辛 巧，劉璐璐,2，許 璐

(1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000;2.新疆理工學(xué)院理學(xué)院，新疆阿克蘇 843100)

0 引言

趨化現(xiàn)象是自然界中常見的現(xiàn)象,它描述的是細(xì)胞或細(xì)菌對(duì)化學(xué)信號(hào)濃度梯度的定向運(yùn)動(dòng)[1-3].關(guān)于直接信號(hào)吸收的生物趨化模型

對(duì)于具有Logistic源的直接信號(hào)吸收模型

當(dāng)D(u)=1時(shí),Lankei等[7]證明了：當(dāng)μ足夠大時(shí)該模型存在全局經(jīng)典解,當(dāng)μ>0時(shí)該模型存在經(jīng)典弱解；2018年，Zheng[8]證明了：當(dāng)趨化敏感系數(shù)D(u)≥CD(u+1)m-1,CD>0,且

時(shí),該模型對(duì)于任意足夠光滑的初值都存在一個(gè)經(jīng)典的有界解.

對(duì)于間接信號(hào)吸收的生物趨化模型

對(duì)于具有間接信號(hào)吸收的擬線性趨化模型

(1)

Zheng等[11]證明了：當(dāng)n=2,D(u)≥um,S(u)≤uq,且m>max{1,2q-3}時(shí),模型(1)的解全局有界.受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),綜合文獻(xiàn)[8,10-13]的方法,文中利用能量方法證明:若δ=1,n≥3,μ>0,且

則模型(1)的解全局有界.

文中的主要結(jié)論如下：

在Ω×(0,∞)上是模型(1)的經(jīng)典解.當(dāng)D(u)和S(u)滿足條件(2),且m>max{1,2q-3},t∈(0,∞)時(shí),存在一個(gè)常數(shù)C>0,使得

注1文獻(xiàn)[11]在二維情況下討論模型(1)解的有界性,文中討論n≥3時(shí)模型(1)解的有界性.

為簡(jiǎn)單起見，對(duì)任意p>0,記Lp=Lp(Ω),L∞=L∞(Ω).

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[7]對(duì)任意φ∈C2(Ω),n∈N,有

|Δφ|≤|D2φ|2.

引理3[7]設(shè)n≥3,μ>0,(u,v,w)是趨化模型(1)的解,則對(duì)任意t∈(0,Tmax),有

||v(·,t)||L∞≤||v0||L∞,

且||v(·,t)||L∞隨時(shí)間t單調(diào)遞減.

引理4令s≥1,q≥1,假設(shè)p>0,γ∈(0,1)滿足

則存在c0,c1>0，使得對(duì)任意的u∈W1,2(Ω)∩Ls/q(Ω)，有

||u||Wp,2≤c0||u||u+c1||u||Ls/q.

2 解的全局有界性

為了證明定理1,先給出幾個(gè)必要的引理.

引理5設(shè)m>max{1,2q-3},n≥3,μ>0,則對(duì)任意p>1,β>1，模型(1)的解(u,v,w)滿足

其中

證明對(duì)趨化模型(1)的第一個(gè)方程兩邊同乘以u(píng)p-1并在Ω上積分，則有

對(duì)(5)式右端第一項(xiàng)利用Young不等式和引理3可得

對(duì)(5)式右端第二項(xiàng)用Young不等式可得

最后聯(lián)立(5)～(7)式，引理得證. 】

引理6設(shè)m>max{1,2q-3},n≥3,β>1,則對(duì)任意p>1,模型(1)的解(u,v,w)滿足

證明對(duì)模型(1)的第二個(gè)方程直接進(jìn)行計(jì)算,并分部積分可得

對(duì)(9)式右端利用引理1和Young不等式可得

由于

其中a∈(0,1).整理(9)～(12)式可得

對(duì)(13)式右端利用Young不等式和引理3可得

其中

最后,聯(lián)立(9)～(14)式，引理得證. 】

引理7設(shè)n≥3,則對(duì)任意p>1,β>1，模型(1)的解(u,v,w)滿足

證明對(duì)趨化模型(1)的第三個(gè)方程乘以wβ后運(yùn)用Young不等式可得

引理8設(shè)m>max{1,2q-3},n≥3,則對(duì)任意的t∈(0,Tmax),存在一個(gè)正常數(shù)C5使得模型(1)的解(u,v,w)滿足

證明令β>1,β

從而可以推出

進(jìn)一步可得m>2q-3.

最后整理可得

基于以上引理,即可證明定理1.

定理1的證明首先,假設(shè)(u,v,w)是模型(1)的解,則對(duì)任意的t∈(0,Tmax),存在常數(shù)C>0,由常微分方程理論和H?lder不等式可得

又由p>n時(shí)θ∈[1,∞]可得

其中φ>-1,即可證明||v(·,t)||L∞≤C.

其次,對(duì)任意p>1,若m>max{1,2q-3},D(u)和S(u)滿足條件(2),則對(duì)模型(1)的第一個(gè)方程兩邊同乘以u(píng)p-1并在Ω上積分可得

其中m≥2q-3.整理(20)式可得

令p0>max{1,m-1},并記

對(duì)(21)式右端運(yùn)用引理4可得

其中

再運(yùn)用Young不等式可得

其中

整理(22)～(24)式可得

其中λ>1,t∈(0,T).

對(duì)(25)式在(0,t)上積分可得

對(duì)任意的k∈N,若

則直接可得||u(·,t)||L∞≤C.否則,直接計(jì)算

應(yīng)用ln(1+z)≤z(z≥0),并對(duì)(26)式兩端求pk次根可得到||u(·,t)||L∞≤C.

最后,對(duì)模型(1)的第三個(gè)方程求一階線性常微分方程的解,顯然可得

||w(·,t)||L∞≤C.

從而定理1得證.】