蘇子康，陳 嘉，邢卓琳

（1.南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 211106；2.山西大學(xué)自動(dòng)化與軟件學(xué)院，太原 030013）

1 引 言

直升機(jī)機(jī)外懸掛運(yùn)輸最早開(kāi)始于20世紀(jì)50年代，主要用于緊急救援、軍事行動(dòng)、森林防火等任務(wù)，是直升機(jī)在軍用和民用領(lǐng)域主要的用途之一[1-2]。然而，傳統(tǒng)的單架直升機(jī)在執(zhí)行外掛飛行時(shí)，由于機(jī)體易產(chǎn)生晃動(dòng)，使得直升機(jī)與懸掛載荷之間存在耦合擺動(dòng)問(wèn)題，這嚴(yán)重影響了直升機(jī)和懸掛載荷的穩(wěn)定性和飛行安全性[3-4]。為了減小耦合擺動(dòng)，提高直升機(jī)懸掛系統(tǒng)操縱品質(zhì)，許多研究者針對(duì)系繩直升機(jī)提出了抗擺動(dòng)控制算法[5]。

近年來(lái)，隨著多無(wú)人機(jī)協(xié)同技術(shù)的發(fā)展，相關(guān)研究也越來(lái)越多，其中將多無(wú)人機(jī)應(yīng)用于懸掛載荷運(yùn)輸成為熱門(mén)[6-7]。與單架無(wú)人機(jī)相比，多架無(wú)人機(jī)協(xié)作搬運(yùn)，能更好地發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)。其優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在更靈活的機(jī)動(dòng)性、更大的承載能力、更強(qiáng)的任務(wù)執(zhí)行力、更好的容錯(cuò)性和魯棒性以及更高的經(jīng)濟(jì)可承受性。根據(jù)不同任務(wù)的載荷要求，靈活調(diào)整無(wú)人機(jī)的數(shù)量，實(shí)現(xiàn)資源的有效配置。此外，無(wú)人機(jī)數(shù)量的增加使得整個(gè)協(xié)作搬運(yùn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，有效避免了單架無(wú)人機(jī)的吊索擺動(dòng)問(wèn)題[1]。

然而，目前無(wú)人機(jī)協(xié)作搬運(yùn)技術(shù)研究多采用四旋翼驅(qū)動(dòng)，但由于四旋翼無(wú)人機(jī)載重尺寸和重量有限，會(huì)限制其運(yùn)輸能力。文獻(xiàn)[7]利用拉格朗日力學(xué)建立了四旋翼協(xié)作搬運(yùn)的動(dòng)力學(xué)模型，將機(jī)體、纜繩和載荷之間的耦合效應(yīng)考慮在內(nèi)，設(shè)計(jì)了幾何非線性PID 控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)載荷位置和姿態(tài)的有效跟蹤。文獻(xiàn)[8]給出了直升機(jī)吊掛載荷的完整模型，設(shè)計(jì)了一種基于視覺(jué)估計(jì)的控制器，通過(guò)主動(dòng)阻尼來(lái)防止載荷飄擺。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種基于反饋線性化多旋翼加速度動(dòng)力學(xué)的滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了載荷路徑的穩(wěn)定跟蹤。文獻(xiàn)[10]采用Udwadia-Kalaba 方法對(duì)懸掛載荷系統(tǒng)進(jìn)行建模，提出了基于次最優(yōu)LQR-PID 的擴(kuò)展系統(tǒng)控制器與增穩(wěn)系統(tǒng)，使每一個(gè)四旋翼飛行器保持姿態(tài)穩(wěn)定并將載荷引導(dǎo)到預(yù)期方向。文獻(xiàn)[11]將無(wú)源控制設(shè)計(jì)應(yīng)用于多無(wú)人機(jī)懸掛載荷系統(tǒng)，調(diào)節(jié)無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)位置并補(bǔ)償載荷施加的垂直力，使系統(tǒng)在繩索拉力下的平衡點(diǎn)處于穩(wěn)定。在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[12]提出的協(xié)作控制算法將環(huán)境擾動(dòng)的影響考慮在內(nèi)，并簡(jiǎn)化了負(fù)載模型，用以運(yùn)輸質(zhì)量未知的懸掛載荷。除了使用四旋翼飛機(jī)，文獻(xiàn)[13]還嘗試采用三架直升機(jī)來(lái)解決協(xié)作運(yùn)輸問(wèn)題。與旋翼機(jī)相比，協(xié)作無(wú)人直升機(jī)具有更強(qiáng)的運(yùn)輸能力，在大質(zhì)量載荷運(yùn)輸領(lǐng)域，直升機(jī)將更有優(yōu)勢(shì)。

