田家林，劉亞迪，熊潔

（西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院，成都 610500）

隨著鉆柱長度增加，鉆柱系統(tǒng)剛度減小，形成柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，導(dǎo)致屈曲，粘滑和其它影響鉆井正常工作的鉆柱振動現(xiàn)象，是增加鉆井成本、延長鉆井周期的主要原因[1-3]。鉆井深度增加時鉆柱環(huán)境惡劣程度增加，巖石特性發(fā)生改變，增大了鉆柱運動的復(fù)雜性[4]。鉆柱與井壁，鉆頭與地層巖石界面的沖擊和碰撞以及各種振動模式之間的能量交換同時耦合在一起，具有相當(dāng)復(fù)雜的性質(zhì)，其中以粘滑振動的影響最甚。為了降低成本，防止鉆柱疲勞失效，提高鉆井速度，必須采取各種措施，提高鉆井效率和安全[5-6]。

周銀鋒等基于旋轉(zhuǎn)體和懸臂梁系統(tǒng)，在穩(wěn)定的轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速下研究鉆柱扭轉(zhuǎn)振動問題，根據(jù)Lagrange方程，利用系統(tǒng)動能守恒原理，推導(dǎo)出了系統(tǒng)的運動微分方程[7]。張曉東等分析了鉆頭-巖石的切削模型，建立了其相互作用的摩擦模型，通過對粘滑振動的穩(wěn)定性進行分析，得到邊界穩(wěn)定狀態(tài)的臨界鉆壓[8]。Patil 和Teodoriu 在不考慮鉆頭橫向振動的前提下，對垂直井眼中鉆柱的粘滑振動現(xiàn)象進行研究，建立了二自由度扭轉(zhuǎn)擺模型[9]。Kong 等提出了一種傳感器位置優(yōu)化算法，建立并實現(xiàn)了能夠?qū)崟r抑制深孔鉆具中的模態(tài)振動的系統(tǒng)[10]。Viguié等用相平面法研究了鉆柱系統(tǒng)中粘滑振動頻率、轉(zhuǎn)速以及粘滯系數(shù)對鉆井振動的影響[11]。Liu 等考慮了鉆頭時滯及多重再生效應(yīng)，并建立了鉆柱離散模型研究了鉆柱系統(tǒng)的非線性運動[12]。Leine 等基于簡單的單自由度的旋轉(zhuǎn)力學(xué)模型，分析了在不同轉(zhuǎn)速下鉆頭粘滑振動的分岔圖，揭示了不連續(xù)的分岔現(xiàn)象[13]。唐昕等探討了二自由度自激振蕩系統(tǒng)中阻尼對粘滑運動的影響，對摩擦不連續(xù)性采取光滑連續(xù)處理，得出了阻尼對自激振蕩系統(tǒng)運動狀態(tài)和粘滑行為的作用規(guī)律[14]。李子豐等通過簡化旋轉(zhuǎn)鉆井系統(tǒng)對鉆柱縱向和扭轉(zhuǎn)振動狀態(tài)和產(chǎn)生原因進行了分析[15]。Liu等通過建立二自由度扭轉(zhuǎn)模型，研究了1 000 m 鉆柱系統(tǒng)的軸向及扭轉(zhuǎn)耦合運動，采用半離散法對鉆柱系統(tǒng)的地線性化模型穩(wěn)定性進行分析[16]。Kapitaniak 等應(yīng)用ABAQUS 軟件建立鉆柱有限元模型，對鉆柱的彎曲變形和粘滑振動加以分析，并與實驗結(jié)果進行了比較[17]。

本文考慮縱向激勵對鉆柱振動的影響以及鉆頭與巖石之間的非光滑摩擦因素，建立兩自由度鉆柱縱-扭耦合振動力學(xué)模型，仿真分析了縱向振動與扭轉(zhuǎn)振動的動力學(xué)特性，對特定參數(shù)條件下的鉆頭處鉆壓及扭矩進行仿真分析，得到鉆柱縱向振動特性、扭轉(zhuǎn)振動特性以及鉆頭處的鉆壓及扭矩，研究了不同參數(shù)對耦合力學(xué)模型下的粘滑振動的影響。

