高采文，張志強，盧永紅，趙深淼

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009)

在人口模型的研究中，微分方程常用來描述人口的動態(tài)變化，如1798 年提出的連續(xù)Malthus 人口模型[1]為：

其中Pt表示t時刻人口的數(shù)量，r表示人口的增長率。

這些模型大多是確定性的，為了解和控制人口的數(shù)量及分布，預(yù)測人口對外界環(huán)境變化的反映，需要建立體現(xiàn)噪聲影響的人口動態(tài)系統(tǒng)。為此，一些隨機人口模型被提出并應(yīng)用于人口動態(tài)行為的研究。但大多數(shù)由隨機微分方程描述的人口模型，噪聲項實際上是一個均值為零，方差趨于無窮的正態(tài)隨機變量，這意味著人口的瞬時增長率dPt/dt在每一時刻都有無窮大的方差。在實際中，這是不可能的。因此，用隨機微分方程來模擬人口的動態(tài)變化也不盡合理。

不確定人口模型是由Liu 過程驅(qū)動的微分方程。不確定理論是劉寶碇[3]于2007年提出的，是數(shù)學(xué)的一個分支，用來模擬人類的不確定性。2008 年不確定過程被引入，被用來描述隨時間變化的不確定現(xiàn)象，不確定微分方程就是由不確定過程驅(qū)動的微分方程。Liu 過程是具有Lipchitz 連續(xù)樣本軌道的穩(wěn)定獨立增量過程，在不確定性分析中起著基礎(chǔ)性的作用。近幾年，不確定微分方程已經(jīng)成為處理動態(tài)不確定系統(tǒng)的主要工具，已經(jīng)廣泛應(yīng)用在金融、工程技術(shù)、物理、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域[4-6]。

1 模型的解

設(shè)0 ＜α＜1，由Yao-Chen 公式[3]，不確定人口模型dPt=rPtdt+σ1PtdCt具有軌道：

由于T+和T-是不相交的集合，Ct是一個獨立增量過程，所以有

由于T+和T-是不相交的集合，Ct是一個獨立增量過程，所以有

定理2設(shè)Pt為不確定人口模型(2)的解，Pt有逆不確定分布：

證明對于任意的S，由于

根據(jù)不確定測度的單調(diào)性,有

由不確定測度的對偶性，

也就是說，Pt有逆不確定分布。

例1考慮不確定人口模型(2)，其中r=0.02，σ=1，P0=3.9 × 106。該模型的解為：

Pt的逆不確定分布在t=1/2，如圖1所示。

圖1 解的逆不確定分布

例2考慮不確定人口模型(2),其中r=0.02,σ=1,對于給定初值P0=390,模型有α軌道：

如圖2所示。

圖2 不確定人口模型的α軌道

2 模型的穩(wěn)定性

如果模型是穩(wěn)定的，意味著初值的微小擾動不會導(dǎo)致解的性態(tài)產(chǎn)生有影響的偏移。目前，不確定微分方程的穩(wěn)定性主要有6 種類型，即測度穩(wěn)定、均值穩(wěn)定、p階矩穩(wěn)定、逆分布穩(wěn)定、指數(shù)穩(wěn)定和幾乎處處穩(wěn)定。文獻[7]給出了不確定微分方程在t≥0 時，依p階矩穩(wěn)定的定義。

根據(jù)定義，可以證明不確定人口模型(2)在t≥0 時依p階矩不穩(wěn)定。但是，實際中，模型經(jīng)常應(yīng)用在t為有限數(shù)時，所以給出t在有限區(qū)間上時，不確定微分方程p依階矩穩(wěn)定的定義。

定義1設(shè)T為有限正數(shù)，t∈[0,T]，Xt和Yt為不確定微分方程

的任意兩個解，X0和Y0為初值。如果滿足

0 ＜p＜+∞則稱這個不確定微分方程依p階矩穩(wěn)定。

定理3設(shè)T為有限正數(shù)，t∈[0,T]，不確定人口模型(2)在[0,T]上依p階矩穩(wěn)定。

證明對給定的初值X0和Y0，令

由定義1，模型(2)在[0,T]上依p階矩穩(wěn)定，定理證畢。

3 結(jié)論

在人口模型的研究中，微分方程作為一個有力的數(shù)學(xué)工具已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，取得了豐碩成果。用微分方程描述的人口模型大多數(shù)是確定型或隨機型，這些模型沒有把不確定性因素考慮進去，但是在現(xiàn)實中，人口變化必然會受到各種不確定性因素的影響。如果用隨機微分方程來描述，一方面變化并非是在穩(wěn)定環(huán)境下的隨機變化，另一方面隨機微分方程的噪聲項實質(zhì)上是一個均值為零，方差為無窮大的正態(tài)隨機變量，這兩方面的原因表明用隨機微分方程來描述人口變化也有不盡合理之處?；诖?，考慮到自然界中，出生率和死亡率都具有不確定性，不受不確定噪聲擾動的生物種群是不存在的，不確定人口模型更符合生物種群變化的趨勢。

研究了由不確定微分方程刻畫的不確定人口模型的性質(zhì)，文中得出模型的α軌道和解的逆不確定分布，并討論了有限區(qū)間上模型的P階矩穩(wěn)定性。在今后的研究中,可以建立環(huán)境容納率被不確定因素擾動的人口模型，或者利用帶跳的不確定微分方程建立帶跳不確定人口模型，這些都是值得研究的方向。