值得關(guān)注的是，由于繩索上的拉力很難測(cè)量，現(xiàn)有的控制方法都假設(shè)其無(wú)法測(cè)量，所以設(shè)計(jì)出的控制器都缺乏相應(yīng)的抗干擾能力。作用在無(wú)人直升機(jī)上的繩索拉力大大提升了耦合載荷運(yùn)輸系統(tǒng)的復(fù)雜性，對(duì)無(wú)人直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)特征和穩(wěn)定性能也產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的影響。因此，本文將無(wú)法測(cè)量的繩索拉力作為一種擾動(dòng)，研究基于最小學(xué)習(xí)參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Minimal Learning Parameter Neural Networks, MLPNN）的多無(wú)人直升機(jī)協(xié)作運(yùn)輸?shù)聂敯糗壽E跟蹤控制方法。

2 問(wèn)題建模

本文多無(wú)人直升機(jī)的協(xié)作搬運(yùn)系統(tǒng)由N架無(wú)人直升機(jī)、載荷以及用于連接載荷與直升機(jī)的繩索組成，其模型如圖1所示。此懸掛載荷動(dòng)力學(xué)方程可以用以下公式來(lái)表示[7,12]：

圖1 多無(wú)人直升機(jī)協(xié)作搬運(yùn)系統(tǒng)模型Fig.1 Cooperative handling system with MUHs.

其中，mL是負(fù)載的質(zhì)量，g=[0,0,g0]T是重力加速度，=[xL,y L,zL]T是在東北地（North-East-Down）慣性坐標(biāo)下載荷的軌跡矢量。TL∈R3為4架無(wú)人直升機(jī)作用在物體上的合力。

無(wú)人直升機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型可以如下形式表示[2]：

式中：

其中，N是無(wú)人直升機(jī)的數(shù)量，無(wú)人直升機(jī)i的內(nèi)部狀態(tài)變量包括位移=[xi,yi,zi]T，速度Vi=[Vxi,V yi,Vzi]T，姿態(tài)角?i=[? i,θ i,φi]T以及姿態(tài)角速度Θi=[pi,qi,ri]T。Γ i，Mai=[Li,M i,Ni]T是推力和轉(zhuǎn)動(dòng)力矩矢量；mi為無(wú)人機(jī)的質(zhì)量。Ji=d ia g(J xi,J yi,Jzi)是無(wú)人直升機(jī)i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；Ri為無(wú)人直升機(jī)的機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，H i為無(wú)人直升機(jī)的姿態(tài)坐標(biāo)系到角速率坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；TL i,Mbi為負(fù)載對(duì)無(wú)人直升機(jī)i產(chǎn)生的作用力和力矩。并且

式中，PHi=[0,0,lHi]T，其中l(wèi)Hi是吊掛點(diǎn)到無(wú)人直升機(jī)i質(zhì)心的直線距離；

本文將無(wú)法測(cè)量的Fpi和Fai分別視為集總干擾，并由下面設(shè)計(jì)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)/干擾估計(jì)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。

但在協(xié)作運(yùn)輸模型中，需要對(duì)拉力TLi進(jìn)行解析計(jì)算。無(wú)人直升機(jī)i與繩索i之間的約束可以用以下公式來(lái)描述：

式中，Li=Xi1-XL是從載荷指向無(wú)人直升機(jī)i的方向矢量；li是繩索i的標(biāo)稱長(zhǎng)度。

根據(jù) Udwadia-Kalaba 方法[14]，可以保證(Li,li)=0。但是由于數(shù)值積分誤差的存在，gi(Li,li) ≠0且g˙i(Li,li) ≠0。為了解決數(shù)值積分問(wèn)題，通常會(huì)運(yùn)用Baumgarte 方法[15]。因此，約束方程可以清楚地表示為：

其中，(·)+為Moore-Penrose 廣義逆；α和β是反饋增益；au是在無(wú)視拉力的情況下，無(wú)人直升機(jī)和載荷的無(wú)約束加速度。

3 基于MLPNN 估計(jì)器的軌跡控制算法

本節(jié)設(shè)計(jì)了基于MLPNN 的軌跡控制算法，并基于李雅普諾夫理論對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)器

在非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其在一定條件下的逼近能力而被廣泛應(yīng)用。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有很多種，比如徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Radial Basis Function Neural Networks, RBFNN）和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Wavelet Neural Network）。由于RBFNN具有在任意精度范圍內(nèi)逼近任意光滑非線性函數(shù)的固有特性，本文引入RBFNN 來(lái)處理未知函數(shù)。為了減少計(jì)算負(fù)擔(dān)，利用最小學(xué)習(xí)參數(shù)（Minimal Learning Parameter, MLP）技術(shù)來(lái)估計(jì)理想權(quán)值向量的最大范數(shù)[16-19]。RBFNN 的核心可以由下述引理1 進(jìn)行概括。

