王云潤(rùn)，喬高秀

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756)

0 引言

金融資產(chǎn)的波動(dòng)率是衡量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)，在資產(chǎn)的定價(jià)和分配、風(fēng)險(xiǎn)管理和貨幣政策制定方面都起著重要作用。因此，對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)在金融計(jì)量學(xué)研究中受到了極大關(guān)注。Bollerslev［1］提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型，該模型能捕捉到波動(dòng)率聚集效應(yīng)等，但其估計(jì)大多基于日數(shù)據(jù)。隨著對(duì)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的可獲取，Andersen 等［2］提出將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)作為對(duì)高頻波動(dòng)率的度量，以便更好地觀測(cè)和評(píng)估波動(dòng)率。為了刻畫已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性，Corsi［3］引入異質(zhì)性自回歸(HAR)模型，該模型由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、估算容易在研究界被廣泛使用。Byun 等［4］將風(fēng)險(xiǎn)中性偏度直接作為解釋變量加入HAR 模型，發(fā)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)中性偏度包含已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)和隱含波動(dòng)率中沒有包含的信息，這些信息有助于波動(dòng)率預(yù)測(cè)。其中，隱含波動(dòng)率是由期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格倒推出的波動(dòng)率，反映了投資者對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)未來波動(dòng)率的預(yù)期。Mei 等［5］將已實(shí)現(xiàn)偏度加入HAR 模型中，發(fā)現(xiàn)已實(shí)現(xiàn)偏度對(duì)未來的波動(dòng)率有明顯的負(fù)面影響。樣本外結(jié)果表明，已實(shí)現(xiàn)偏度有助于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，但無法提高短期預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。鄭振龍等［6］在比較偏度和峰度對(duì)波動(dòng)率的影響時(shí)，發(fā)現(xiàn)期權(quán)隱含偏度所包含的信息要多于基于歷史信息的已實(shí)現(xiàn)偏度，對(duì)波動(dòng)率的影響更顯著。

在金融預(yù)測(cè)領(lǐng)域，傳統(tǒng)研究假定經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但是，受到政治、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境等多方面因素的影響，金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)可能因?yàn)橐恍O端事件引起結(jié)構(gòu)突變，使得時(shí)間序列的數(shù)據(jù)特征受到影響，從而導(dǎo)致參數(shù)不穩(wěn)定性和模型不確定性。在數(shù)據(jù)存在結(jié)構(gòu)突變時(shí)，通常使用突變后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而數(shù)據(jù)有限使得模型存在較高的不確定性。因此，金融預(yù)測(cè)研究的最大挑戰(zhàn)來自于考慮市場(chǎng)發(fā)生結(jié)構(gòu)突變時(shí)存在預(yù)測(cè)模型的不確定性和估計(jì)參數(shù)的不穩(wěn)定性。Pesaran 等［7］認(rèn)為這可能不會(huì)使均方預(yù)測(cè)誤差最小化，故在參數(shù)不確定性建模時(shí)，Dangl 等［8］和Zhu 等［9］使用時(shí)變參數(shù)模型，允許參數(shù)隨時(shí)間變化;Wang 等［10］提出時(shí)間加權(quán)最小二乘回歸方法，通過為距離預(yù)測(cè)時(shí)間越近的樣本賦予越高的權(quán)重來解決參數(shù)不穩(wěn)定性。Zhang 等［11］繼Pesaran 等［7］和Pesaran 等［12］之后，使用窗口平均預(yù)測(cè)方法(AveW)，將在不同估計(jì)窗口長(zhǎng)度上計(jì)算的同一模型進(jìn)行平均，通過與其他預(yù)測(cè)方法比較發(fā)現(xiàn)，該方法能提高股票收益預(yù)測(cè)效果，在參數(shù)不穩(wěn)定和結(jié)構(gòu)突變情況下具有簡(jiǎn)單而可靠的特點(diǎn)。