1 縱-扭耦合振動模型

地層與鉆頭接觸產(chǎn)生的粘滑振動，會激勵鉆柱發(fā)生嚴重的扭轉(zhuǎn)和縱向振動，為描述與這兩種振動模式相關(guān)的非光滑現(xiàn)象，建立縱向與扭轉(zhuǎn)振動耦合的數(shù)學(xué)模型如圖1 所示。

圖1 鉆柱系統(tǒng)縱-扭耦合簡化模型

對模型提出以下假設(shè)：研究的鉆柱系統(tǒng)處于垂直井中，鉆柱的軸線與井筒的軸線保持一致；鉆臺上部靜鉆壓與鉆臺轉(zhuǎn)速恒定分別為W0、Ω0；鉆柱不與井壁接觸且不發(fā)生橫向振動。采用集總參數(shù)法，將井底鉆具組合（BHA）視為鉆柱底部的集總質(zhì)量，將鉆桿質(zhì)量視為與其分布質(zhì)量相等的集中質(zhì)量，鉆具組合質(zhì)量與等效鉆桿質(zhì)量共同構(gòu)成軸向質(zhì)量ma，T0為鉆柱系統(tǒng)的輸入扭矩，T(φ，z）為鉆頭處摩擦扭矩，其大小與鉆速和縱向激振力有關(guān)。

鉆頭與巖石剛接觸時，接觸點為坐標軸的原點，即z=0，當(dāng)鉆頭向下運動時，z變量為正。若此時鉆頭在軸向方向上的位移為z0，根據(jù)鉆柱受力情況，由牛頓第二定理可得，在軸向方向有

式中：ca為鉆柱軸向阻尼；kc為地層剛度；ka為鉆柱軸向剛度；kcz為地層對鉆頭施加的軸向力，方向總是沿軸線方向向上且為正。進行移項化簡后，地層與鉆頭間的作用力用鉆壓表示為

式中：W0為BHA 提供的縱向壓力；W(φ,z)為鉆頭所受的縱向力，與軸向位移z有關(guān)。由于軸向力是軸扭耦合的結(jié)果，并且這種耦合建?？紤]的因素較多，引入扭轉(zhuǎn)模式，即

選取x為系統(tǒng)的狀態(tài)矢量，定義為

鉆柱系統(tǒng)動力學(xué)方程可用1 階微分方程組表示為：

將上式寫成狀態(tài)空間方程形式，即

式中：u=T0為控制扭矩；A、B、C、D均為狀態(tài)空間方程參數(shù)矩陣。

2 邊界條件與接觸界面建模

鉆頭開始切削破巖時，巖石與鉆頭之間的干摩擦?xí)瓜到y(tǒng)在扭轉(zhuǎn)振動模式下變得不光滑，作用在鉆頭上的扭矩包括兩種形式：與鉆頭和巖石所用的摩擦特性有關(guān)；與切割巖石所需的破巖扭矩有關(guān)。假設(shè)鉆頭正面的摩擦力分布均勻，則該扭矩表示為

式中：μ為摩擦因數(shù)；R為鉆頭半徑；f()為既可以定義靜摩擦又能描述動態(tài)摩擦的連續(xù)函數(shù)。

式中：常量 με和μd分別為靜態(tài)和動態(tài)摩擦因數(shù)；ε和τ為無量綱數(shù)值常量。在鉆柱系統(tǒng)的非線性振動中，這些常數(shù)如果選擇恰當(dāng)，將使干摩擦的平滑形狀真正接近于原來的非光滑函數(shù)，通常ε?1，τ＞0，其物理意義表示轉(zhuǎn)速對扭矩的影響。在分析鉆柱系統(tǒng)縱向與扭轉(zhuǎn)耦合振動的模型中，s0為其振幅，定義切削深度s為

鉆頭與巖石的相互作用可分為以下4 種形式：

1)切削模式

當(dāng)鉆頭開始鉆進時，鉆頭的角速度 φ開始逐漸增大，切削深度s也隨鉆頭的鉆進而增大，鉆頭正常鉆進，鉆頭與巖石之間的作用力表示為

2)粘滯模式

當(dāng)鉆頭與巖石作用的摩擦力逐漸增大時，鉆頭處的切削扭矩小于摩擦扭矩，鉆頭將靜止不動，產(chǎn)生粘滯現(xiàn)象，此時鉆頭處的角速度 φ為0，且鉆柱系統(tǒng)處于“憋矩”的狀態(tài)。