引理1[18-20].對(duì)于給定連續(xù)有界函數(shù)f(X) ，它的初值為零，即f(0) =0 ，利用連續(xù)函數(shù)分離技術(shù)和RBFNN 逼近技術(shù)，則由RBFNN 輸入X=[x1,x2,....,xn]T∈Rn與輸出y=W*Th(X)∈Rn之間的映射關(guān)系，可得：

式中：?＞0 表示估計(jì)誤差，其上界為M?，為權(quán)重向量，h(X) =[h1(X),h2(X),...,hpn(X)]T∈Rpn，n為輸入向量維數(shù)，p為權(quán)重向量維數(shù)，pn為節(jié)點(diǎn)數(shù)，并且

式中，c=[c1,c2,...,cn]T∈Rn為中心向量；變量bj表示基函數(shù)的寬度。

由式（7）可知，可以采用RBFNN 的輸出來(lái)逼近連續(xù)有界函數(shù)f(X) ，估計(jì)誤差為?＞0 。需要注意的是標(biāo)稱權(quán)重向量*W通常是未知的，因此，w1*,w*2,...,w*pn需要適時(shí)自適應(yīng)更新。為了減少計(jì)算量，定義φ=||W*||2，用以替代標(biāo)稱權(quán)重向量W*，從而可以大幅減少RBFNN 計(jì)算量。該思路也是基于MLP 的RBFNN。

對(duì)于基函數(shù)式（8），指數(shù)函數(shù)exp(·) 是嚴(yán)格單調(diào)遞增的， 且， 故可得0＜hj(X) ≤1。因此，存在正常數(shù)，使得hj(X)≤。

3.2 軌跡控制算法

根據(jù)反步設(shè)計(jì)思路[21-25]，協(xié)作無(wú)人機(jī)軌跡控制算法可以通過(guò)如下步驟實(shí)現(xiàn)。

Step 1.定義軌跡跟蹤誤差ei1=Xi1-Xid1，其中Xid1是直升機(jī)i的飛行軌跡，則ei1是關(guān)于時(shí)間的微分。

然后我們?cè)O(shè)計(jì)軌跡控制律

其中，正定矩陣ki1=diag(k11,k12,k13)是反饋增益。

為避免出現(xiàn)“微分爆炸”問(wèn)題，設(shè)計(jì)帶有時(shí)間常數(shù)τ2＞0的DSC（11），以便求取指令信號(hào)的微分。

根據(jù)式（11），可以得到濾波誤差的微分：

注1.根據(jù)Swaroop 等[22]的研究結(jié)論，對(duì)于式（12）所描述的濾波誤差動(dòng)態(tài)ε˙i2，存在一個(gè)正常數(shù)Mi2,max＞ 0，使成立。

Step 2.定義了速度誤差ei2=Xi2-Xid2，其中Xid2由DSC 式（13）獲取。然后設(shè)計(jì)速度回路虛擬控制律。

其中，正定矩陣ki2=diag(k21,k22,k23)是反饋增益；為Fpi估計(jì)值。

根據(jù) RBFNN 逼近原理，F(xiàn)pi可由如下MLPNN 估計(jì)：

式中，W2*=[Wx*,W y*,Wz*]T為權(quán)重向量，Wx*、Wy*和Wz*為理想權(quán)重；h2(Xi2) =[h2x(Xi2),h2y(Xi2),h2z(Xi2)]T為高斯基函數(shù)；Xi2為估計(jì)器的輸入；逼近誤差滿足為正常數(shù)。

為避免傳統(tǒng)權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)更新律可能導(dǎo)致的MLPNN 在學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)瞬態(tài)高頻震蕩的問(wèn)題，構(gòu)建速度回路MLPNN 狀態(tài)/干擾估計(jì)器[20]：

式中，η2=[η2x,η2y,η2z]T，η2x＞ 0，η2y＞ 0，η2z＞0為待設(shè)計(jì)的估計(jì)器增益，是狀態(tài)估計(jì)誤差。

