夏孟瑤, 蔣海軍, 于志永

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

在過去的幾十年中,多智能體系統(tǒng)的一致性控制因其在編隊(duì)控制、機(jī)器人團(tuán)隊(duì)等許多領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用而吸引了越來越多研究者的關(guān)注[1-4].達(dá)成一致的主要目的是通過智能體之間的信息交流,設(shè)計(jì)合適的控制器,最終使得所有智能體達(dá)到相同狀態(tài).作為控制領(lǐng)域的重要研究對象,多智能體系統(tǒng)的一致性問題可以分為無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題[5-6]和主從(領(lǐng)導(dǎo)跟隨者)一致性問題.現(xiàn)如今,很多學(xué)者研究了主從多智能體一致性問題[7-8],其中文獻(xiàn)[3,7]的一個(gè)共同特點(diǎn)是使用了每個(gè)智能體及其鄰居的連續(xù)狀態(tài)信息.

在研究一致性中,主要的任務(wù)是設(shè)計(jì)僅依賴智能體鄰居信息的控制協(xié)議.事件觸發(fā)作為一種合適的控制方法,其有利于多智能體之間的合作,也可以大大降低能源消耗,來節(jié)省有限的網(wǎng)絡(luò)資源.因此,基于事件觸發(fā)控制協(xié)議的優(yōu)點(diǎn),文獻(xiàn)[9-15]采用事件觸發(fā)控制方法解決了多智能體系統(tǒng)的一致性問題.Chen等[9]提出了基于觀測的事件觸發(fā)控制方法并研究了一般線性多智能體系統(tǒng)的主從一致性問題.Deng等[14]通過引入事件觸發(fā)估計(jì)器,提出了2種分布式事件觸發(fā)控制器用于解決無領(lǐng)導(dǎo)和領(lǐng)導(dǎo)跟隨者線性多智能體的一致性問題,其中在事件觸發(fā)機(jī)制中設(shè)計(jì)了自適應(yīng)觸發(fā)參數(shù),以提高事件觸發(fā)估計(jì)器的自我調(diào)節(jié)能力.這些研究結(jié)果驗(yàn)證了事件觸發(fā)控制方法在不同多智能體系統(tǒng)中的有效性.

本文研究了一般線性主從多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)輸出一致性問題.與現(xiàn)有的工作相比,本文的貢獻(xiàn)主要包括以下2點(diǎn):1) 基于事件觸發(fā)控制方法，提出了一種輸出反饋事件觸發(fā)控制協(xié)議和分布式自適應(yīng)事件觸發(fā)控制協(xié)議;2) 對于具有線性動力學(xué)和一般無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞闹鲝亩嘀悄荏w系統(tǒng),提出了一種基于觀測的自適應(yīng)事件觸發(fā)控制器,用以解決主從多智能體系統(tǒng)的一致性問題.

1 預(yù)備知識和模型描述

為了方便,先給出一些記號.‖·‖代表歐氏范數(shù),?代表矩陣的Kronecker乘積,Rn代表n維實(shí)列向量,In是n維單位矩陣,1代表分量全為1的向量.對于矩陣P,PT、λ(P)和λ(P)分別代表P的轉(zhuǎn)置、最小特征值和最大特征值,P>0代表P是一個(gè)正定矩陣,diag(·)代表對角矩陣.

考慮由N個(gè)智能體所組成的網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆蓤DG=(V,E)表示,其中V={1,2,…,N}表示節(jié)點(diǎn)集,E={(i,j)|i,j∈V}表示邊集,記智能體i的鄰居節(jié)點(diǎn)集為Ni={j|(i,j)∈E}.A=[aij]∈RN×N是圖G的鄰接矩陣,若(i,j)∈E,則aij>0,否則,aij=0.對于無向圖G來說,aij=aji.記節(jié)點(diǎn)的度矩陣為D=diag(d1,d2,…,dN),其中d則圖G的拉普拉斯矩陣定義為L=D-A.令矩陣H=L+B,其中B=diag(b1,b2,…,bN),如果智能體i能夠接收到領(lǐng)導(dǎo)者的信息,則bi=1,否則,bi=0.

第i個(gè)智能體的動力學(xué)描述為

(1)

其中

xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))∈Rn,

ui(t)∈Rm,yi(t)∈Rq

分別表示第i個(gè)智能體的狀態(tài)、控制輸入和輸出.A∈Rn×n、B∈Rn×m、C∈Rq×n表示具有合適維數(shù)的常數(shù)矩陣.

領(lǐng)導(dǎo)者的動力學(xué)行為描述為

(2)

下面將給出一些相關(guān)的定義和假設(shè).

假設(shè) 1.1拓?fù)鋱DG是連通的,并且至少有一個(gè)跟隨者可以接收到領(lǐng)導(dǎo)者的信息.

假設(shè) 1.2(A,B)是穩(wěn)定的,(A,C)是可測的.

引理 1.1[16]L是具有N個(gè)點(diǎn)的無向連通圖G的拉普拉斯矩陣,則L的特征值大小滿足

0=λ1<λ2≤λ3≤…≤λN.

定義 1.1對于多智能體系統(tǒng)(1)和(2)的任意初值,如果滿足

其中

x0(t)=(x01(t),x02(t),…,x0n(t))∈Rn,

i=1,2,…,N,

則稱多智能體系統(tǒng)(1)和(2)達(dá)到一致.

2 主要結(jié)論

2.1 基于觀測的事件觸發(fā)穩(wěn)定性首先,通過設(shè)計(jì)合適的增益矩陣K和輸出事件觸發(fā)條件,使系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定.定義如下線性矩陣不等式

A

(5)

其中P1>0是對稱正定矩陣.

