史康，謝任遠*,,2，余維,2，李德婷

（1.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室,上海 201109）

具有3 個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機構(gòu)是一類重要的少自由度并聯(lián)機構(gòu)。由于其自身的結(jié)構(gòu)特性，具有常被應(yīng)用于靈巧眼[1]、仿真轉(zhuǎn)臺、調(diào)姿平臺、良好的一般工業(yè)及航天航空等軍事工業(yè)應(yīng)用前景，機械臂關(guān)節(jié)[2]等。許多學者對具有3 個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機構(gòu)，進行了構(gòu)型創(chuàng)新設(shè)計與性能分析。

構(gòu)型設(shè)計：史革萌 [3]對一種三自由度球面并聯(lián)機構(gòu)進行了瞬時運動學分析；Hemandez 等[4]提出一種腕關(guān)節(jié)球面并聯(lián)機構(gòu)，研究了其尺度綜合；何延等[5]研究了一種三角化解耦并聯(lián)機構(gòu)，并進行了構(gòu)型綜合、運動學分析；Hou 等[6]提出一種3-PSS/S 球面并聯(lián)機構(gòu)；Wu 等[7]提出一種新型非對稱的三支鏈球面并聯(lián)機構(gòu)，支撐高定位精度的移動平臺。

性能分析：Enferadi 等[8]使用等效轉(zhuǎn)角方法求得3-RRP 球面并聯(lián)機構(gòu)的剛度矩陣，分析了機構(gòu)的剛度性能；Tao 等[9]采用最小干涉設(shè)計方法實現(xiàn)3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)工作空間的優(yōu)化；杜力等[10]對一種新型的3T1R 并聯(lián)機構(gòu)進行了工作空間分析和尺度參數(shù)優(yōu)化設(shè)計；胡波等[11]對一種非對稱3-PRS 機構(gòu)進行了運動等效和約束性能分析；趙裕明與金振林[12]提出了一類冗余三自由度并聯(lián)機構(gòu)，利用達朗貝爾原理進行了逆動力學模型并通過研究驗證了其正確性。

冗余度機器人，分為結(jié)構(gòu)冗余和驅(qū)動冗余，是指含有自由度數(shù) （主動關(guān)節(jié)數(shù)）多于完成某一作業(yè)任務(wù)所需最少自由度數(shù)的一類機器人。冗余度機器人相對于一般并聯(lián)機構(gòu)具有更高剛度、更優(yōu)的力操作性能和更大的承載能力等優(yōu)點，目前已成為機器人研究與應(yīng)用的一個熱點[13]。為了改善機構(gòu)的性能，一些學者嘗試通過添加冗余驅(qū)動的支鏈來提升機構(gòu)的性能。王曉明[14]提出了一種新型冗余并聯(lián)驅(qū)動機構(gòu)并對其奇異性進行了分析；Baron 等[15]研究了一種冗余并聯(lián)機構(gòu)規(guī)避奇異性的幾何方法；Shin 等[16]分析冗余并聯(lián)機構(gòu)對并聯(lián)機構(gòu)剛度提升的影響，并根據(jù)分析結(jié)果做了優(yōu)化設(shè)計；周結(jié)華等[17]對一種冗余三自由度并聯(lián)機構(gòu)進行了工作空間和奇異性分析；黃勝軍等[18]提出了一種新型的三平移冗余并聯(lián)機構(gòu)并進行了相關(guān)的運動學性能分析。

上述文獻表明了增加冗余驅(qū)動可以有效的改善并聯(lián)機構(gòu)性能。本文基于國內(nèi)外目前三轉(zhuǎn)動自由度并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用和發(fā)展，研究了兩種相關(guān)的新型并聯(lián)機構(gòu)：3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)和增加了一條冗余驅(qū)動支鏈的4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)。主要通過對比分析，研究增加冗余驅(qū)動支鏈對原機構(gòu)性能的影響。