同時(shí)，設(shè)計(jì)新型權(quán)重向量自適應(yīng)更新律：

式中，Γ2=diag(Γ2x,Γ2y,Γ2z)為自適應(yīng)增益矩陣；σ2=diag(σ2x,σ2y,σ2z)為待調(diào)參數(shù)。

注2.通過(guò)構(gòu)建MLPNN 狀態(tài)/干擾估計(jì)器，對(duì)無(wú)法測(cè)量的拉力進(jìn)行準(zhǔn)確重構(gòu)。速度的估計(jì)誤差，對(duì)權(quán)重向量的估計(jì)（式（15））起主要作用，這樣就使傳統(tǒng)權(quán)重更新律依賴于控制跟蹤誤差ei2的問(wèn)題得以解決，將狀態(tài)/干擾估計(jì)器和控制器參數(shù)分離，使控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化。

注3.狀態(tài)估計(jì)誤差的初值可人工設(shè)置為零，避免了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在跟蹤誤差出現(xiàn)跳變時(shí)可能產(chǎn)生的瞬態(tài)高頻震蕩問(wèn)題；此外采用MLP 技術(shù)用權(quán)重向量的模替代權(quán)重向量元素，減小了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)公式（2），虛擬控制向量Ui1可以寫(xiě)成

其中，?*i,θ*i和ψ*i是期望的滾轉(zhuǎn)角，俯仰角和偏航角的指令。

因此，

Step 3.定義姿態(tài)角誤差ei3=Xi3-Xid3。然后設(shè)計(jì)虛擬姿態(tài)控制律

其中，ki3=diag(k31,k32,k33)是反饋增益。

Step 4.定義角速度跟蹤誤差ei4=Xi4-，其中，通過(guò)DSC（21）得到。然后建立無(wú)人直升機(jī)理想控制律。

其中，ki4=diag(k41,k42,k43)是反饋增益；為Fai估計(jì)值。

類似地，F(xiàn)ai可由如下MLPNN 估計(jì)：

構(gòu)建MLPNN 狀態(tài)/干擾估計(jì)器式（26），以便逼近重構(gòu)干擾Fai。

式中，η4=[η4p,η4q,η4r]T為待設(shè)計(jì)的估計(jì)器增益；是狀態(tài)估計(jì)誤差。

此外，設(shè)計(jì)權(quán)重向量自適應(yīng)更新律：

式中，Γ4=diag(Γ4p,Γ4q,Γ4r)為自適應(yīng)增益矩陣；σ4=diag(σ4p,σ4q,σ4r)為待調(diào)參數(shù)。

3.3 穩(wěn)定性分析

定理1.考慮非線性動(dòng)力學(xué)模型（2），設(shè)計(jì)控制律式（10）、（13）、（21）和（24），DSC 式（11）、（19）和（22），狀態(tài)/干擾估計(jì)器式（15）和（26），以及自適應(yīng)更新律式（16）和（27），則對(duì)給定連續(xù)光滑軌跡指令信號(hào)，通過(guò)選取合適的參數(shù)?？纱_保所有的誤差信號(hào)eij,j=1,2,3,4和εi,i=1,2,3,4,j=2,4都一致最終有界。

證.以下分兩步對(duì)上述定理進(jìn)行證明。

（1）首先，求取系統(tǒng)誤差信號(hào)eij,j=1,2,3,4和的微分。

同理可得：

其中，干擾估計(jì)誤差：

（2）選取如下李雅普諾夫函數(shù)，對(duì)定理1 進(jìn)行證明。

則由式（12）、式（20）、式（23）和式（29）可求出李雅普諾夫函數(shù)前兩項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)。

由狀態(tài)估計(jì)誤差式（32）和式（33）可求出李雅普諾夫函數(shù)第三項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)。

則

又由Young 不等式，可將式（38）進(jìn)一步整理為：

記

設(shè)計(jì)控制參數(shù)滿足以下條件：

則不等式（39）可寫(xiě)成：

式中，μ=min{μ1,μ2,μ3,μ4}。

因此，當(dāng)μ＞Ω/V，有＜0。即通過(guò)合適的控制參數(shù)選取，可以確保所有系統(tǒng)誤差最終一致有界。證畢。

4 飛行仿真校驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，本節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真。本文采用文獻(xiàn)[2]中直升機(jī)的物理參數(shù)。仿真中，控制器相關(guān)參數(shù)選取如下。

直升機(jī)參數(shù)：N=4，L=10，lHi=1，懸掛物重mL=100，無(wú)人機(jī)質(zhì)量mi=500，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji=diag(210,220,210)；

反饋增益：ki1=diag(3,3,3)，ki2=diag(6,6,6)，ki3=diag(12,12,12)，ki4=diag(25,25,25)；DSC 時(shí)間常數(shù)：τ2=0.1，τ3=0.01，τ4=0.01。

