陶 書, 陳鵬玉

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

解的存在性,其中,是關(guān)于變階q(t)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),函數(shù)f:J×E→E連續(xù),J=[0,T].

近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程在物理、化學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.學(xué)者們利用Banach壓縮映射原理,Krasnoselskii不動點定理、Schauder不動點定理等非線性泛函分析的工具獲得了分?jǐn)?shù)階初邊值問題解的存在性結(jié)果[1-9].文獻[2]利用經(jīng)典的分析方法,研究了分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

文獻[9]利用上下解的單調(diào)迭代技巧,考慮實數(shù)空間R中分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

最近,文獻[10]利用Banach壓縮映射原理,研究了如下變階數(shù)微分方程初值問題

Dds,t>0.

但上述所討論的問題都局限在實數(shù)空間中,在Banach空間中對該類問題的研究相對較少.在一般的Banach空間中,常微分方程作為含無窮維參數(shù)的常微分方程及無窮維常微分方程組的抽象模型,是微分方程中一個重要研究課題[8-23].與普通的常微分方程相比較,抽象空間常微分方程的解算子不再具有緊性,為了對相應(yīng)的解算子應(yīng)用凝聚映射的拓?fù)涠壤碚摷跋嚓P(guān)的不動點定理,通常要給非線性項附加一些用非緊性測度描述的“緊性條件”.

受上述文獻啟發(fā),本文將運用凝聚映射的不動點定理,在Banach空間E中討論變階數(shù)微分方程初值問題

(1)

1 記號和預(yù)備知識

設(shè)E為Banach空間,C(J,E)按范數(shù)

‖u‖C=maxt∈J‖u(t)‖

構(gòu)成Banach空間.α(·)、αc(·)分別表示E、C(I,E)中的有界集Kuratowskii非緊性測度,對任意的B?C(J,E)和t∈J,記

B(t)={u(t)|u∈B}?E,

如果B在C(J,E)中有界,則B(t)在E中有界且α(B(t))≤α(B).

下面給出變階數(shù)Riemann-Liouville型積分和微分的定義.

定義 1.1設(shè)

q(t):[a,b]→(0,+∞), -∞

Iq(t)ds,t>a,

定義 1.2設(shè)

q(t):[a,b]→(n-1,n), -∞

Dq(t)

t>a,

命題 1.1[1]等式

成立,其中f∈L(a,b),0

命題 1.3[1]設(shè)α>0,那么微分方程

Dαa+u=0

有唯一解

u(t)=c1(t-a)α-1+c2(t-a)α-2+

…+cn(t-a)α-n,

其中

ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

命題 1.4[1]設(shè)α>0,u∈L(a,b),

那么下面的等式成立

Iαa+Dαa+u(t)=u(t)+c1(t-a)α-1+

c2(t-a)α-2+…+cn(t-a)α-n,

其中

ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

Ip(t)a+Iq(t)a+f(t)≠Ip(t)+q(t)a+f(t),

p(t)>0,q(t)>0,f∈L(a,b),

-∞

引理 1.1(Sadovskii不動點定理) 設(shè)E是Banach空間,U是E中的有界凸閉集,若T:U→U為凝聚映射,則T在U中有不動點.

定義 1.3[10]一個廣義區(qū)間R的子集I,要么是一個區(qū)間([a,b],(a,b),(a,b],[a,b));一個點{a};或者是空集.

定義 1.4[10]如果I是一個廣義區(qū)間,I的分割是包含在I中的廣義區(qū)間的有限集P中,使得I中的每一個元素x正好位于P中的一個廣義區(qū)間J中.

定義 1.5[10]設(shè)I是一個廣義區(qū)間,設(shè)f:I→R是一個函數(shù),P是I的一個分割,對于每一個J∈P,f是一個關(guān)于p的分段常數(shù),f在J上是常數(shù).

定義 1.6[10]設(shè)I是一個廣義區(qū)間,函數(shù)f:I→R在I上稱為分段常數(shù),如果存在I的分割P,使得f是關(guān)于P的分段常數(shù).

引理 1.2[12]設(shè)D?E有界時,則存在D的可數(shù)子集D0?D,使得

α(D)≤2α(D0).

引理 1.3[12]設(shè)B?C(J,E)有界且等度連續(xù),則α(B(t))在J上連續(xù),且

αC(B)=maxt∈JαC(B(t))=αC(B(J)).

引理 1.4[12]設(shè)B={un}?C(J,E)有界,則α(B(t))在J上可測,且

2 主要結(jié)果

假設(shè)下列條件成立:

(H1) 設(shè)P={[0,T1],(T1,T2],(T2,T3],…,(TN*-1,T]}(N*是給定的自然數(shù))是有限區(qū)間[0,T]的一個分割,又設(shè)q(t):[0,T]→(1,2]是關(guān)于P的分段常數(shù)函數(shù),即

其中，1

(H2) 存在常數(shù)c0,c1>0,使得

‖f(t,u)‖≤c0+c1‖u‖, ?t∈J,u∈E.

(H3) 存在常數(shù)L,滿足

使得對任意的t∈J及有界集D?E,有

α(f(t,D))≤Lα(D).