1 構(gòu)型描述與運動學分析

1.1 構(gòu)型描述

3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)包括動平臺、定平臺、一條中心支鏈以及對稱布置于動、定平臺之間的3 條結(jié)構(gòu)相同的運動支鏈。3 條支鏈均依次由豎直導軌移動副、主動滑塊、萬向節(jié)、從動桿、球面副組成。在3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)基礎(chǔ)上增加一條和其他3 條支鏈對稱布置的相同支鏈，便形成了冗余驅(qū)動的4-PUS/S并聯(lián)機構(gòu)。兩種并聯(lián)機構(gòu)虛擬樣機如圖1 所示。

圖1 兩種并聯(lián)機構(gòu)圖

1.2 機構(gòu)自由度與相對自由度計算

3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)含有動平臺、定平臺、主動滑塊（3 個）、從動桿（3 個）等共8 個部件組成。由修正后的Grübler-Kutzbach 公式，計算可得

式中：M為機構(gòu)自由度；d為機構(gòu)的階數(shù)；n為活動構(gòu)件數(shù)；g為運動副數(shù)目；fi為第i個運動副具有的自由度數(shù)目；v為去除公共約束之后的冗余約束數(shù)目；ζ為局部自由度數(shù)目。

對于4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)，同樣由修正的 Grübler-Kutzbach 公式，計算可得

所以4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)依然有3 個自由度，所加的驅(qū)動支鏈為冗余驅(qū)動支鏈。

相對自由度：機構(gòu)動平臺通過球副與基座鉸接，確保機構(gòu)動平臺至多具有3 個轉(zhuǎn)動自由度。而利用修正后的Grübler-Kutzbach 公式，可知機構(gòu)自由度為3。所以，機構(gòu)動平臺具有3 個轉(zhuǎn)動自由度。

1.3 機構(gòu)運動學反解分析

運動學反解涉及已知動平臺的位姿，求解各個驅(qū)動滑塊的位移。本文所研究的兩種三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，動平臺由于受到與定平臺相連的中心球副的約束，所以動平臺中心位置固定，只存在姿態(tài)的變化，設(shè)動平臺在坐標系中的3 個姿態(tài)角分別為α、β、γ。在兩種并聯(lián)機構(gòu)中建立如圖2 所示的坐標系。

圖2 兩種并聯(lián)機構(gòu)的坐標系建立圖

設(shè)動平臺3 個球副中心點依次為B1、B2、B3，令3 個球副中心點Bi到動平臺中心點的垂直距離為r。3 個滑塊上虎克絞中心點分別為A1、A2、A3。設(shè)虎克絞中心位置Ai到動平臺豎直桿中心的垂直距離為R。以動平臺中心處球副中心點O為原點建立定坐標系O-XYZ，Z軸豎直向上，Y軸垂直于A2A3，X軸由右手定則確定，設(shè)3 個主動滑塊在Z軸的位置為hi。同樣以O(shè)點為圓心建立固結(jié)于動平臺的動坐標系M-xyz，M與O點重合，z軸豎直向上，y軸垂直于B2B3，x軸由右手定則確定。

用向量的形式表示出OAi和MBi，即：

式中：s=sin、c=cos；θi為OAi在XY坐標平面上的投影與Y軸正方向的夾角，逆時針方向為正；ηi為MBi在xy坐標平面上的投影與y軸正方向的夾角，逆時針方向為正。

按照動坐標系先繞z軸旋轉(zhuǎn)γ角、再繞y軸旋轉(zhuǎn)β角、然后繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)順序，由動、定坐標系相對位姿，計算可得兩者之間的轉(zhuǎn)換矩陣為

根據(jù)閉環(huán)矢量三角形方程和定桿長方程可得

通過坐標變換等計算求得3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)運動學反解通式為

其中：

根據(jù)所建坐標系，代入 3-PUS/S 機構(gòu)中已知量計算式（7）可求得其運動學反解依次為：

對4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)進行同樣的運動學反解分析。代入4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)中已知量，計算式（7）可求得4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的運動學反解依次為：

2 工作空間繪制與分析

2.1 工作空間搜索流程

基于兩種并聯(lián)機構(gòu)的位姿反解模型及結(jié)構(gòu)約束條件，采用離散邊界搜索算法，使用工程軟件，計算并繪制出機構(gòu)的工作空間。采用的搜索算法流程如下：

