趙峙堯，張念東，魏 偉

(1. 北京工商大學(xué)人工智能學(xué)院，北京 100048；2. 北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100876)

1 引言

納米定位技術(shù)是對(duì)100nm甚至更小量級(jí)的認(rèn)知和操控的技術(shù)[1]，納米定位技術(shù)作為納米制造技術(shù)的重要組成部分，是納米測(cè)量、納米加工的核心技術(shù)之一。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)力大、剛度高、重復(fù)性好， 適合作為納米定位平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)器[2]。這種機(jī)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于微操縱器，半導(dǎo)體制造行業(yè)[3，4]，超精密機(jī)床[5]。然而，壓電陶瓷存在蠕變、遲滯非線(xiàn)性和微阻尼共振特性，對(duì)環(huán)境溫度變化敏感[2]，使得此類(lèi)系統(tǒng)的建模和控制具有挑戰(zhàn)性。遲滯作為壓電陶瓷固有的一種復(fù)雜非線(xiàn)性，對(duì)精度控制的影響最大。前饋控制技術(shù)是抑制遲滯的常用方法，通過(guò)串聯(lián)遲滯補(bǔ)償器降低遲滯的影響?；赑randtl-Ishlinskii模型[6]、改進(jìn)的Bouc-Wen模型[7]，建立遲滯逆模型，設(shè)計(jì)前饋控制，如基于改進(jìn)的Bouc-Wen模型的前饋補(bǔ)償方法[7]以及基于自適應(yīng)的逆模型前饋補(bǔ)償[8]。這些方法對(duì)遲滯模型有一定的依賴(lài)。不依賴(lài)遲滯模型的閉環(huán)控制將遲滯視為一種擾動(dòng)，消除其影響?；跀_動(dòng)觀測(cè)的PID 控制[9]，重復(fù)控制[10，11]，time-delay control[12]，模型參考自適應(yīng)控制[13]實(shí)現(xiàn)了具有一定魯棒性的定位控制。更進(jìn)一步，采用遲滯補(bǔ)償?shù)拈]環(huán)復(fù)合控制也得到了應(yīng)用。如：基于直接逆遲滯補(bǔ)償?shù)牡鷮W(xué)習(xí)控制[14]，基于逆補(bǔ)償?shù)哪Ｐ蛥⒖甲赃m應(yīng)控制[15]。無(wú)論是基于遲滯模型前饋控制還是基于遲滯模型的閉環(huán)控制，都需要精確的遲滯模型。而不依賴(lài)遲滯模型的閉環(huán)控制則更為實(shí)用。

基于主動(dòng)抗擾的控制思路，文獻(xiàn)[16]將非線(xiàn)性特性視為總擾動(dòng)的一部分，設(shè)計(jì)線(xiàn)性自抗擾控制(Linear active disturbance rejection control， LADRC)實(shí)現(xiàn)了具有較強(qiáng)魯棒性的定位。LADRC只依賴(lài)于模型的相對(duì)階和控制增益，這是該方法的優(yōu)點(diǎn)，也是缺點(diǎn)。減小總擾動(dòng)觀測(cè)負(fù)擔(dān)或提高觀測(cè)能力可提升LADRC的控制性能。文獻(xiàn)[17]提出了基于被控對(duì)象模型信息的廣義自抗擾控制(Generalized Active Disturbance Rejection Control，GADRC)。將微位移臺(tái)線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型用于控制器設(shè)計(jì)，是提高定位性能的常用方法[10-12]。在線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)GADRC控制器，廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Generalized Extended State Observer， GESO)只需要觀測(cè)未準(zhǔn)確建模的線(xiàn)性部分和非線(xiàn)性部分，大大減輕了擾動(dòng)估計(jì)負(fù)擔(dān)。在提高觀測(cè)器的性能方面，文獻(xiàn)[18]提出相位優(yōu)化的線(xiàn)性自抗擾控制(Phase Optimized LADRC，POLADRC)，利用微分信號(hào)的相位超前性，優(yōu)化觀測(cè)器，在壓電納米定位臺(tái)上測(cè)試取得了比LADRC更好的定位性能。應(yīng)用相位優(yōu)化的思路進(jìn)一步提高GADRC的控制能力，從而實(shí)現(xiàn)在減輕擾動(dòng)估計(jì)負(fù)擔(dān)的同時(shí)，提高擾動(dòng)估計(jì)能力。

