張會(huì)靈, 馬飛遙

二叉樹模型下歐式期權(quán)價(jià)值關(guān)于波動(dòng)率的單調(diào)性研究

張會(huì)靈, 馬飛遙*

（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 浙江 寧波 315211）

研究了在市場無套利情況下, 二叉樹模型的歐式期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率的單調(diào)性問題. 首先給出了2個(gè)新的組合公式, 然后借助該組合公式證明了歐式期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率存在單調(diào)遞增關(guān)系.

二叉樹模型; 期權(quán)定價(jià); 波動(dòng)率

期權(quán)作為一種金融衍生產(chǎn)品, 其定價(jià)是金融市場一個(gè)重要的研究領(lǐng)域. 近幾十年來, 期權(quán)定價(jià)問題已得到廣泛研究. Black等[1]提出了Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型, 雖然Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型有很多優(yōu)點(diǎn), 但其推導(dǎo)過程復(fù)雜. 隨后Cox等[2]提出了一種簡單的對離散時(shí)間期權(quán)的定價(jià)方法, 被稱為C-R-R二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型. 近些年很多國內(nèi)外學(xué)者在文獻(xiàn)[2]基礎(chǔ)上研究了二項(xiàng)式模型的期權(quán)定價(jià)問題[3-7]. 眾所周知, 歐式期權(quán)的價(jià)格在C-R-R二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型中依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)性, 即歐式期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率成單調(diào)遞增關(guān)系. 近年來有關(guān)期權(quán)定價(jià)波動(dòng)性的研究成果頗豐[8-10]. 陳怡[4]證明了在單期二叉樹模型下歐式看漲期權(quán)關(guān)于波動(dòng)率的單調(diào)關(guān)系, 但沒有涉及多周期模型. Reynaerts等[11]通過對二叉樹模型的期權(quán)定價(jià)進(jìn)行敏感性分析, 得出了多周期時(shí)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格不一定是波動(dòng)率嚴(yán)格增加函數(shù)的結(jié)論, 但這種方法非常復(fù)雜.

本文利用2個(gè)新的組合公式, 更簡便地證明了多周期二叉樹模型下歐式期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率的單調(diào)關(guān)系.

1 期權(quán)定價(jià)模型

對于歐式期權(quán), 在支付紅利情況下, 考慮形式為如下的歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式[12]:

以及形式如下的歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式[12]:

2 二叉樹模型下歐式期權(quán)定價(jià)與波動(dòng)率關(guān)系

給出2個(gè)新的組合公式, 這2個(gè)組合公式可應(yīng)用于定理1的證明.

引理1

證明

同理可證

引理1不僅可用于歐式期權(quán)價(jià)格關(guān)于波動(dòng)率的單調(diào)性證明, 在其他研究中也有廣泛應(yīng)用.

式中:

將式(6)代入式(5)整理可得:

由于

可得:

若將歐式看漲期權(quán)定價(jià)式(1)對求偏導(dǎo), 根據(jù)式(3)可得:

式中:

將式(10)代入式(9)整理可得:

由于

可得:

那么由式(11)和式(12)可得:

式中:

將式(14)代入式(13)整理可得:

因?yàn)?/p>

所以

式中:

3 結(jié)語

[1] Black F, Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy, 1973, 81(3): 637-654.

[2] Cox J C, Ross S A, Rubinstein M. Option pricing: A simplified approach[J]. Journal of Financial Economics, 1979, 7(3):229-263.

[3] Muzzioli S, Torricelli C. A multiperiod binomial model for pricing options in a vague world[J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2004, 28(5):861-887.

[4] 陳怡. 關(guān)于期權(quán)定價(jià)的模糊二叉樹模型及其應(yīng)用[D]. 天津: 天津大學(xué), 2007.

[5] 陳怡. 關(guān)于歐式看漲期權(quán)的模糊二叉樹模型[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版), 2007(6):10-12.

[6] 孔凡秋. 期權(quán)的二項(xiàng)式定價(jià)模型研究[J]. 經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊, 2014(4):134-135; 155.

[7] 馮晶晶, 樊亞云, 邢瑞芳. 二叉樹從二期模型到n期模型的擴(kuò)展[J]. 重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)), 2016, 30(10):181-184.

[8] 國泰君安證券. 五大因素影響期權(quán)價(jià)格[N]. 證券時(shí)報(bào), 2014-07-24(A15).

[9] 陳雨童. 基于波動(dòng)率預(yù)測的期權(quán)定價(jià)研究[D]. 上海: 復(fù)旦大學(xué), 2013.

[10] 龔誼洲. 基于可變波動(dòng)率的期權(quán)定價(jià)研究[D]. 武漢: 華中師范大學(xué), 2019.

[11] Reynaerts H, Vanmaele M. A sensitivity analysis for the pricing of European call options in a binary tree model [C]//Proceedings of the Third International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications, 2003:14-17.

[12] 姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2008:24-39.

Monotonicity of volatility in European option pricing under binomial tree model

ZHANG Huiling, MA Feiyao*

( School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China )

In this paper, we study the monotonicity of European option price and underlying asset volatility of the binary tree model for the case of no arbitrage. Firstly, we derive two new combination formulas. Then, based on these two combination formulas, the monotonic incrementing relation between European option pricing and underlying asset volatility is proved.

binary tree model; option pricing; volatility

F830.9

A

1001-5132（2022）03-0094-04

2021?03?23.

寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（理工版）網(wǎng)址: http://journallg.nbu.edu.cn/

國家自然科學(xué)基金（11971251）; 浙江省自然科學(xué)基金（LY20A010010）.

張會(huì)靈（1995－）, 女, 河南駐馬店人, 在讀碩士研究生, 主要研究方向: 偏微分方程. E-mail: 2764433623@qq.com

通信作者:馬飛遙（1979－）, 男, 湖南衡陽人, 博士/副教授, 主要研究方向: 偏微分方程. E-mail: mafeiyao@nbu.edu.cn

（責(zé)任編輯 史小麗）