單 影，許 龍，周光平(.中國計(jì)量大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州3008；. 深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電子與通信工程學(xué)院，廣東 深圳 58055)

0 引言

壓電超聲換能器廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)及航空航天中，特別是夾心式壓電換能器因其優(yōu)良的性能而廣泛應(yīng)用于功率超聲和水聲技術(shù)中。夾心式壓電超聲換能器的振動(dòng)模式包括縱向、彎曲、扭轉(zhuǎn)等，其中彎曲振動(dòng)是一種應(yīng)用較普遍的振動(dòng)模式之一[1]。彎曲振動(dòng)換能器主要有：

1) 利用壓電陶瓷片或壓電陶瓷與金屬片組成的復(fù)合雙疊片和三疊片[2-3]。

2) 將多片壓電陶瓷置于兩段細(xì)長的金屬棒間，通過一定的預(yù)應(yīng)力將陶瓷片壓緊，其中壓電陶瓷不是一個(gè)完整的圓環(huán)，是由兩個(gè)相同的半圓環(huán)組成，且其極化方向反轉(zhuǎn)[1]。

3) 利用振動(dòng)模式的轉(zhuǎn)換產(chǎn)生彎曲振動(dòng)[4-6]。

彎曲振動(dòng)換能器應(yīng)用于超聲加工、超聲線束焊接、超聲手術(shù)刀、超聲振動(dòng)切削及超聲電機(jī)等領(lǐng)域。如在精細(xì)加工時(shí)，可利用彎曲振動(dòng)輔助機(jī)械拋光提高材料去除率[7]。文獻(xiàn) [8-9]利用換能器的彎曲振動(dòng)模式制作了一套雙彎曲超聲波橢圓振動(dòng)加工系統(tǒng)。張德元等[10]利用4組半圓形壓電陶瓷制作了雙彎曲超聲橢圓振動(dòng)均可應(yīng)用于超聲削切的產(chǎn)業(yè)加工。文獻(xiàn) [11-14]研制了一種夾心式直線壓電超聲電機(jī)。

壓電超聲換能器需通過超聲變幅桿的聚能作用將換能器的機(jī)械振動(dòng)放大至加工振幅，在超聲振動(dòng)鉆削深小孔與深腔零件和大面積工件的加工中，階梯形變幅桿因其放大效果較好，被廣泛應(yīng)用于超聲處理和超聲加工中[15]。為了提高彎曲換能器的位移振幅，本文設(shè)計(jì)了一種階梯形雙激勵(lì)彎曲夾心式壓電超聲換能器，基于Timoshenko梁彎曲理論推導(dǎo)了其彎曲振動(dòng)的傳遞矩陣?yán)碚撚?jì)算模型，研究了階梯形前蓋板的直徑比對換能器振動(dòng)性能的影響。

1 理論模型

1.1 結(jié)構(gòu)及工作原理

圖1為雙激勵(lì)階梯形彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲換能器的結(jié)構(gòu)原理圖。換能器主要由圓柱形后蓋板、半環(huán)形壓電陶瓷晶堆、中心質(zhì)量塊和階梯形前蓋板組成。L1～L6分別為后蓋板、后半環(huán)形壓電陶瓷晶堆、中心質(zhì)量塊、前半環(huán)形壓電陶瓷晶堆、前蓋板大端和前蓋板小端的軸向長，D1為換能器的前蓋板小端直徑，后蓋板、壓電陶瓷晶堆、中心質(zhì)量塊和前蓋板大端的直徑均為D2。換能器的兩組壓電陶瓷晶堆上半部分的極化方向和下半部分的極化方向相反，如圖1(b)所示，兩組壓電陶瓷晶堆以并聯(lián)方式接入電源。當(dāng)外部的輸入信號頻率與換能器的某一階彎曲共振頻率一致時(shí)，通過逆壓電效應(yīng)，兩組壓電陶瓷晶堆上半部分伸長時(shí)下半部分縮短，反之亦然。

圖1 雙激勵(lì)階梯形彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲

1.2 換能器的理論模型構(gòu)建

根據(jù)換能器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把圖1 (a)所示的雙激勵(lì)階梯形彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲換能器的結(jié)構(gòu)簡化為6部分(見圖2)，每部分看作一個(gè)等截面桿。

圖2 雙激勵(lì)階梯形彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲

根據(jù)Timoshenko彎曲梁理論[16]，等截面桿的彎曲振動(dòng)滿足：

(1)

式中：Y為彎曲總位移;φ為彎曲振動(dòng)引起的截面轉(zhuǎn)角;M0為作用于截面的彎矩;Q為剪應(yīng)力的合力;G為對應(yīng)材料的剪切模量;A0為橫截面積;K′為面積系數(shù)，對應(yīng)圓截面的面積系數(shù)K′=1/1.1;E為對應(yīng)材料的楊氏模量;I為慣性矩;ρ為對應(yīng)材料的密度;A1，A2，B1，B2為待定系數(shù)。