MLPNN 參數(shù)：pn=500；ci=0,i=0,1,...,n；b j,j=1,2,...,pn；η2= 90 ×diag(1,1,1)，Γ2= 2 ×diag (1,1,1)，σ2=0.5 ×diag(1,1,1)，η4=diag(100,70,70)，Γ4= 20 ×diag(1,1,1)，σ4=diag(20,0.02,0.02)。

圖2給出了多無(wú)人直升機(jī)協(xié)作搬運(yùn)的三維軌跡。可以直觀地看出飛機(jī)能夠很好地跟蹤給定的軌跡指令，完成預(yù)期目標(biāo)將負(fù)載運(yùn)往目的地。

圖2 多無(wú)人直升機(jī)協(xié)作搬運(yùn)的三維軌跡結(jié)果Fig.2 3D trajectory results of cooperative MUHs system.

圖3將3 個(gè)軸上的軌跡詳細(xì)的描繪出來(lái)。從X軸上只能看到第1、第3 和第4 架飛機(jī)的軌跡曲線，說(shuō)明負(fù)載、第2 架飛機(jī)和第4 架飛機(jī)在同一位置。從Y軸上同樣只能看到3 條軌跡曲線，說(shuō)明負(fù)載、第1 架飛機(jī)和第3 架飛機(jī)在同一位置。從Z軸上只能看到兩條軌跡曲線，4 架飛機(jī)的軌跡曲線重合為一條曲線，說(shuō)明4 架飛機(jī)位于同一高度。所以飛機(jī)的位置是第1 架飛機(jī)在前，第3架飛機(jī)在后，第2 架和第4 架飛機(jī)在中間分別位于負(fù)載兩側(cè)，從而印證了三維軌跡結(jié)果。此外，通過(guò)軌跡數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算出來(lái)的三軸平均相對(duì)誤差僅有0.2%。圖4為無(wú)人直升機(jī)1 在三軸上的速度曲線，可以看到實(shí)際速度能夠很好地跟蹤速度指令。除了起飛時(shí)三軸上的速度都變化，其他時(shí)候X軸上的速度保持在1m/s，Z軸上的速度也保持不變。由于飛機(jī)在Y軸上不斷變化方向，所以速度也在不停地變化。圖5～6 分別是無(wú)人直升機(jī)1 的姿態(tài)角和角速度曲線，只有在起飛時(shí)才會(huì)變化，其他時(shí)候保持不變。

圖3 多無(wú)人直升機(jī)詳細(xì)的軌跡曲線Fig.3 Trajectory results of MUHs

圖4 無(wú)人直升機(jī)1 的速度曲線Fig.4 Velocity results of UH1

圖5 無(wú)人直升機(jī)1 的姿態(tài)角曲線Fig.5 Attitude angle curve of UH1

圖6 無(wú)人直升機(jī)1 的角速度曲線Fig.6 Angular velocity curve of UH1

圖7～8 分別為無(wú)人直升機(jī)1 的速度和角速度的集總擾動(dòng)曲線?？梢钥吹綌_動(dòng)值很小，對(duì)系統(tǒng)影響不大。圖9給出了協(xié)作搬運(yùn)系統(tǒng)的繩索拉力。在絕大多數(shù)狀態(tài)下，拉力平穩(wěn)無(wú)波動(dòng)，這意味著無(wú)人直升機(jī)與載荷之間的繩索始終保持張緊狀態(tài)。

圖7 無(wú)人直升機(jī)1 的速度集總擾動(dòng)曲線Fig.7 Velocity lumped disturbance curve of UH1

圖8 無(wú)人直升機(jī)1 的角速度集總擾動(dòng)曲線Fig.8 Angular velocity lumped disturbance curve of UH1

圖9 協(xié)作搬運(yùn)系統(tǒng)的拉力Fig.9 Tension of cooperative handling system

5 結(jié) 論

本文對(duì)多無(wú)人直升機(jī)協(xié)作搬運(yùn)的魯棒控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。首先，構(gòu)建無(wú)人直升機(jī)的6 自由度仿射非線性動(dòng)力學(xué)模型和繩索懸掛運(yùn)輸?shù)膭?dòng)力學(xué)模型，為研究非線性控制設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。然后將懸掛拉力視為集總擾動(dòng)分量，通過(guò)狀態(tài)/擾動(dòng)在線估計(jì)器進(jìn)行重構(gòu)。結(jié)合MLPNN 狀態(tài)/干擾在線估計(jì)器和 DSC 技術(shù)，設(shè)計(jì)了一種基于MLPNN 狀態(tài)/干擾估計(jì)器的協(xié)作搬運(yùn)軌跡控制算法。最后，利用仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制算法有效的跟蹤性能。