盡管已有文獻(xiàn)考慮到將偏度引入HAR-RV 模型，但尚無研究系統(tǒng)地比較過不同偏度指標(biāo)所包含的信息差異和對(duì)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力。本文中主要探討風(fēng)險(xiǎn)中性偏度，基于日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)和日數(shù)據(jù)的不同偏度指標(biāo)對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)預(yù)測(cè)能力的信息差異，從這一新的角度對(duì)已有研究進(jìn)行補(bǔ)充。在預(yù)測(cè)方法上，首先基于單個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)方法［13］預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)。考慮到市場(chǎng)結(jié)構(gòu)突變導(dǎo)致的模型不確定性和參數(shù)不穩(wěn)定性，且已有研究提出基于時(shí)間維度的改進(jìn)方法來提高收益率預(yù)測(cè)效果［10-11］，因此將這一思想應(yīng)用到數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法中，充分考慮金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的時(shí)間維度特征，對(duì)距離預(yù)測(cè)點(diǎn)越近的樣本給予更多的關(guān)注，并與傳統(tǒng)的集成學(xué)習(xí)方法［14］相比較，從而提出具有更高預(yù)測(cè)精度的集成學(xué)習(xí)方法。

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第2 節(jié)介紹各種偏度指標(biāo)和擴(kuò)展模型以及研究方法;第3 節(jié)為實(shí)證結(jié)果，包括相關(guān)性分析、參數(shù)估計(jì)結(jié)果、每個(gè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果等;第4 節(jié)為穩(wěn)健性檢驗(yàn)，通過調(diào)整訓(xùn)練集長(zhǎng)度來驗(yàn)證方法是否具有穩(wěn)健性;第5 節(jié)為結(jié)論。

1 方法和模型

1.1 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)和波動(dòng)率的偏度指標(biāo)

根據(jù)Andersen 等［2］的方法，通過將相應(yīng)的高頻日內(nèi)平方收益相加得出每日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)，計(jì)算式如下:

其中:rt，i表示第t 天，第i 次交易的對(duì)數(shù)收益。

Andersen 等［15］證明了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)有以下極限結(jié)果:

其中:Δps=ps-ps-表示在s 時(shí)刻跳的大小。

根據(jù)Barndorff-Nielsen 等［16］的研究，將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)分解為已實(shí)現(xiàn)上半變差和已實(shí)現(xiàn)下半變差，定義如下:

并且證明了:

其中:I(*)表示示性函數(shù)，易知已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)RVt=。

使用4 種不同的方法來刻畫波動(dòng)率偏度:

1)參考鄭振龍等［6］的研究，利用m 個(gè)交易日的日對(duì)數(shù)收益率滾動(dòng)計(jì)算已實(shí)現(xiàn)偏度(RSt)，計(jì)算式如下:

其中:rt為第t 天的日對(duì)數(shù)收益率;為m 個(gè)交易日的收益率均值，m 取值為22。

2)根據(jù)Chen 等［17］的研究，基于日收益率滾動(dòng)計(jì)算負(fù)偏度(NRSt)為:

其中:rt定義和m 的取值同上。

3)參考Amaya 等［18］的研究，基于日內(nèi)高頻收益計(jì)算已實(shí)現(xiàn)偏度為:

Barndorff-Nielsen 等［16］和Mathieu 等［19］的研究結(jié)果表明:

根據(jù)Feunou 等［20］提供的理論支持，可將已實(shí)現(xiàn)上半變差與已實(shí)現(xiàn)下半變差之差看作是上述已實(shí)現(xiàn)偏度(INTRSkewt)的一種度量，記為波動(dòng)率偏度(RSVt)。計(jì)算如下:

當(dāng)RSVt＜0 時(shí)，收益率分布是左偏的;當(dāng)RSVt＞0時(shí)，則分布是右偏的。

4)芝加哥期權(quán)交易所(CBOE)于2011 年推出風(fēng)險(xiǎn)中性偏度指數(shù)，記為QSt，計(jì)算如下:

其中:Skt=，表示風(fēng)險(xiǎn)中性偏度;為S＆P 500 對(duì)數(shù)收益;μ=，σ=分別是其在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q 下的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，其具體計(jì)算方式參考文獻(xiàn)［21］。可以看出，RSt越小，左偏越明顯;而NRSt和QS 越大，左偏越明顯。