LADRC與PID控制有著內(nèi)在的聯(lián)系，文獻(xiàn)[19]將二階LADRC等效為反饋補(bǔ)償器結(jié)合濾波器的結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[20]將二階LADRC等效為二階低通濾波器串聯(lián)理想PID控制器的結(jié)構(gòu)。同時(shí)，無(wú)論LADRC還是GADRC，在等效為內(nèi)?？刂苹芈窌r(shí)，等效的內(nèi)部模型都是構(gòu)建擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的基準(zhǔn)模型，通過(guò)內(nèi)模控制可以證明GADRC的穩(wěn)定性[21，22]。本文從參考模型的角度解釋擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，不同于模型參考控制以一個(gè)參考模型的輸出為樣板讓實(shí)際控制對(duì)象向其接近，直至一致。擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器是通過(guò)一個(gè)理想PID使得參考模型跟隨實(shí)際對(duì)象輸出，理想PID控制量的一部分作為總擾動(dòng)的估計(jì)結(jié)果，兩者在工作原理上有根本不同。通過(guò)模型參考的解釋思路，進(jìn)一步理解POLADRC的同時(shí)，也獲得相位優(yōu)化規(guī)律在GADRC中應(yīng)用的參數(shù)整定方法，提出相位優(yōu)化的廣義自抗擾控制(Phase Optimized GADRC，POGADRC)

2 實(shí)驗(yàn)臺(tái)參數(shù)及其線(xiàn)性模型

圖1顯示了不同頻率電壓輸入時(shí)的遲滯回線(xiàn)。理想情況下，沒(méi)有遲滯特性的回線(xiàn)為45°的直線(xiàn)。

表1 納米定位實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)表

圖1 不同頻率的遲滯回線(xiàn)

文獻(xiàn)[11]通過(guò)施加1 Hz至 250Hz的低振幅正弦電壓掃描信號(hào)，辨識(shí)壓電納米定位平臺(tái)的線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型。較低振幅電壓激勵(lì)，避免了遲滯非線(xiàn)性引起的失真。采用正弦掃描信號(hào)0.1sin(50πt2)，0≤t≤10，建立線(xiàn)性模型Pm1(s)和Pm2(s)。已建立模型和納米定位臺(tái)實(shí)際的頻率響應(yīng)如圖2所示，Pm1(s)和Pm2(s)準(zhǔn)確地描述了系統(tǒng)較低頻率范圍內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性，Pm2(s)在較高頻率部分也具有較高的準(zhǔn)確性。Pm2(s)顯示實(shí)驗(yàn)臺(tái)的實(shí)際諧振頻率約為225Hz。

(1)

Pm2(s)=

(2)

圖2 識(shí)別模型和測(cè)量值的頻率響應(yīng)

3 相位優(yōu)化的廣義自抗擾控制

不同于LADRC只需要關(guān)鍵參數(shù)：被控對(duì)象的階次和控制量增益b0，GADRC可以利用更多的模型信息?？紤]到控制器的復(fù)雜程度，選擇階次較低的模型Pm1(s)作為基準(zhǔn)模型，二階模型Pm1(s)在較低頻率范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)際模型符合度較高，能夠滿(mǎn)足在較低頻率范圍內(nèi)定位控制的要求。

3.1 線(xiàn)性自抗擾控制

參考文獻(xiàn)[23]設(shè)計(jì)二階LADRC控制器，如圖3所示。其核心部分線(xiàn)性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Linear Extended State Observer， LESO)為

(3)

z1，z2為狀態(tài)觀測(cè)，z3為總擾動(dòng)估計(jì)，y為被控對(duì)象輸出。LADRC控制律

(4)

采用帶寬整定參數(shù)法[23]