3)滑脫模式

當(dāng)鉆頭處的扭矩積蓄到足以克服巖石的摩擦扭矩運動時，鉆頭處的角速度φ ＞0，并且將可能超越轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速 Ω0，此時鉆頭不再切削巖石，切削深度s=0。

4)跳鉆模式

當(dāng)鉆頭與巖石在沒有接觸的情況下，即x＜s0sin(nbφ)時，切削深度s＜0，鉆頭與巖石不接觸，鉆頭與巖石所產(chǎn)生的縱向力為0，鉆頭與巖石處的扭矩0，此時鉆頭處于跳鉆模式，鉆柱軸向與扭轉(zhuǎn)振動的剛度分別為：

扭轉(zhuǎn)阻尼為

扭轉(zhuǎn)慣量為鉆具的組合慣量和等效鉆桿慣量之和，即

3 算例分析

基于龍格庫塔法以及自適應(yīng)步長法對以上所建立的模型進行求解，利用MATLAB 軟件進行編程和數(shù)據(jù)處理，模擬仿真的算例參數(shù)如表1 所示。

表1 算例基本參數(shù)

鉆柱縱-扭耦合的振動特性仿真結(jié)果見圖2。由圖2a）可知，鉆頭軸向振動位移穩(wěn)定在-0.015～-0.02 m 區(qū)間范圍內(nèi)；由圖2b）可知，鉆頭進給的速度并不恒定，其峰值為0.5 m/s；由圖2c）可知，鉆頭處的軸向位移主要集中于0.01～ 0.02 區(qū)間以及-0.015～-0.05 區(qū)間內(nèi)，鉆頭處的軸向振動速度主要集中于0.03～ 0.05 以及-0.03～-0.05 區(qū)間內(nèi)，鉆頭軸向振動為正表明鉆柱系統(tǒng)正常鉆進，機械轉(zhuǎn)速正常，軸向振動為負表明鉆頭處與巖石脫離，并向上跳動，有跳鉆危險；由圖2d）可知，鉆頭處所受的鉆壓并不穩(wěn)定，其峰值為5×105左右，且有鉆壓為零的現(xiàn)象存在，這是由于鉆頭處于粘滯階段時鉆柱扭曲，而在滑移階段時，鉆頭與巖石脫離，從而產(chǎn)生跳鉆，導(dǎo)致鉆桿因疲勞斷裂失效。

圖2 鉆柱系統(tǒng)縱-扭耦合軸向振動動力學(xué)特性

鉆柱系統(tǒng)縱-扭耦合扭轉(zhuǎn)振動動力學(xué)特性見圖3。由圖3a）可知，鉆頭產(chǎn)生明顯的粘滑振動現(xiàn)象，振動頻率為0.22 Hz 左右，鉆頭角速度峰值為25 rad/s，達到轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速的2 倍，此時鉆頭處于粘滯階段，鉆頭處的角速度為零，但轉(zhuǎn)盤依舊在勻速轉(zhuǎn)動，鉆頭所受的扭矩逐漸增大，由圖3b）可知，鉆頭與轉(zhuǎn)盤處的相對角位移處于-10 rad～ +15 rad 區(qū)間之內(nèi)，相對角位移為正時，表明鉆頭超前于轉(zhuǎn)盤，相對角位移為負時，表明鉆頭滯后于轉(zhuǎn)盤；由圖3c）可知，鉆頭處扭轉(zhuǎn)相位圖為極限環(huán)狀態(tài)，且出現(xiàn)明顯抖顫，鉆頭處的扭矩峰值可達3.5×104Nm，鉆壓和扭矩存在為零的情況，由圖3d）可知，鉆頭處不斷儲存能量，當(dāng)驅(qū)動扭矩逐漸大于摩擦扭矩時，能量瞬間釋放，鉆頭轉(zhuǎn)速達到峰值，產(chǎn)生十分嚴重的扭轉(zhuǎn)振動，由于軸向振動的影響，鉆頭角速度數(shù)值有抖顫。