1.2 模型設(shè)定

使用由Corsi［3］提出的HAR 模型研究已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的預(yù)測(cè)。由于該模型能很好地刻畫資產(chǎn)收益波動(dòng)率中的長(zhǎng)記憶特性，且模型僅包含代表日、周和月效應(yīng)的3 個(gè)變量，易于處理，因此該模型是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)預(yù)測(cè)最受歡迎的模型。本文中采用對(duì)數(shù)回歸，模型設(shè)定為:

為了比較以上幾種偏度指標(biāo)包含的信息對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)預(yù)測(cè)的差異性和準(zhǔn)確性，分別將上述4種偏度指標(biāo)加入HAR-RV 模型，設(shè)定如下:

1.3 研究方法

1.3.1 支持向量回歸

傳統(tǒng)的線性回歸方法只要真實(shí)值與擬合值不相等就計(jì)算誤差，而在支持向量回歸［22］方法下，僅當(dāng)二者之差的絕對(duì)值大于某個(gè)正數(shù)ε 時(shí)才計(jì)算損失，相當(dāng)于以擬合值為中心，構(gòu)建了一個(gè)寬度為2ε 的間隔帶。若訓(xùn)練樣本落入間隔帶中，則認(rèn)為是預(yù)測(cè)正確。

支持向量回歸的求解表示為:

其中:C 為正則化常數(shù);lε為ε-不敏感損失函數(shù)，表示為:

通過拉格朗日乘子法和對(duì)偶問題可以得到SVR 的解為:

若考慮到特征映射形式，則對(duì)應(yīng)的核函數(shù)SVR 解形式為:

其中κ(xi，xj)=φ(xi)Tφ(xj)為核函數(shù)，φ(x)表示將x 映射后的特征向量。本文中選取的核函數(shù)為徑向基(RBF)核函數(shù)，其定義為κ(x，z)=。采用五折交叉驗(yàn)證法和網(wǎng)格搜索法相結(jié)合來選取最優(yōu)參數(shù)組合［23］。

采用同模型(11)—(15)一致的輸入變量和輸出變量構(gòu)建SVR 模型。以模型(11)為例，具體形式如下:

其中:x·=［(ln(RVd，·)，ln(RVw，·)，ln(RVm，·)］T。

1.3.2 帶懲罰項(xiàng)的線性回歸

在普通最小二乘回歸基礎(chǔ)上，引入帶懲罰項(xiàng)的線性回歸來解決簡(jiǎn)單回歸分析可能產(chǎn)生的過擬合問題，即在最小化損失函數(shù)中加入懲罰函數(shù)φ(β)，形式為:

根據(jù)φ(β)的不同，采用嶺回歸(ridge regression)和彈性網(wǎng)絡(luò)方法(elasticnet)［24］，φ(β)形式分別表示為:

其中:λ 為正則化參數(shù)，控制著模型的復(fù)雜度，λ 過大容易欠擬合，太小容易過擬合;α 為0～1 的正數(shù)，控制著L1 和L2 范數(shù)的比重;當(dāng)α=1 時(shí)，此時(shí)彈性網(wǎng)絡(luò)退化為套索回歸;當(dāng)α=0 時(shí)，則退化為嶺回歸。由此可見彈性網(wǎng)絡(luò)結(jié)合了嶺回歸和套索回歸的共同特點(diǎn)。

1.3.3 集成學(xué)習(xí)

集成學(xué)習(xí)先通過已有的學(xué)習(xí)算法從訓(xùn)練集中訓(xùn)練得到個(gè)體學(xué)習(xí)器，再將若干個(gè)這樣的個(gè)體學(xué)習(xí)器通過某種方法結(jié)合，最終得到一個(gè)強(qiáng)學(xué)習(xí)器。根據(jù)個(gè)體學(xué)習(xí)器之間是否存在強(qiáng)依賴關(guān)系，分為串行生成的序列化方法和可同時(shí)生成的并行化方法，二者的代表方法分別是Boosting 和Bagging。

1)Adaboost 方法

本文中采用Boosting 族算法中最具代表性的Adaboost 方法［25］，并在處理回歸問題時(shí)用平方誤差來衡量誤差率。在最后進(jìn)行個(gè)體學(xué)習(xí)器集成時(shí)，用各個(gè)體學(xué)習(xí)器的預(yù)測(cè)結(jié)果乘以各自權(quán)重再求和作為最終結(jié)果。算法過程如下:

步驟1初始化訓(xùn)練數(shù)據(jù)的分布權(quán)重:D1=(w11，w12，…，w1i，…，w1m)，w1i=，i=1，2，…，m;

步驟2使用某個(gè)學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練具有權(quán)重D1的訓(xùn)練集，得到第1 個(gè)基本學(xué)習(xí)器;

步驟3計(jì)算基本學(xué)習(xí)器T1(x)在訓(xùn)練集上的預(yù)測(cè)誤差率e1:

Ⅰ)計(jì)算訓(xùn)練集上的最大誤差:E1=，i=1，2，…，m。

Ⅱ)采用平方誤差，計(jì)算每個(gè)樣本的相對(duì)誤差e1i=，i=1，2，…，m。

Ⅲ)計(jì)算回歸預(yù)測(cè)誤差率:e1=。

步驟4計(jì)算基本學(xué)習(xí)器T1(x)的投票權(quán)重α1，并更新第2 輪訓(xùn)練集的權(quán)重D2:

步驟5對(duì)第2 輪權(quán)重樣本再次訓(xùn)練得到第2個(gè)基本學(xué)習(xí)器，重復(fù)上述過程N(yùn) 次，得到N 個(gè)基本學(xué)習(xí)器T1(x)，T2(x)，…，TN(x)和相應(yīng)的權(quán)重α1，α2，…，αN，則:

其中:T(x)是所有αnTn(x)的中位數(shù)(n=1，2，…，N)。

Adaboost 方法的本質(zhì)是不改變訓(xùn)練數(shù)據(jù)，改變訓(xùn)練數(shù)據(jù)權(quán)重分布，每一輪訓(xùn)練提高前一輪誤差大的樣本權(quán)重;最后加權(quán)平均得到預(yù)測(cè)值，誤差率越低的基本學(xué)習(xí)器權(quán)重越高。

2)Bagging 方法

Bagging 方法［26］是并行式集成學(xué)習(xí)方法中最著名的代表。采用自助采樣法，即從包含n 個(gè)樣本的數(shù)據(jù)集中隨機(jī)取出一個(gè)樣本放在采樣集中，再將該樣本放回?cái)?shù)據(jù)集，使之在下次采樣時(shí)仍有機(jī)會(huì)被選中，這樣隨機(jī)放回采樣m 次，然后重復(fù)N次該過程，即可得到N 個(gè)含有m 個(gè)訓(xùn)練樣本的采樣集;對(duì)每個(gè)采樣集訓(xùn)練得到一個(gè)基本學(xué)習(xí)器，對(duì)于分類問題用簡(jiǎn)單投票法，對(duì)于回歸問題用簡(jiǎn)單平均法。

3)窗口平均預(yù)測(cè)法

除上述2 種集成方法外，本文中采用窗口平均預(yù)測(cè)方法(AveW)［7，11］。該方法可以看作是固定取樣的Bagging。Bagging 集成預(yù)測(cè)方法在獲得采樣集時(shí)，由于自助采樣法的隨機(jī)性，對(duì)于時(shí)間序列預(yù)測(cè)來說可能并不是最優(yōu)選擇。而AveW 方法在不同估計(jì)窗口上擬合相同模型，并對(duì)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果求平均。即終止日期相同，根據(jù)起始日期的不同獲得若干個(gè)窗口長(zhǎng)度不同的訓(xùn)練集，在這些訓(xùn)練集上訓(xùn)練得到基本學(xué)習(xí)器，將這些基本學(xué)習(xí)器的預(yù)測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單平均作為最終結(jié)果。窗口平均預(yù)測(cè)法的優(yōu)勢(shì)是充分考慮數(shù)據(jù)在縱向時(shí)間維度上的特征，時(shí)間越近的樣本利用率越高，信息挖掘越充分。

以SVR 的窗口平均為例(記為 SVR +AveW)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為:將給定的訓(xùn)練集作為最長(zhǎng)的觀測(cè)窗口W=，其中m是訓(xùn)練集長(zhǎng)度，xt與2.3.1 部分提到的一致。首先，將W 分為N 個(gè)訓(xùn)練窗口:

其中:wi=wmin+，wmin為給定的最小的訓(xùn)練窗口。Wi由最小窗口逐步遞增到最大窗口。

然后，在每個(gè)Wi訓(xùn)練窗口上利用SVR 進(jìn)行擬合，得到N 個(gè)擬合結(jié)果，i=1，2，…，N。則SVR+AveW 預(yù)測(cè)結(jié)果為:

傳統(tǒng)的OLS 背后假定經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，Zhang 等［11］在預(yù)測(cè)股票收益率時(shí)考慮市場(chǎng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生突變時(shí)模型的不確定性和參數(shù)的不穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)窗口平均預(yù)測(cè)方法能有效提高股票收益率的預(yù)測(cè)效果。與Zhang 等［11］的研究不同，本文中分別在線性O(shè)LS、帶懲罰項(xiàng)的線性回歸和非線性SVR 方法預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上采用窗口平均集成預(yù)測(cè)方法來研究已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)預(yù)測(cè)。采用固定窗口大小的滾動(dòng)估計(jì)，對(duì)于每個(gè)估計(jì)窗口，都用窗口平均預(yù)測(cè)法來向前一步預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)。

2 實(shí)證分析

2.1 描述性統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)選取標(biāo)準(zhǔn)普爾500 指數(shù)從2000-02-04 到2019-12-31 共4 983 個(gè)交易日數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來自https://realized.oxford-man.ox.ac.uk/，風(fēng)險(xiǎn)中性偏度數(shù)據(jù)來源于芝加哥期權(quán)交易所網(wǎng)站。由于QS 的數(shù)值全部大于100，由式(10)可知，式中S 均小于0，因此QS 實(shí)際上刻畫的是左偏風(fēng)險(xiǎn)。由于左偏風(fēng)險(xiǎn)與市場(chǎng)崩盤風(fēng)險(xiǎn)更直接密切相關(guān)，也為了與QS 保持一致，本文中對(duì)其余3 個(gè)偏度指標(biāo)進(jìn)行處理，提取RS 和RSV 中小于0 的部分并取絕對(duì)值，大于0 的部分賦值為0;對(duì)NRS 中小于0 的部分賦值為0，保留其大于0 的部分。RS-、RSV-和NRS+分別表示按上述處理之后的偏度;RS、RSV和NRS 分別表示未經(jīng)處理的偏度。

表1 給出了處理后的各個(gè)偏度指標(biāo)和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)自然對(duì)數(shù)的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。RS-和NRS+均為基于每日收益的偏度指標(biāo)，可以看出，二者在數(shù)量級(jí)上相比于另外2 個(gè)指標(biāo)差別不是很大，差異主要由指標(biāo)本身計(jì)算公式引起，即由中心化調(diào)整和前面系數(shù)的調(diào)整引起，在數(shù)據(jù)特征上均呈現(xiàn)右偏厚尾;RSV-的量級(jí)由于基于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)數(shù)據(jù)本身的原因，仍然是右偏厚尾，而QS 則是右偏瘦尾。由JB統(tǒng)計(jì)量可知，所有指標(biāo)均不服從正態(tài)分布。

表1 各個(gè)變量的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

通過表2 得知，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)與4 個(gè)偏度指標(biāo)均存在一定相關(guān)性，但相關(guān)性方向不盡相同，證明偏度指標(biāo)所包含的信息也存在一定的差異。

表2 各個(gè)變量間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)

2.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表3 給出了式(11)—(15)的最小二乘估計(jì)結(jié)果，在進(jìn)一步放寬顯著性水平和有效位數(shù)的前提下(即可近似認(rèn)為在10%顯著性水平下RS-對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)有顯著影響)，可以確定各個(gè)偏度指標(biāo)對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)預(yù)測(cè)確實(shí)有顯著性影響，但QS 的回歸系數(shù)與其他3 個(gè)偏度指標(biāo)的回歸系數(shù)方向不同，因此QS 對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的影響與基于歷史數(shù)據(jù)的3個(gè)偏度指標(biāo)的影響不同，進(jìn)一步證實(shí)了各個(gè)偏度指標(biāo)包含著不同的信息。后續(xù)將考慮用不同方法來比較不同偏度指標(biāo)對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的預(yù)測(cè)能力。