1）根據(jù)機構(gòu)設(shè)計要求，給定機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)：R、r，以及α、β、γ的搜索范圍。

2）根據(jù)位姿反解模型計算出主動支鏈的長度hi。

3）檢驗此時支鏈長度hi狀態(tài)下，是否滿足由桿件尺寸、運動副轉(zhuǎn)角限制等組成的邊界條件。如滿足，記錄此時的α、β、γ值。

4）姿態(tài)角α、β、γ增加一個微小量后，繼續(xù)搜索，直到搜索完設(shè)定好的整個α、β、γ范圍。

5）將搜索過程中所有滿足要求并記錄的α、β、γ取值點繪制出來，形成整個機構(gòu)的工作空間。

2.2 實例分析

給定機構(gòu)參數(shù)如表1 所示。設(shè)定動平臺姿態(tài)角α、β的搜索范圍為（-0.6,+0.6）rad，γ的搜索范圍為（-π/2,+π/2）rad。

表1 機構(gòu)參數(shù)

按照上述流程圖算法搜索出所有滿足條件的α、β、γ。搜索并繪制出3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)和4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)工作空間如圖3 所示，為了便于觀察和比較大小，將兩種并聯(lián)機構(gòu)工作空間在同一幅圖里疊加顯示如圖4 所示。

圖3 兩種并聯(lián)機構(gòu)的工作空間圖

圖4 兩種并聯(lián)機構(gòu)的工作空間疊加圖

通過觀察發(fā)現(xiàn)，同等機構(gòu)參數(shù)下，4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的工作空間范圍略小于3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)?？芍谕葪l件下引入冗余驅(qū)動支鏈，會略微減小原機構(gòu)的工作空間范圍，但并沒有較大變化。

3 雅克比矩陣的求解

3.1 約束雅克比的求解

如圖5 所示，在動平臺中心處建立瞬時參考坐標系p-x′y′z′，3 個坐標軸方向分別對應(yīng)平行于定坐標系的X、Y、Z并在此坐標系中表示后面提到的所有旋量。

圖5 3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)示意圖

由螺旋理論可知，動平臺的瞬時螺旋S/p可表示表示：

式中：S/j,i表示第i條支鏈的第j個關(guān)節(jié)的瞬時運動螺旋；表示第i條支鏈的第一個關(guān)節(jié)的移動速率；表示第i條支鏈的第j個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動速率；表示中間約束S 支鏈第j個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動速率；表示中間約束S 支鏈第j個關(guān)節(jié)的瞬時運動螺旋。

由圖5 結(jié)合螺旋理論可知，各運動關(guān)節(jié)的瞬時運動螺旋表示：

由螺旋理論可知，PUS 支鏈的6 個關(guān)節(jié)線性無關(guān)，自由度是6，所以沒有約束反螺旋，對動平臺不提供約束。中間約束S 支鏈中3 個運動螺旋表示為：

將此反螺旋系與式（12）兩邊作互易求積可得

寫成矩陣形式為：

Jc即為所求的3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的約束雅克比矩陣。

3.2 驅(qū)動雅克比的求解

鎖定每條支鏈中的驅(qū)動關(guān)節(jié)（移動副），由螺旋理論可知，此時每條支鏈增加一個反螺旋，可表示為

將此反螺旋系跟式（11）兩邊作互易求積可得

所以得到

寫成矩陣形式為：

Jx即為所求的3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動雅克比矩陣。

3.3 完全雅克比

綜合Jc與Jx，即可得出3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的完全雅克比矩陣為

同樣的方法，可求得4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的完全雅克比矩陣為

其中4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的約束雅克比矩陣為

4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動雅克比矩陣為

4 機構(gòu)靜剛度分析

當并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定后，機構(gòu)的剛度會隨著位姿的變化而改變，經(jīng)常使用的衡量并聯(lián)機構(gòu)剛度特性的指標有剛度矩陣的行列式、特征值、條件數(shù)、跡等。這里使用剛度矩陣的最大特征值作為研究剛度的指標，對兩種并聯(lián)機構(gòu)在相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的剛度特性進行對比分析。剛度矩陣可以表示為