將Y、f、M0、Q參數(shù)構(gòu)建成描述彈性梁彎振的狀態(tài)向量Zi(i=1～7)，則可得:

(2)

同時(shí)將A1，A2，B1，B24個(gè)待定系數(shù)用向量C表示:

(3)

則式(1)、(2)可表示為

Zi=BiC(i=1，2)

(4)

其中：

(5)

當(dāng)考慮彈性梁兩端的邊界條件時(shí)，即：

(6)

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)并消掉待定系數(shù)向量可得：

Zl=BlB0-1Z0

(8)

因此，均勻等截面彈性梁的彎振傳遞方程為

Zl=T1Z0

(9)

換能器的6個(gè)部分可用Z1，Z2，Z3，…，Z7這7個(gè)狀態(tài)向量表示，各狀態(tài)向量滿足以下傳遞方程：

Zi=TiZi-1(i=1～7)

(10)

式中Ti為第i個(gè)部分對應(yīng)的傳遞矩陣，即：

(11)

其中：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

ω=2πf

(32)

式中:li為第i段等截面桿的長度；f為頻率；di為第i段等截面桿的半徑。

夾心式壓電換能器(見圖2)的彎曲振動(dòng)滿足以下向量傳遞關(guān)系：

Z1=T1T2T3T4T5T6Z7=TZ7

(33)

若換能器兩端的彎矩和剪應(yīng)力都為0，則：

(34)

雙激勵(lì)階梯形雙激勵(lì)彎曲振動(dòng)換能器的共振頻率方程：

(35)

由式(35)可知，雙激勵(lì)階梯形雙激勵(lì)彎曲振動(dòng)換能器的共振頻率與換能器各部分材料、尺寸和彎曲共振頻率有關(guān)。當(dāng)換能器的結(jié)構(gòu)尺寸和參數(shù)確定后，通過求解式(35)可得換能器各階彎曲振動(dòng)的共振頻率。

放大系數(shù)M是衡量換能器振動(dòng)性能的一個(gè)重要參數(shù)，定義放大系數(shù)為換能器在特定諧振模式下輸出端位移振幅Yi+1與輸入端位移振幅Y1的比值，即：

M=|Yi+1/Y1|

(36)

在兩端自由的條件下，由式(8)可得

(37)

將式(37)代入式(36)可得

(38)

2 理論模型驗(yàn)證

換能器的階梯形前蓋板和中心質(zhì)量塊選用7075硬鋁，半環(huán)形壓電陶瓷晶堆采用PZT-8，圓柱形后蓋板選用45#鋼，其材料參數(shù)如表1、2所示。

表1 金屬材料參數(shù)

表2 壓電陶瓷參數(shù)

本文中，換能器的L1=20 mm，L2=L4=5 mm，L3=15 mm，L5=20 mm，L6=50 mm，D1=30 mm，D2=45 mm。當(dāng)換能器的材料及尺寸參數(shù)確定后，由式(7)可得換能器彎曲共振的頻率響應(yīng)曲線，如圖3所示。由圖可知，在頻率0～35 000 Hz內(nèi)，換能器的一～四階彎曲共振頻率分別為7 649 Hz、16 974 Hz、24 715Hz和33 165 Hz。

圖3 理論模型計(jì)算共振頻率

基于理論計(jì)算所得換能器的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，在Comsol有限元仿真軟件中的結(jié)構(gòu)力學(xué)模塊下選擇壓電耦合場，建立與理論計(jì)算模型完全一致的換能器三維有限元仿真模型。通過分割域?qū)弘娞沾善譃楠?dú)立的兩部分，即換能器的兩組壓電陶瓷晶堆上半部分的極化方向和下半部分的極化方向相反。兩組壓電陶瓷晶堆以并聯(lián)方式接入電源，激發(fā)兩組壓電陶瓷晶堆上半部分?jǐn)U張時(shí)下半部分收縮，反之亦然，從而激發(fā)換能器整體的彎曲振動(dòng)。通過模態(tài)分析可得雙激勵(lì)彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲換能器的前4階彎曲振動(dòng)模態(tài)振型圖，如圖4所示。

圖4 換能器前4階彎曲振動(dòng)模態(tài)

表3為理論計(jì)算與有限元仿真的換能器前4階共振頻率值。表中，ft為利用傳遞矩陣模型理論計(jì)算所得共振頻率，fc為有限元仿真所得頻率，Δ=|ft-fc|/fc為理論與仿真計(jì)算結(jié)果的相對誤差。

表3 理論計(jì)算數(shù)值與有限元仿真值對比

由表3可看出，理論計(jì)算值與有限元仿真值間的相對誤差為1.10%～3.36%，表明本文基于Timoshenko彎曲梁理論推導(dǎo)的雙激勵(lì)彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲換能器共振頻率方程的理論計(jì)算精度較高，且階數(shù)越高，其誤差越小，這也說明Timoshenko彎曲梁理論尤其適合換能器的高階彎曲振動(dòng)的理論分析。