表3 普通最小二乘回歸(OLS)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2.3 多種機(jī)器學(xué)習(xí)方法與波動(dòng)率預(yù)測(cè)

本文研究中，重點(diǎn)關(guān)注不同方法對(duì)樣本外已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的預(yù)測(cè)效果。因此，將前70% (3 488個(gè))的數(shù)據(jù)(2000 年2 月4 日至2014 年1 月16日)作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，用于訓(xùn)練模型;將2014 年1月17 日至2019 年12 月31 日的1 495 個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)，用于預(yù)測(cè)。采用以下2 個(gè)損失函數(shù)來評(píng)估模型的預(yù)測(cè)能力:

1)平均絕對(duì)誤差:

2)均方根誤差:

其中:T 表示樣本內(nèi)的觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù);N 是樣本外滾動(dòng)窗口的長(zhǎng)度;和RVT+i分別表示波動(dòng)率的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值。

表4 給出了OLS、Ridge、ElasticNet 和SVR 估計(jì)方法的預(yù)測(cè)誤差。由于帶懲罰項(xiàng)的線性回歸沒有表現(xiàn)出比OLS 更好的預(yù)測(cè)效果，因此表4 中集成方法只給出在基于OLS 和SVR 的Adaboost、Bagging 以及窗口平均(AveW)的預(yù)測(cè)誤差。方法上，對(duì)相同偏度的不同方法預(yù)測(cè)中，可以看到SVR的預(yù)測(cè)誤差明顯低于ElasticNet、Ridge 和OLS，說明非線性的SVR 方法優(yōu)于本文所選取的3 種線性回歸方法;在基于OLS 和SVR 的集成方法中，窗口平均預(yù)測(cè)法均有明顯提升，其中基于SVR 的窗口平均預(yù)測(cè)效果最佳。比較不同偏度的預(yù)測(cè)能力時(shí)，綜合比較各個(gè)方法得出:QS 對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的預(yù)測(cè)能力最強(qiáng)，基于日數(shù)據(jù)和日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的偏度指標(biāo)對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)預(yù)測(cè)沒有特別明顯的改善;僅將QS 加入HAR-RV 模型時(shí)，模型性能才有提升，說明QS 包含已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)中沒有的信息，并有利于預(yù)測(cè)。

表4 測(cè)試集長(zhǎng)度比例為30%時(shí)不同方法下各個(gè)偏度模型的預(yù)測(cè)誤差

2.4 MCS 檢驗(yàn)

采用MCS 檢驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)果。MCS檢驗(yàn)常用于評(píng)價(jià)不同模型的預(yù)測(cè)能力［27-28］，根據(jù)Hansen 等［29］的研究，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:

其中:模型i 與模型j 是來自模型集合M 任意2 個(gè)互異的模型;dij表示其損失差，表示模型i 與模型j 的平均損失;的自舉估計(jì)。MCS 檢驗(yàn)程序?yàn)槌跏荚O(shè)置中的每個(gè)模型分配P 值。對(duì)于給定的模型i，MCS 的P 值確定模型是否屬于MCS 的閾值置信水平，當(dāng)且僅當(dāng)≥α 時(shí)(i∈，α 為顯著性水平)，越大的模型預(yù)測(cè)能力越強(qiáng)。

表5 給出了測(cè)試集長(zhǎng)度比例為30%時(shí)的MCS檢驗(yàn)結(jié)果。MCS 檢驗(yàn)的模型集合M 分為2 種情形:①相同方法之下，5 個(gè)不同HAR 模型預(yù)測(cè)誤差所組成的模型集合(見Panel A);②相同模型之下，10 種方法的預(yù)測(cè)誤差組成的模型集合(見Panel B)。由A 部分可以看出，在2 種誤差標(biāo)準(zhǔn)下，對(duì)于單個(gè)方法而言，除了基于OLS 的Bagging方法是HAR-RV 模型最優(yōu)外，其余9 種方法均為加入風(fēng)險(xiǎn)中性偏度(QS)的結(jié)果最優(yōu)。因此，將風(fēng)險(xiǎn)中性偏度(QS)加入到HAR-RV 模型能提高模型對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的預(yù)測(cè)能力，而基于歷史信息的偏度對(duì)模型幾乎沒有提升作用;B 部分表示在2 種誤差標(biāo)準(zhǔn)下，對(duì)于不同的模型，其結(jié)果均為基于SVR 的窗口平均預(yù)測(cè)方法最優(yōu)?？梢钥闯?，MCS檢驗(yàn)結(jié)果與上述表4 的預(yù)測(cè)結(jié)果一致。

