；w(t)在(t0,t)上是連續(xù)的函數(shù)；是函數(shù)w(t) 在(t0,t)上的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分。

性質(zhì)1[24]:Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階微積分具有的性質(zhì)為：

引理1[25]:如果存在一個(gè)正定函數(shù)V滿足式（11）：

式中:λ和γ為正常數(shù)，且滿足λ＞0，0＜γ＜1。

則非線性系統(tǒng)=f(x,t)能夠在有限時(shí)間內(nèi)保持穩(wěn)定，并且收斂時(shí)間T為：

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?，使電力系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行。控制目標(biāo)是將轉(zhuǎn)子角速度ωi穩(wěn)定到參考值ω0。因此，轉(zhuǎn)子角速度跟蹤誤差為ei=ωi-ω0。

2.2 控制策略設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面為：

式中：si為分?jǐn)?shù)階滑模面；q為分?jǐn)?shù)階階次且0＜q≤1；k1，k2，σ為給定的正數(shù)且k1＞0，k2＞0，0 ＜σ＜1。當(dāng)ei到達(dá)滑模面時(shí)，則：

通過式（13）和式（14），可以得到：

因此，滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)可以描述為：

定理1：如果分?jǐn)?shù)階滑模面設(shè)計(jì)為式（13），則滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)（16）的狀態(tài)軌跡將會(huì)收斂到0。

證明：選擇正定的Lyapunov 函數(shù)為：

因此，根據(jù)式（19），表明滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)（16）的狀態(tài)軌跡將會(huì)收斂于0。

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模控制ui，使轉(zhuǎn)速的跟蹤誤差ei到達(dá)并保持在滑模面si=0 上。首先，令=0，可以得到等效控制器ueqi為：

為了保證ei能夠到達(dá)并保持在滑模面si上，設(shè)計(jì)切換控制器uri為：

其中k3，k4是給定的正數(shù)，k3＞0，k4＞0。因此，分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骺梢栽O(shè)計(jì)為：

定理2：如果控制器設(shè)計(jì)為式（22），則轉(zhuǎn)子角速度的跟蹤誤差的狀態(tài)軌跡將會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并保持在滑模面si=0 上。

證明：選擇正定Lyapunov 函數(shù)為：

對(duì)V進(jìn)行一階微分，則有

根據(jù)式（13），式（24）可以表達(dá)為：

根據(jù)式（8），可得：

根據(jù)式（22）和性質(zhì)1，可得：

通過引理1，可以得出轉(zhuǎn)子角速度的跟蹤誤差ei的狀態(tài)軌跡將會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂于滑模面si=0，并且收斂時(shí)間為：

引理1 和式（27）表明，轉(zhuǎn)子角速度的跟蹤誤差ei的狀態(tài)軌跡在分?jǐn)?shù)階滑?？刂破魇剑?2）的控制下將會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并保持在滑模面si=0 上。因此，基于定理1 和定理2，分?jǐn)?shù)階滑模控制器式（22）能夠維持電力系統(tǒng)保持穩(wěn)定運(yùn)行。

3 仿真及結(jié)果分析

為了證明本文所提出的分?jǐn)?shù)階滑模勵(lì)磁控制器的有效性以及控制性能的優(yōu)越性，將分?jǐn)?shù)階滑模控制器和傳統(tǒng)的MBPSS 控制應(yīng)用到3 機(jī)9 節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)中，并在Matlab/Simulink 2017a 上進(jìn)行仿真。3 機(jī)9 節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)如圖1 所示，發(fā)電機(jī)G3 作為參考發(fā)電機(jī)。通過3 種常見的運(yùn)行工況來證明與MBPSS 控制器相比，分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髂軌蚋佑行岣唠娏ο到y(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性。3 種工況包括發(fā)電機(jī)機(jī)端短路，線路短路以及線路跳閘。

圖1 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)Fig.1 Three-machine nine-node power system

3.1 發(fā)電機(jī)G1發(fā)生機(jī)端短路故障

發(fā)電機(jī)機(jī)端短路是電力系統(tǒng)中最嚴(yán)重的故障之一。當(dāng)發(fā)電機(jī)機(jī)端短路時(shí)，故障發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓將會(huì)變?yōu)?，故障側(cè)的發(fā)電機(jī)不能夠?yàn)殡娋W(wǎng)提供電能。此時(shí)電力系統(tǒng)的電能平衡會(huì)被破壞，使得發(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角發(fā)生振蕩。

發(fā)電機(jī)G1 機(jī)端在2 s 開始發(fā)生短路故障，2.12 s之后故障被切除。在分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骱蚆BPSS控制下，電力系統(tǒng)的仿真結(jié)果見圖2 和圖3。

圖2 發(fā)電機(jī)G1機(jī)端短路在分?jǐn)?shù)階滑模勵(lì)磁控制器下發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.2 Dynamic response of generators with fractional order sliding mode excitation controller when short circuit fault occurred in G1