式中：J表示機構(gòu)的雅克比矩陣；k表示驅(qū)動副的關(guān)節(jié)剛度，這里設(shè)定k=1000 N/mm。繪制出兩種并聯(lián)機構(gòu)分別在γ=0、γ=π/4 時不同姿態(tài)下的剛度矩陣最大特征值分布圖如圖6 與圖7 所示。

圖6 γ=0 兩種并聯(lián)機構(gòu)剛度矩陣最大特征值分布圖

圖7 γ=π/4 兩種并聯(lián)機構(gòu)剛度矩陣最大特征值分布圖

表2 給出了γ=0、γ=π/4 時兩種機構(gòu)的最大特征值數(shù)據(jù)對比情況。由表2 可知，γ=0 時，4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)最大特征值相比3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)總體提高了約20%，γ=π/4 時，4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)最大特征值相比3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)總體提高了約25%。

表2 兩種機構(gòu)最大特征值數(shù)據(jù)對比

說明出引入冗余驅(qū)動支鏈對機構(gòu)剛度特性有一定程度的提高。從機構(gòu)工作精度的角度考慮，引入冗余驅(qū)動支鏈降低了機構(gòu)因受力變形引起的誤差，提高了工作精度。

5 機構(gòu)動力學分析

動力學的數(shù)學建模問題在三自由度并聯(lián)機器人實際的運動控制和動態(tài)性能的分析中占有很重要的地位，三自由度并聯(lián)機器人的動力學數(shù)學模型描述的是并聯(lián)機器人的運動構(gòu)件和各個關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，是求解機器人正向動力學問題和逆向動力學問題的基礎(chǔ)。常用研究方法包括：拉格朗日法、牛頓-歐拉法、凱恩方法、高斯方法、旋量對偶法等。

本文將并聯(lián)機構(gòu)分為動平臺子系統(tǒng)、從動桿子系統(tǒng)、主動滑塊子系統(tǒng)等3 部分，拉格朗日方程為

式中：T為系統(tǒng)動能；U為系統(tǒng)勢能；q為廣義坐標；τ為對應(yīng)廣義坐標q的廣義力。

利用式（29）分別求解其動力學模型，最后求解出機構(gòu)整體動力學模型。

本節(jié)以下求解公式中，選取廣義坐標q=(α β γ)T，求解3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)動力學模型時，i=1,2,3；求解4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)動力學時，i=1,2,3,4。

5.1 動平臺子系統(tǒng)的動力學模型

3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)和4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)均為繞動平臺質(zhì)心的三轉(zhuǎn)動自由度機構(gòu)，所以動平臺無平動動能，只有轉(zhuǎn)動動能。

動平臺角速度為

動平臺動能為

式中Ip為動平臺轉(zhuǎn)動慣量矩陣。

取動平臺質(zhì)心處水平面為零勢能面，因為動平臺沒有平動，所以動平臺勢能為

將式（31）和式（32）代入到朗格朗日方程式（29）中，整理可得動平臺子系統(tǒng)的動力學模型方程為

式中：Mp為動平臺子系統(tǒng)慣性矩陣；Cp為動平臺子系統(tǒng)哥氏力系數(shù)矩陣；Gp為動平臺子系統(tǒng)重力項；τp為動平臺子系統(tǒng)等效廣義力。

5.2 從動桿子系統(tǒng)的動力學模型

動平臺上Bi點的廣義速率為

所以并聯(lián)機構(gòu)連桿A1Bi的角速度為

式中：ei為從動桿由點Ai指向點Bi的單位矢量；vAi為主動滑塊的速度矢量。

由運動學基本知識知道，從動桿質(zhì)心C的速度vCi為

所以從動桿子系統(tǒng)動能

從動桿質(zhì)心C的位置坐標可表示為

所以從動桿勢能可表示為

同理可得從動桿子系統(tǒng)的動力學模型方程為

式中：ML為從動桿子系統(tǒng)慣性矩陣；CL為從動桿子系統(tǒng)哥氏力系數(shù)矩陣；GL為從動桿子系統(tǒng)重力項；τL為從動桿子系統(tǒng)等效廣義力。