定義

為輸出測量誤差,則第i個(gè)智能體的觸發(fā)條件為

tik+1=inf{t>tik,fi(t)≥0},

(6)

其中

fi(t)=

‖e

其向量形式為

(L?K)ey(t),

(7)

其中

證明考慮如下Lyapunov函數(shù)

其中P1>0是正定矩陣.

將V1(t)沿著上式求導(dǎo)數(shù)

通過應(yīng)用Young不等式,可得

進(jìn)一步得到

由觸發(fā)條件(6)可得

‖e

因此,有

令ε=λ(L),以及存在一個(gè)正交矩陣U,使得

ULU=diag(0,λ2,λ3,…,λN).

令

有

(I

根據(jù)線性矩陣不等式(5),可以得到

D+‖e

‖A‖‖eyi‖+‖Ayi(tik)‖+

(8)

其中

‖e

(9)

由事件觸發(fā)函數(shù)可得

(10)

成立.

情形 2如果‖A‖=0,則根據(jù)(8)式,可得

同理,有如下不等式

2.2 自適應(yīng)事件觸發(fā)穩(wěn)定性定義

sik+1=inf{t>sik,gi(t)≥0},

(11)

其中

g

ηi(si

b

P2>0滿足

P2A+AP2-2P2BBP2+Q=0,

其中Q>0是任意矩陣.

(12)

分布式自適應(yīng)事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)如下

u

(13)

令σi(t)=xi(t)-x0(t)表示跟蹤誤差,根據(jù)系統(tǒng)(1)和(2)可得

(15)

其中

根據(jù)η(t)的定義,有

η(t)=(H?I

(H?In)σ(t)+(H?I

定理 2.2對于主從多智能體系統(tǒng)(1)和(2),考慮具有自適應(yīng)的觸發(fā)機(jī)制(11)和自適應(yīng)控制器(13).如果假設(shè)1.1和1.2成立,則誤差系統(tǒng)(15)漸近收斂到如下有界區(qū)域

其中

此外,記

βi=1/2((d

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)

V2(t)=V3(t)+V4(t),

(16)

其中

V3(t)=σ(t)(H?P2)σ(t),

ξ

對V2(t)求導(dǎo)得

(17)

令K1=BP2,Γ=P2BBP2,根據(jù)

的定義,有

σ(t)(H?(AP2+P2A)-αH2?Γ)σ(t)-

σ(t)(H?(AP2+P2A)-αH2?Γ)σ(t)-

根據(jù)Young不等式可得

(18)

然后,可以得到

Γηi(si

(19)

根據(jù)Young不等式有

(20)

結(jié)合(17)～(20)式可得

(21)

根據(jù)觸發(fā)函數(shù),可得

δe-ρ(t-sik),

(22)

(di+1)δe

(23)

(24)

根據(jù)圖理論可得

結(jié)合(21)和(24)～(25)式可得

σ(t)(H?(AP2+P2A)-αH2?Γ)σ(t)-

(26)

結(jié)合上述的分析過程,則有

αH2?Γ)σ(t)+φ≤

σ(t)(H?(AP2+P2A-2Γ))σ(t)+φ≤

-τλ(H)λ(Q)‖σ(t)‖2-

(1-τ)λ(H)λ(Q)‖σ(t)‖2+φ.(27)

對任意的τ>0,令

(1-τ)λ(H)λ(Q)‖σ(t)‖2>φ,

可得

最終可以得到

證畢.

觸發(fā)函數(shù)(11)不會發(fā)生Zeno現(xiàn)象,其證明過程與定理1中排除Zeno現(xiàn)象的證明相同,此處省略證明過程.

注 2.1與文獻(xiàn)[13]相比,本文提出了一種自適應(yīng)事件觸發(fā)控制器,通過設(shè)計(jì)合適的自適應(yīng)參數(shù),減少了智能體之間的信息交換并節(jié)省資源.最終,通過引理1.2,解決了主從多智能體系統(tǒng)一致性問題.

3 數(shù)值仿真

為了說明控制協(xié)議的有效性,給出如下的數(shù)值算例.

考慮具有5個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)(1),智能體之間的通訊拓?fù)溆脠D1來描述,并選取如下矩陣

圖 1 通訊拓?fù)鋱DG

取系統(tǒng)的初值為:

x0(0)=(1.5,-1.5),x1(0)=(1,-0.5),

x2(0)=(0.5,0.5),x3(0)=(0.6,1),

x4(0)=(0,0.5).

自適應(yīng)觸發(fā)參數(shù)的初值為:

事件觸發(fā)估計(jì)器參數(shù)為:

圖 2 估計(jì)誤差的狀態(tài)軌跡

圖 3 估計(jì)誤差的狀態(tài)軌跡

圖 4 觸發(fā)時(shí)刻

圖 5 xi1的狀態(tài)軌跡

圖6 xi2的狀態(tài)軌跡

圖7 智能體的觸發(fā)時(shí)刻

圖 8 自適應(yīng)觸發(fā)參數(shù)

圖9 自適應(yīng)觸發(fā)參數(shù)

4 結(jié)論

本文基于觀測自適應(yīng)事件觸發(fā)控制方法,研究了具有一般線性動力學(xué)的主從多智能體系統(tǒng)的一致性問題,并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式技巧得到了主從多智能體系統(tǒng)達(dá)到一致的相關(guān)條件.

致謝天山創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(2020D14017)和天池博士項(xiàng)目(TCBS201803)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.