楊衍婷

(咸陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西咸陽(yáng) 712000)

近年來(lái)，伴隨著計(jì)算機(jī)和信息科學(xué)的飛速發(fā)展，矩陣分析理論的應(yīng)用日益廣泛，而矩陣求導(dǎo)是矩陣分析理論中的重要問(wèn)題，特別是常見(jiàn)的數(shù)量函數(shù)對(duì)矩陣變量的求導(dǎo)問(wèn)題,在研究?jī)?yōu)化等問(wèn)題時(shí)起到關(guān)鍵作用。文獻(xiàn)[1-4]討論了矩陣求導(dǎo)的一些方法。在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，具體分析了利用矩陣微分的性質(zhì)以及微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求數(shù)量函數(shù)對(duì)矩陣變量的導(dǎo)數(shù)，與按照矩陣導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)相比較，運(yùn)算更加簡(jiǎn)單，可操作性更強(qiáng)。

1 矩陣導(dǎo)數(shù)和微分的定義

定義1設(shè)f(X)是以矩陣X=(xij)m×n為自變量的元mn函數(shù)，且

定義2設(shè)矩陣F(X)=(fij(X))s×t的元素fij(X)(i=1,2,…,s;j=1,2,…,t)都是矩陣變量X=(xij)m×n的函數(shù)，規(guī)定F(X)對(duì)矩陣變量X的導(dǎo)數(shù)為

由于矩陣可以拉伸成向量，即若

X=(xij)m×n，則

在文獻(xiàn)[4]中，矩陣值函數(shù)的微分定義是將函數(shù)矩陣和自變量矩陣?yán)鞛橄蛄俊?/p>

定義3設(shè)矩陣值函數(shù)f(X)=(fij(X))s×t，

以向量X=(ξ1,ξ2,…,ξn)T為自變量，f可微，則

當(dāng)函數(shù)自變量為矩陣時(shí)，繼續(xù)采用文獻(xiàn)[4]中的方法，將自變量矩陣?yán)鞛橄蛄?，而?dāng)函數(shù)值為矩陣時(shí)，采用定義3，函數(shù)矩陣各個(gè)分量元素分別微分，而不將其拉伸為向量，便于數(shù)量函數(shù)對(duì)矩陣變量求導(dǎo)計(jì)算。

2 矩陣導(dǎo)數(shù)和微分的相關(guān)結(jié)論

根據(jù)矩陣微分的定義，若是U,V矩陣值函數(shù)，A是常量矩陣，則

基于文獻(xiàn)[4]，按照定義3，總結(jié)出以下結(jié)論。

命題1設(shè)矩陣A=(aij)m×n，n維列向量X=(ξ1,ξ2,…,ξn)T，微分df=AdX，則

從而根據(jù)定義2可得。

命題2矩陣A=(aij)m×n，X=(xij)m×n，若微分

常用的以矩陣作為自變量的數(shù)量函數(shù)主要有3種：（1）二次函數(shù)；（2）跡函數(shù)；（3）行列式函數(shù)。為了對(duì)這3 種數(shù)量函數(shù)關(guān)于矩陣變量求導(dǎo)，給出以下命題。

命題3F是非奇異矩陣函數(shù)，則微分

證明 根據(jù)

可得dF-1=-F-1(dF)F-1。

命題4是非奇異矩陣函數(shù)，則微分，

其中，|F|是F的行列式。

證明參閱文獻(xiàn)[4]，根據(jù)定義1，定義3可得。

3 應(yīng)用舉例

例1設(shè)列向量x∈Rn，若A∈Rn×n，則

4 結(jié)語(yǔ)

分析總結(jié)了利用矩陣微分的性質(zhì)以及矩陣微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求數(shù)量函數(shù)對(duì)矩陣變量的導(dǎo)數(shù)，大大簡(jiǎn)化了按照矩陣定義求導(dǎo)的過(guò)程，降低了矩陣求導(dǎo)的難度，并且使得矩陣求導(dǎo)具有了較強(qiáng)的可操作性。