表4為理論計(jì)算和有限元仿真所得換能器前4階彎曲振動(dòng)模態(tài)對應(yīng)的放大系數(shù)。由表可知，由兩種方法所得各階彎曲振動(dòng)模態(tài)下?lián)Q能器的放大系數(shù)基本一致，不同的彎曲振動(dòng)模態(tài)對應(yīng)不同的放大系數(shù)。

表4 理論計(jì)算和有限元仿真所得換能器的放大系數(shù)

由表3、4可知，由兩種方法計(jì)算的換能器的共振頻率和放大系數(shù)基本一致，二者偏差主要來源：

1) 基于Timoshenko彎曲梁理論構(gòu)建換能器的理論模型時(shí)，把壓電陶瓷晶堆看作是各項(xiàng)同性的陶瓷彈性材料，未考慮壓電陶瓷的壓電效應(yīng)，而有限元仿真過程中考慮了壓電陶瓷晶堆的壓電效應(yīng)。

2) 兩種方法基于的理論基礎(chǔ)不同(分別為波動(dòng)方程法和有限元法)，也會(huì)帶來計(jì)算結(jié)果的偏差。

3 諧響應(yīng)分析

在有限元軟件Comsol中通過頻域分析獲得換能器頻響曲線，如圖5所示。由圖可知，在0～35 000 Hz的頻率范圍內(nèi)有4個(gè)共振峰，每個(gè)共振峰的波谷對應(yīng)的頻率值為換能器共振頻率fc，波峰對應(yīng)的頻率值為反共振頻率fp。

圖5 換能器的阻抗Z隨頻率的變化關(guān)系曲線

在各階彎曲振動(dòng)模式下?lián)Q能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)keff為

(39)

表5為有限元仿真所得換能器的共振、反共振頻率和有效機(jī)電耦合系數(shù)。由表可知，換能器在低階(一、二階)彎曲振動(dòng)模式下keff大，高階彎曲振動(dòng)模式下keff小，二階彎曲振動(dòng)模式下keff最大。由圖4可知，在二階彎曲振動(dòng)模式下，換能器的兩組壓電陶瓷晶堆均靠近換能器的彎曲振動(dòng)位移節(jié)點(diǎn)。因此，在二階振動(dòng)模式下?lián)Q能器的兩組壓電陶瓷晶堆均受到較大的應(yīng)力作用，從而具有較高的機(jī)電轉(zhuǎn)換效率。由此可知，在設(shè)計(jì)彎曲振動(dòng)換能器時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)較高的機(jī)電轉(zhuǎn)換效率，需要把壓電陶瓷晶堆設(shè)計(jì)在換能器的位移節(jié)點(diǎn)附近。

表5 有限元仿真所得換能器的fc、fp、keff

4 振動(dòng)性能分析

為了研究階梯形前蓋板的徑向尺寸對換能器的彎曲共振頻率及放大系數(shù)M的影響，定義N是前蓋板大端直徑D2與小端直徑D1之比，即N=D2/D1。當(dāng)換能器的階梯形D2固定后，通過改變D1可改變N值。

圖6為理論計(jì)算與有限元仿真所得換能器的各階彎曲共振頻率與N的變化關(guān)系。由圖可知，隨著N的增大，前4階共振頻率均降低，且兩種方法所得共振頻率隨N的變化規(guī)律一致。

圖6 前4階模態(tài)下共振頻率隨N的變化

圖7為理論計(jì)算與有限元仿真所得換能器M與N的變化關(guān)系。由圖可知，隨著N的增大，前4階彎曲共振模式下M均增大，其中在二階彎曲振動(dòng)模式下N對M的影響相對較小，兩種方法所得M隨N的變化規(guī)律完全一致。

圖7 前4階模態(tài)下M隨N的變化

5 結(jié)論

基于Timoshenko梁彎曲理論推導(dǎo)了雙激勵(lì)階梯形彎曲振動(dòng)夾心式壓電超聲換能器的傳遞矩陣?yán)碚撚?jì)算模型，并與有限元仿真進(jìn)行對比，兩種方法所得結(jié)果吻合良好。研究結(jié)果表明：

1) 基于Timoshenko梁彎曲理論推導(dǎo)的換能器的傳遞矩陣設(shè)計(jì)理論尤其適合換能器的高階彎曲振動(dòng)分析。

2) 換能器在低階(一、二階)彎曲振動(dòng)模式下的有效機(jī)電耦合系數(shù)大，高階彎曲振動(dòng)模式下?lián)Q能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)小，特別是二階彎曲振動(dòng)模式下?lián)Q能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)最大。

3) 換能器的N越大，其各階共振頻率越低。

4) 隨著換能器的N增大，前4階彎曲共振模式下?lián)Q能器的M均增大，其中在二階彎曲振動(dòng)模式下N對M的影響相對較小。

此外，在彎曲振動(dòng)壓電換能器的設(shè)計(jì)過程中，為了獲得較大的機(jī)電轉(zhuǎn)換效率，需要把壓電陶瓷晶堆設(shè)計(jì)在換能器的彎曲振動(dòng)位移節(jié)點(diǎn)處。