3.2 廣義自抗擾控制

(5)

zG1，zG2，zG3為GESO的輸出，y為被控對(duì)象輸出。GADRC控制律

(6)

采用帶寬整定參數(shù)法[17]

(7)

ωo，ωc為GESO觀測(cè)帶寬和控制器帶寬。

3.3 相位優(yōu)化的線(xiàn)性自抗擾控制

(8)

POLADRC控制律

(9)

z1，z2為狀態(tài)觀測(cè)，zpo3為相位優(yōu)化之后得總擾動(dòng)估計(jì)?？烧{(diào)參數(shù)c=β2/β3。

zpo3=z3+β2(yp-z1)

(10)

由式(3)和(10)，相對(duì)于LESO，在總擾動(dòng)估計(jì)中，增加的一項(xiàng)是(y-z1)β2。

在相位優(yōu)化律的作用下，POESO的估計(jì)相位總是超前于LESO。相位超前使得觀測(cè)器估計(jì)速度更快、估計(jì)誤差更小。文獻(xiàn)[9]分析結(jié)果顯示，當(dāng)總擾動(dòng)是階躍形式時(shí)，POESO和LESO對(duì)總擾動(dòng)估計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差都為0，當(dāng)總擾動(dòng)是斜坡形式時(shí)，POESO對(duì)總擾動(dòng)估計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差都為0，而LESO對(duì)總擾動(dòng)估計(jì)存在穩(wěn)態(tài)誤差。本文將應(yīng)用POLADRC的改進(jìn)思路提高GADRC控制效果。

3.4 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參考模型解釋

在二階LADRC中，LESO以b0/s2為基準(zhǔn)模型，理想情況下， LESO通過(guò)總擾動(dòng)補(bǔ)償，將被控對(duì)象轉(zhuǎn)換為串聯(lián)積分的形式。

圖3 二階LADRC控制框圖

結(jié)合圖3，式(3)可以整理為：

(10)

其中：

(11)

z1是參考模型b0/s2的輸出，通過(guò)一個(gè)理想的PID控制器，實(shí)現(xiàn)參考模型輸出z1對(duì)被控對(duì)象輸出y的跟蹤。結(jié)合圖3和式(4)，(11)，總擾動(dòng)補(bǔ)償回路中的補(bǔ)償項(xiàng)為z3/b0，是LESO中等效理想PID中的積分項(xiàng)。

同理，結(jié)合圖4和式(6)，GESO以Pm(s)為基準(zhǔn)模型，理想情況下，在補(bǔ)償項(xiàng)zG3/b0作用下，補(bǔ)償回路的輸入輸出之間的動(dòng)態(tài)特性與基準(zhǔn)模型Pm(s) 動(dòng)態(tài)特性相同。

圖4 二階GADRC控制框圖

式(5)可整理為：

(12)

其中

(13)

zG1是參考模型Pm(s)的輸出。通過(guò)一個(gè)理想的PID控制器，zG1實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象輸出y跟蹤。由圖4和式(6)，(13)可知，補(bǔ)償項(xiàng)zG3/b0是GESO中等效理想PID中的積分項(xiàng)。

從參考模型的角度出發(fā)，LESO和GESO的內(nèi)部工作原理是通過(guò)一個(gè)理想的PID控制器，實(shí)現(xiàn)參考模型對(duì)實(shí)際對(duì)象的跟蹤。

圖5 LESO和實(shí)際對(duì)象的等效框圖

圖6 GESO和實(shí)際對(duì)象的等效框圖

3.5 相位優(yōu)化的廣義自抗擾控制

將相位優(yōu)化規(guī)律應(yīng)用到GADRC中，控制律中的擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)為積分加比例的形式。由式(5)和(13)，相位優(yōu)化的GESO為

(14)

POGADRC控制律

(15)

圖7 POGADRC控制框圖

4 納米定位實(shí)驗(yàn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)對(duì)比

實(shí)驗(yàn)在P-561.3CD上進(jìn)行，壓電驅(qū)動(dòng)器與電壓放大器E-727.3CDA連接。采樣間隔設(shè)置為0.05 ms。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖9。以階躍信號(hào)和正弦信號(hào)作為參考信號(hào)，進(jìn)行多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。POGADRC，GADRC和 LADRC控制器參數(shù)見(jiàn)表2。

