?安徽省亳州市蒙城縣第二中學(xué) 王 浩

1 引言

高中數(shù)學(xué)課本中有許多重要的數(shù)學(xué)公式及定理，課本中往往只給出基本形式及其證明，但在很多情況下，我們還會(huì)運(yùn)用它們的推廣形式，即需要將它們由特殊形式推廣到一般形式.例如指數(shù)運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)中的棣莫佛定理，二項(xiàng)式定理,等等.但這些定理一般形式的證明往往較抽象、復(fù)雜，通常我們只給出其一般形式，很少給出證明.筆者將運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)探究這些常用定理的推廣.

2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

2.1 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則推廣的證明

對(duì)于對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，課本中是這樣寫(xiě)的：

兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)對(duì)數(shù)的和.

若a>0,且a≠1,N1>0,N2>0,

那么 loga(N1N2)=logaN1+logaN2.

此性質(zhì)可推廣為：

loga(N1N2·…·Nn)=logaN1+logaN2+…+logaNn.

即n個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這n個(gè)正數(shù)對(duì)數(shù)的和.

怎樣證明這個(gè)推廣，當(dāng)時(shí)沒(méi)有說(shuō)，現(xiàn)在我們可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明.

證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，等式成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N)時(shí)，等式成立，即

loga(N1N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,

當(dāng)n=k+1 時(shí)，

loga(N1N2·…·NkNk+1)

=logaN1+logaN2+…+loga(NkNk+1)

=logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1,

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.

由(1)(2)可知，對(duì)?n≥2(n∈N*)等式都成立.

2.2 復(fù)數(shù)棣莫佛定理的證明

關(guān)于復(fù)數(shù)三角形式的乘法與乘方，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積還是一個(gè)復(fù)數(shù)，模等于各復(fù)數(shù)的模的積，它的輻角等于各復(fù)數(shù)輻角的和.

若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),那么

z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

上面定理也可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況，

z1z2…zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)

+isin(θ1+θ2+…+θn)].

這一推廣也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)，等式成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)，

z1z2…zkzk+1

=z1z2…zk-1(zkzk+1)

=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rk-1(cosθk-1+isinθk-1)·rkrk+1[cos(θk+θk+1)+isin(θk+θk+1)]

=r1r2…rkrk+1[cos(θ1+θ2+…+θk+θk+1)+isin(θ1+θ2+…+θk+θk+1)],

所以,當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.

由(1)(2)可知，對(duì)?n≥2(n∈N*)等式都成立.

特別地，如果r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ時(shí)，就有

zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).

這就是復(fù)數(shù)乘方公式，通常稱作棣莫佛定理.

2.3 均值不等式推廣的證明

在不等式中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了均值不等式，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，它們的幾何平均數(shù)又不小于它們的調(diào)和平均數(shù).

將上式推廣，對(duì)于n個(gè)正數(shù)也有相應(yīng)的平均數(shù)的概念及關(guān)系.

如果a1,a2,…,an是n個(gè)正數(shù)，那么

證明：下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明

①

不妨設(shè)0

當(dāng)a1=an即a1=a2=…=an時(shí)，上式成立；

當(dāng)a1

(1)當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；

(2)假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即

又因?yàn)?/p>

所以

當(dāng)n=k+1時(shí),

兩邊都乘k+1次方，應(yīng)用二項(xiàng)式定理，可得

這就是說(shuō)

所以

由(1)(2)可知，對(duì)?n∈N*式①都成立.

上述證明還說(shuō)明了當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，①式中等號(hào)才成立.

下面再證：

②

證明：因?yàn)閍1,a2,…,an都是正數(shù)，由①式得：

所以

綜合①②式就證得原不等式.

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)知識(shí)的拓展，提升學(xué)生邏輯思維及推理能力，數(shù)學(xué)歸納法作為演繹推理的一種，培養(yǎng)學(xué)生邏輯地思考問(wèn)題，在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)和理性精神，也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)推理與證明的獨(dú)特魅力.Z