5.3 主動滑塊子系統(tǒng)的動力學模型

主動滑塊在絲杠上做直線運動，所以轉(zhuǎn)動動能為零，其動能為

勢能為

同理可得主動滑塊子系統(tǒng)的動力學模型方程為

式中：MA為從動桿子系統(tǒng)慣性矩陣；CA為從動桿子系統(tǒng)哥氏力系數(shù)矩陣；GA為從動桿子系統(tǒng)重力項；τA為從動桿子系統(tǒng)等效廣義力。

5.4 機構(gòu)整體動力學模型

在求得機構(gòu)各子系統(tǒng)動力學模型的基礎(chǔ)上，可以得到整體動力學模型為：

由虛功原理可知，3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的關(guān)節(jié)驅(qū)動力和等效廣義力之間的關(guān)系為

式中：J為3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的雅克比矩陣；F=(f1f2f3)T，為關(guān)節(jié)驅(qū)動力。

在4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)中，由于機構(gòu)有3 個自由度，4 個驅(qū)動，所以機構(gòu)在任一狀態(tài)下都有無窮多組驅(qū)動力的解，根據(jù)虛功原理和范數(shù)最小原則確定此機構(gòu)關(guān)節(jié)驅(qū)動力和等效廣義力之間的關(guān)系為

式中：J為4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)的雅克比矩陣；(JT)+=J(JTJ)-1,為JT的偽逆；F=(f1f2f3f4)T，為關(guān)節(jié)驅(qū)動力。

5.5 動力學仿真結(jié)果分析

在上述動力學理論計算的基礎(chǔ)上，選定機構(gòu)設(shè)計參數(shù)，進行實例驗證。設(shè)定機構(gòu)參數(shù)如表3 所示。

表3 機構(gòu)參數(shù)

規(guī)劃動平臺運動軌跡函數(shù)為：

根據(jù)已求得的動力學方程，可求得兩種并聯(lián)機構(gòu)各主動滑塊的驅(qū)動力，繪制10 s 內(nèi)兩種并聯(lián)機構(gòu)各主動滑塊驅(qū)動力曲線，選取其中曲線較為平滑的2～10 s 區(qū)間段如圖8 所示。圖中f1、f2、f3、f4分別代表兩種并聯(lián)機構(gòu)各主動滑塊的驅(qū)動力。

圖8 兩種并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動力曲線圖

由兩種并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動力曲線對比可知，動平臺在此種運動規(guī)律狀態(tài)下，驅(qū)動力曲線平滑無突變，說明機構(gòu)運行良好，沒有出現(xiàn)奇異位置。添加了冗余驅(qū)動支鏈的4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)相比于3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)，各主動滑塊驅(qū)動力峰值總體呈下降趨勢，降幅為30%左右。但相應(yīng)的，各驅(qū)動力的最小值總體上升了25%左右?？偟膩碚f，在添加了冗余驅(qū)動支鏈后，機構(gòu)驅(qū)動力配置效果更加高效，改善了并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動性能。

6 結(jié)論

本文研究了一種3-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)和4-PUS/S 并聯(lián)機構(gòu)，并對這兩種并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學反解模型的求解、工作空間的繪制與對比分析、完全雅克比矩陣的構(gòu)建、靜力學剛度矩陣的分析、動力學模型的建立與分析、探究引入冗余驅(qū)動支鏈對原機構(gòu)性能的影響。

由兩種機構(gòu)的理論分析以及仿真結(jié)果對比可知，引入冗余驅(qū)動支鏈對原并聯(lián)機構(gòu)性能的影響與預(yù)期相符，得到了引入冗余驅(qū)動支鏈對原機構(gòu)動平臺的工作空間范圍有略微減小、在一定程度上改善了剛度特性分布情況、提高了機構(gòu)剛度、工作精度、改善了并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動性能等的結(jié)論，為后續(xù)研究兩種并聯(lián)機構(gòu)的控制及應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。