圖8 納米定位實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

表2 POGADRC，GADRC和 LADRC控制器參數(shù)

4.1 階躍跟蹤實(shí)驗(yàn)

圖9 階躍跟蹤實(shí)驗(yàn)

響應(yīng)結(jié)果如圖9， POGADRC階躍設(shè)定值的響應(yīng)曲線(xiàn)更加平滑，收斂更快。當(dāng)定位臺(tái)受到階躍或正弦外部電壓擾動(dòng)時(shí)，POGADRC受到的影響更小。

4.2 正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)

本節(jié)中，POGADRC的優(yōu)勢(shì)通過(guò)跟蹤時(shí)變參考信號(hào)的響應(yīng)來(lái)證明，實(shí)驗(yàn)中1Hz、5Hz、10Hz和50Hz正弦信號(hào)作為設(shè)定值。 其中，5Hz正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Ⅰ中，r(t)=sin(10πt)+3，不施加外部擾動(dòng)。5Hz正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Ⅱ中，r(t)=sin(10πt)+3，施加外部電壓擾動(dòng)：d2(t)=-0.1ε(t-1)-0.1ε(t-4)sin(2πt)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10，11，12，13所示。

圖10 5Hz正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Ⅰ

圖11 5Hz正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Ⅰ跟隨偏差

圖12 5Hz正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Ⅰ控制量

圖13 5Hz正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Ⅱ

以跟蹤誤差的均方根誤差(Root Mean Square of Error， RMSE)和控制信號(hào)u的均方根誤差(Root Mean Square of u， RMSU)作為定量比較的對(duì)比項(xiàng)，RMSU表征控制量的能量。相對(duì)變化量表示POGADRC相對(duì)GADRC， RMSE或RMSE的相對(duì)變化量。對(duì)于RMSE而言，相對(duì)變化量為負(fù)值時(shí)，表示跟蹤誤差相對(duì)變小，控制效果提高，反之則控制能力未提高或降低。對(duì)于RMSE而言，相對(duì)變化量為負(fù)值時(shí)，表示跟蹤消耗的能量減少，反之消耗的能量不變或增加。表3反應(yīng)了不同頻率下，無(wú)外部電壓擾動(dòng)跟隨實(shí)驗(yàn)在三個(gè)正弦周期內(nèi)的RMSE和RMSU數(shù)據(jù)。在RMSU幾乎相同的情況下，POGADRC控制偏差更小。

表3 未施加外部電壓擾動(dòng)的正弦跟隨響應(yīng)結(jié)果RMSE和RMSU定量比較

圖14顯示了在GADRC和POGADRC閉環(huán)控制下和開(kāi)環(huán)條件下實(shí)驗(yàn)臺(tái)的遲滯回線(xiàn)。GADRC和POGADRC都表現(xiàn)出了較好的遲滯非線(xiàn)性抑制能力。跟隨頻率為50Hz時(shí)，兩者抑制效果相近，跟隨頻率較低時(shí)，1 Hz、5 Hz、10 Hz條件下，POGADRC表現(xiàn)出優(yōu)于GADRC的非線(xiàn)性抑制能力。

圖14 開(kāi)環(huán)和閉環(huán)控制下遲滯回線(xiàn)對(duì)比

5 結(jié)論

為實(shí)現(xiàn)對(duì)具由遲滯非線(xiàn)性特性壓電驅(qū)動(dòng)的納米定位臺(tái)良好的定位控制，在建立的實(shí)驗(yàn)臺(tái)線(xiàn)性模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了POGADRC。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，POGADRC具有更優(yōu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性和擾動(dòng)、遲滯非線(xiàn)性抑制能力，實(shí)現(xiàn)了壓電驅(qū)動(dòng)的納米定位臺(tái)的良好定位控制，這為自抗擾控制在壓電驅(qū)動(dòng)的納米定位領(lǐng)域的應(yīng)用提供了一種實(shí)用控制方案。