從圖2（c）和圖3（c）可以看出，當(dāng)發(fā)電機(jī)機(jī)端發(fā)生短路時(shí)，發(fā)電機(jī)G1 的機(jī)端電壓為0，其他發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓也會(huì)受到干擾，但是不會(huì)變?yōu)?。從圖2（a）、圖2（b）、圖3（a）和圖3（b）可以發(fā)現(xiàn)，機(jī)端電壓發(fā)生短路時(shí)，發(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角受到干擾。在分?jǐn)?shù)階滑模勵(lì)磁控制器調(diào)節(jié)下，電力系統(tǒng)能夠很快恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行，收斂時(shí)間短，振蕩少。在MBPSS 控制下，電力系統(tǒng)雖然也能恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行，但是此時(shí)電力系統(tǒng)收斂時(shí)間長(zhǎng)，振蕩大。因此，本文提出的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髂軌蚋佑行岣唠娏ο到y(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性。

圖3 發(fā)電機(jī)G1機(jī)端短路在MBPSS控制下的發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.3 Dynamic response of generators with MBPSS control when short circuit fault occurred in G1

3.2 線路4和線路6之間發(fā)生短路故障

線路間發(fā)生短路故障也是對(duì)電力系統(tǒng)危害比較嚴(yán)重的故障。此時(shí)故障線路之間不能傳輸電能，會(huì)破壞電力系統(tǒng)之間的平衡，發(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角會(huì)發(fā)生振蕩。

同樣在2 s 線路4 和線路6 之間開始發(fā)生線路短路故障，2.12 s 之后故障被切除。圖4 和圖5 分別給出了電力系統(tǒng)在線路4 和6 之間發(fā)生短路故障時(shí)在分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骱蚆BPSS 下的仿真圖。從圖4（c）和圖5（c）可以看出，當(dāng)線路發(fā)生短路故障時(shí)，發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓不會(huì)為0，但是會(huì)受到干擾。此時(shí)，線路4 和線路6 之間不能夠傳輸有功功率和無功功率，使得發(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角發(fā)生振蕩。從圖4（a）、圖4（b）、圖5（a）和圖5（b）可以看出，通過分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髡{(diào)節(jié)勵(lì)磁來抑制振蕩的效果更好。此時(shí)，在分?jǐn)?shù)階滑?？刂破飨碌陌l(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角能夠很快的恢復(fù)穩(wěn)定，收斂時(shí)間短。在MBPSS 控制下的發(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角需要很久才能夠恢復(fù)穩(wěn)定，并且振蕩幅度大。因此，本文提出的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骺刂菩Ч?，能更加有效提高電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性。

圖4 線路短路在分?jǐn)?shù)階滑模勵(lì)磁控制器下的發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.4 Dynamic response of generators with fractional order sliding mode excitation controller when short circuit fault occurred in transmission lines

圖5 線路短路在MBPSS下的發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.5 Dynamic response of generators with MBPSS control when short circuit fault occurred in the transmission lines

3.3 線路6和線路9之間發(fā)生跳閘故障

線路跳閘是電力系統(tǒng)中的另外一種故障。隨著電力系統(tǒng)的規(guī)模和范圍不斷擴(kuò)大，線路跳閘會(huì)使得線路之間的傳輸功率為0，此時(shí)對(duì)多機(jī)電力系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生影響，使得發(fā)電機(jī)的頻率和發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)行角發(fā)生振蕩。

同樣在2 s 開始發(fā)生線路跳閘故障，2.12 s 之后故障被切除。圖6 和圖7 分別給出了電力系統(tǒng)在線路6 和9 之間發(fā)生跳閘故障時(shí)在分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骱蚆BPSS 下的仿真圖。從圖6 和圖7 可以看出，當(dāng)線路發(fā)生跳閘故障時(shí)，通過分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髡{(diào)節(jié)勵(lì)磁來使得發(fā)電機(jī)的頻率，轉(zhuǎn)子運(yùn)行角和機(jī)端電壓很快恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行，收斂時(shí)間短，抑制振蕩的效果更好。此時(shí)，在MBPSS 控制下的發(fā)電機(jī)的頻率和轉(zhuǎn)子運(yùn)行角需要收斂時(shí)間長(zhǎng)，并且振蕩幅度大。因此，本文的提出的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骺梢愿佑行У匾种齐娏ο到y(tǒng)振蕩，控制效果更加優(yōu)越。

圖6 線路跳閘在分?jǐn)?shù)階滑模勵(lì)磁控制器下的發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.6 Dynamic response of generators with fractional order sliding mode excitation controller when trip occurred in transmission lines

圖7 線路跳閘在MBPSS下的發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of generators with MBPSS control when trip occurred in transmission lines

4 結(jié)論

基于分?jǐn)?shù)階微積分，滑?？刂评碚摵陀邢迺r(shí)間穩(wěn)定理論，提出了分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?，使得電力系統(tǒng)能夠在有限的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)行。該控制策略充分利用了分?jǐn)?shù)階微積分能夠有效抑制抖振的特點(diǎn)，以及滑?？刂破髟O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)，使得電力系統(tǒng)的收斂時(shí)間變短，抖振現(xiàn)象減少。同時(shí)，分?jǐn)?shù)階滑?？刂瓶梢栽黾訁?shù)調(diào)整的自由度，提高控制器設(shè)計(jì)的靈活性。通過在3 機(jī)9 節(jié)點(diǎn)的互聯(lián)電力系統(tǒng)中進(jìn)行仿真，并與傳統(tǒng)MBPSS 控制器對(duì)比，驗(yàn)證了本文提出的分?jǐn)?shù)階滑模控制策略能夠有效提高電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，收斂時(shí)間更快，效果更加好。考慮到分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鞯膬?yōu)越性，其在實(shí)際應(yīng)用中具有廣闊的應(yīng)用前景。