為了得到主要結(jié)論,首先對方程(1)進行分析.根據(jù)條件(H1),有

因此,可得到

(2)

方程(1)可寫成

0

方程在[0,T1]可寫成

0

(3)

方程在(T1,T2]可寫成

T1

(4)

方程在(T2,T3]可寫成

T2

(5)

同理,方程在(Ti-1,Ti],i=4,5,…,N*,(TN*=T)可寫成

Ti-1

(6)

定義 2.1如果存在函數(shù)ui(t),i=1,2,…,N*,使得u1∈[0,T1]滿足方程(3)且

t2-q1u1(0)=0;

u2∈[0,T2]滿足方程(4)且

t2-q2u2(0)=0;

u3∈[0,T3]滿足方程(5)且

t2-q3u3(0)=0;

ui∈[0,Ti]滿足方程(6)且

t2-qiui(0)=0,i=4,5,…,N*,TN*=T,

那么,方程(1)有一個解.

注 1如果定義2.1的函數(shù)ui(t)是存在的,則方程(1)至少存在一個解,i=1,2,…,N*.

根據(jù)前面的論證,有如下結(jié)果.

定理 2.2假設(shè)條件(H1)～(H3)成立,那么初值問題(2)在區(qū)間[0,T]上至少存在一個解u(t).

證明令Ui={u(t)|u(t)∈C[0,T],

u(0)=0, ‖u(t)‖≤R,

t∈[0,T](i=1,2,…,N*(TN*=T))},

u(t)=c1tq1-1+c2tq1-2+

其中

t2-q1u(0)=0.

由方程(1)的初值條件和函數(shù)f的假設(shè),可得

c1=c2=0.

定義算子T:C[0,T1]→C[0,T1],

0

(7)

則算子T在U1的不動點就是方程(3)的解.

對任意的u(t)∈U1,由于Tu(0)=u(0)=0,Tu(t)在[0,T1]上是連續(xù)的,由方程(7)得

‖Tu(t)‖=

因此,T是U1映到U1的.

對任意的

u∈U1, ?ε>0,t1,t2∈[0,T1],t1

取

那么當(dāng)0

‖(Tu)(t1)-(Tu)(t2)‖=

(t2-s)q1-1]‖f(s,u(s))‖ds+

(c0+c1‖u‖)≤

因此,TU1是等度連續(xù)的,顯然也是一致有界的.令B?U1,由引理1.2知存在可數(shù)子集

B1={un}?B,n=1,2,…,N*,

那么由引理1.3有

α

對任意的t∈J,根據(jù)引理1.4可得

αC(T(B1(t)))=

根據(jù)非緊性測度的性質(zhì)及條件(H3),有

α(f(s,B1(s))≤LαC(B1(s))≤

LαC(B1)≤LαC(B).

于是

αC(T(B1(t))≤

2Lαds,

對該式兩邊取最大值,得

α

αC(T(B))≤2αC(T(B1))<

從而T:U1→U1凝聚.

由Sadovskii不動點定理知,T在U1中有不動點且該不動點為方程(1)的解.方程(2)在區(qū)間(T1,T2]可改寫成方程(4),為了考慮方程(4)解的存在性結(jié)果,可以討論方程(4)在區(qū)間(0,T2]的定義

0

(8)

由此可見,如果函數(shù)u∈C[0,T2],滿足方程(8),那么u(t)一定滿足方程(4).事實上,如果

t2-q2u*∈C[0,T2]

是方程(8)的一個解,那么

Dq20+u*(t)=

0

(9)

且t2-q2u*(0)=0.因此,可以得到

T1

因此,u*∈C[0,T2]與t2-q2u*(0)=0滿足方程

T1

u(t)=c1tq2-1+c2tq2-2+

其中t2-q2u(0)=0.由方程(1)的初值條件和函數(shù)f的假設(shè),可得

c1=c2=0.

定義算子T:C[0,T2]→C[0,T2],

0

(10)

則算子T在U2的不動點就是方程(4)的解.

對任意的u(t)∈U2,由于Tu(0)=u(0)=0,Tu(t)在[0,T2]上是連續(xù)的,由方程(10)得

‖Tu(t)‖=

因此,T是U2映到U2的.

對任意的

u∈U2, ?ε>0,t1,t2∈[0,T2],t1

取

那么當(dāng)0

‖(Tu)(t1)-(Tu)(t2)‖=

所以,TU2是等度連續(xù)的,顯然也是一致有界的.令B?U2,由引理1.2知存在可數(shù)子集

B2={un}?B,n=1,2,…,N*,

那么由引理1.3有

αC(T(B2))=maxt∈JαC(T(B2(t))).

對任意的t∈J,根據(jù)引理1.4可得

αC(T(B2(t)))=

根據(jù)非緊性測度的性質(zhì)及條件(H3),有

α(f(s,B2(s))≤LαC(B2(s))≤

LαC(B2)≤LαC(B).

于是

αC(T(B2(t))≤

2Lαds,

對該式兩邊取最大值,得

α

αC(T(B))≤2αC(T(B1)<

從而T:U2→U2凝聚.

由Sadovskii不動點定理知,T在U2中有不動點且該不動點為方程(1)的解.

同理,對于i=3,4,…,N*,得到定義在(Ti-1,Ti]的方程(2)有解xi(t)∈Ui和t2-qixi(0)=0,(TN*=T).因此,得到初值問題(1)至少存在一個解.

致謝西北師范大學(xué)參與式研討課教學(xué)改革項目對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.