表5 測(cè)試集長(zhǎng)度比例為30%時(shí)2 種情況下的MCS 檢驗(yàn)結(jié)果

3 穩(wěn)健性檢驗(yàn)

上述結(jié)果基于測(cè)試集長(zhǎng)度占樣本總長(zhǎng)度的30%得到。為了驗(yàn)證其是否具有穩(wěn)健性，表6 給出了測(cè)試集長(zhǎng)度比例為50%時(shí)不同方法下各個(gè)偏度的預(yù)測(cè)誤差。以MAE 為衡量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，不同方法的最小誤差均出現(xiàn)在QS;以RMSE 為衡量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，QS 在OLS、Ridge、ElasticNet 這3 種方法下預(yù)測(cè)誤差小于NRS+，而其余7 種方法則是NRS+的預(yù)測(cè)結(jié)果略優(yōu)于QS。因此，綜合2 種標(biāo)準(zhǔn)可認(rèn)為QS 的結(jié)果略優(yōu)于NRS+。

表7 給出了MCS 檢驗(yàn)結(jié)果。由A 部分可以看出，以MAE 為衡量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，除SVR+Bagging、SVR+AveW 外，其余8 種方法下，均為HAR-RVQS 模型明顯優(yōu)于HAR-RV-NRS+模型;而以RMSE 為衡量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，同理可以得出，HAR-RVNRS+略優(yōu)于HAR-RV-QS，但綜合比較A 部分的2個(gè)誤差標(biāo)準(zhǔn)可知，HAR-RV-QS 模型表現(xiàn)優(yōu)越的情況居多，因此認(rèn)為當(dāng)測(cè)試集長(zhǎng)度比例為50%時(shí)，QS 的結(jié)果要略優(yōu)于NRS+。由B 部分可以看出，在2 種誤差標(biāo)準(zhǔn)下的最佳方法仍為基于SVR 的窗口平均(SVR+AveW)，MCS 檢驗(yàn)結(jié)果和表6 預(yù)測(cè)誤差結(jié)果一致。

表6 測(cè)試集長(zhǎng)度比例為50%時(shí)不同方法下各個(gè)偏度的預(yù)測(cè)誤差

表7 測(cè)試集長(zhǎng)度比例為50%時(shí)兩種情況下的MCS 檢驗(yàn)結(jié)果

續(xù)表(表7)

4 結(jié)論

研究了風(fēng)險(xiǎn)中性偏度、基于日數(shù)據(jù)和日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的偏度指標(biāo)所包含的信息差異，通過機(jī)器學(xué)習(xí)方法比較不同偏度對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的預(yù)測(cè)能力。經(jīng)實(shí)證發(fā)現(xiàn)，隨著訓(xùn)練數(shù)據(jù)的增加，風(fēng)險(xiǎn)中性偏度的預(yù)測(cè)能力逐漸增強(qiáng)，且優(yōu)于基于日數(shù)據(jù)和日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的偏度指標(biāo)。在預(yù)測(cè)方法上，非線性的支持向量回歸(SVR)優(yōu)于普通最小二乘回歸(OLS)、嶺回歸(Ridge)以及彈性網(wǎng)絡(luò)(Elastic-Net)。在對(duì)OLS 和SVR 進(jìn)行集成學(xué)習(xí)時(shí)，窗口平均預(yù)測(cè)法能明顯改善模型的預(yù)測(cè)能力，基于SVR的窗口平均預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)能力最強(qiáng)。本文的研究方法和結(jié)論對(duì)我國(guó)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理具有借鑒意義。