圖3 鉆柱系統(tǒng)縱-扭耦合扭轉(zhuǎn)振動動力學(xué)特性

圖4 為鉆柱系統(tǒng)在頂驅(qū)轉(zhuǎn)速為110 r/min 時鉆柱振動速度信號頻譜圖。可以看出未考慮橫向振動影響的鉆柱縱-扭耦合振動是以一階固有頻率為基頻成份，只在基頻處出現(xiàn)尖峰，此時鉆柱做周期運動；縱向速度頻率高于扭轉(zhuǎn)速度的頻率，表明縱向振動是高頻振動，但其幅值更低；在驅(qū)動轉(zhuǎn)速處頻率處無明顯幅值分量，表明系統(tǒng)振動并非是由旋轉(zhuǎn)運動而產(chǎn)生的受迫振動，而是由系統(tǒng)的非線性因素引起的自激振動。

圖4 鉆柱振動速度信號頻譜圖

從圖5 可以看出，在一定初始時間內(nèi)，鉆頭受到扭矩小于鉆頭破巖所需最小扭矩，此刻鉆柱發(fā)生粘滯運動，鉆頭轉(zhuǎn)速為0，鉆柱產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，直到變形產(chǎn)生的扭矩大于鉆頭破巖所需最小扭矩；當(dāng)粘滯運動結(jié)束后，鉆頭開始進行滑脫運動，初始時刻鉆柱因變形產(chǎn)生扭矩大于鉆頭受到動摩擦扭矩，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸增加；當(dāng)鉆頭受到的動摩擦扭矩大于鉆柱變形產(chǎn)生的扭矩時，鉆頭轉(zhuǎn)速逐漸減小為0。從圖6可知，鉆頭處的相對角位移代表了鉆頭處的角位移與轉(zhuǎn)盤速度與時間乘積的差值，增大轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速時，鉆頭的相對角位移幅度逐漸減小，說明鉆頭與轉(zhuǎn)盤運動同步性逐漸增大，鉆頭的粘滯時間減少，明顯降低了粘滑現(xiàn)象。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下鉆頭扭轉(zhuǎn)角速度時域圖

圖6 不同轉(zhuǎn)速下鉆頭扭轉(zhuǎn)相對角位移時域圖

圖7 和圖8 分別為調(diào)節(jié)不同的鉆壓，得到的鉆頭角速度與相對角位移情況。當(dāng)鉆壓不斷增大時，鉆頭粘滯時間變長，鉆頭角速度幅值變化為轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速的2 倍左右，選擇較小的鉆壓時，鉆頭角速度抖顫越小，粘滯時間變短，當(dāng)鉆壓低于臨界值時，鉆頭處將不再出現(xiàn)粘滑振動現(xiàn)象。增大鉆壓會使鉆頭角速度逐漸減小，導(dǎo)致鉆柱加重粘滑現(xiàn)象，當(dāng)鉆壓增大到一定值后會增大巖石與鉆頭處的摩擦力，使鉆頭鉆進困難，若持續(xù)增加則會導(dǎo)致卡鉆的風(fēng)險。

圖7 不同鉆壓下鉆頭扭轉(zhuǎn)角速度時域圖

圖8 不同鉆壓下鉆頭扭轉(zhuǎn)相對角位移時域圖

4 結(jié)論

1）特定參數(shù)下的鉆柱縱向及扭轉(zhuǎn)振動特性進行仿真分析，得到鉆壓及扭矩的變化情況。結(jié)果顯示鉆壓和扭矩并不穩(wěn)定，在鉆頭粘滯時期，鉆壓及扭矩變化較大。

2）對縱向速度和扭轉(zhuǎn)速度進行分析，結(jié)果表明鉆柱縱-扭耦合振動是以一階固有頻率為基頻成份，且只在基頻處出現(xiàn)尖峰，縱向速度頻率高于扭轉(zhuǎn)速度的頻率，表明縱向振動是高頻振動，但其幅值更低；在驅(qū)動轉(zhuǎn)速處頻率處無明顯幅值分量，表明系統(tǒng)振動并非是由旋轉(zhuǎn)運動而產(chǎn)生的受迫振動，而是由系統(tǒng)的非線性因素引起的自激振動。

3）對不同鉆井條件下的扭轉(zhuǎn)振動及縱向振動特性進行仿真分析，可知在高轉(zhuǎn)速、低鉆壓的鉆井條件下，鉆柱系統(tǒng)粘滑振動現(xiàn)象減弱。