白 柳，羅金良，胡鵬飛，任 雪

（南華大學(xué)機械工程學(xué)院，湖南衡陽 421001）

0 引言

隨著科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展，機器人已經(jīng)成為人們生產(chǎn)與生活中不可或缺的重要裝備，四足機器人由于擁有輪式和履帶式機器人無法比擬的運動靈活性與環(huán)境適應(yīng)性，在某些特定場合有十分重要的研究意義，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于災(zāi)害救援、物資運送和家庭陪伴[1-3]。當(dāng)前，四足機器人的結(jié)構(gòu)多為剛性結(jié)構(gòu)，主要集中在機器人步態(tài)的轉(zhuǎn)化和運動過程中穩(wěn)定性與不規(guī)則地形的適應(yīng)能力的研究[4-5]，缺少了對四足哺乳動物運動中起重要作用柔性脊柱的研究。生物研究結(jié)果表明，四足哺乳動物在運動過程中，脊柱會伴隨著腿部的擺動而進行周期性的伸展和彎曲，不僅能夠增大運動過程中的推力，還可以調(diào)整運動過程中的姿態(tài)[6]。四足哺乳動物作為四足機器人研究最好的藍(lán)本，為了使四足機器人擁有更好的運動性能，四足機器人也逐漸由剛性軀干向脊柱型柔性軀干發(fā)展。

2013年，麻省理工學(xué)院仿生機器人實驗室發(fā)布了一款含脊柱的四足機器人MITCheetah，該機器人由多個剛性硬質(zhì)塑料的椎骨和柔性環(huán)形聚氨酯的椎盤通過纜繩串聯(lián)而成，并將纜繩的末端與腿部的差速器相連實現(xiàn)制動，在Cheetah的運動過程中，柔性脊柱伴隨著軀體的運動呈現(xiàn)出不同的運動形態(tài)，使得四足機器人擁有了較高的速度和能量利用率[7]。北京交通大學(xué)張秀麗等[8]設(shè)計了由中樞模式發(fā)生器（CPG）控制的一款主動脊柱柔性機器人，并發(fā)現(xiàn)柔性脊柱的加入能夠增大四足機器人運動步長，減少運動過程中足端力。

柔性脊柱單元的加入給四足機器人的控制帶來新的挑戰(zhàn)。針對傳統(tǒng)位置控制穩(wěn)定性差，CPC控制效率低的問題，本文基于虛擬模型控制原理，在四足機器人關(guān)節(jié)與質(zhì)心處添加虛擬構(gòu)件，根據(jù)理論分析設(shè)定期望值。在四足機器人運動過程中實現(xiàn)實時控制，從而實現(xiàn)四足機器人穩(wěn)定高效控制。

1 機器人運動學(xué)分析

1.1 柔性脊柱型四足機器人機構(gòu)設(shè)計

圖1所示為一款由舵機驅(qū)動含被動柔性脊柱的12自由度機器人。腿部為全肘式設(shè)計，其中舵機1通過舵機擺臂與球頭連桿裝置控制膝關(guān)節(jié)的前擺，舵機2、舵機3分別控制機器人髖關(guān)節(jié)的前擺與側(cè)擺。柔性脊柱是由柔性椎盤與剛性椎骨通過鋼絲纜繩串聯(lián)在前后機架上。

圖1 被動柔性脊柱四足機器人模型

1.2 四足機器人正運動學(xué)分析

如圖2所示，建立脊柱型四足機器人運動學(xué)分析所需坐標(biāo)系。坐標(biāo)系{W}為大地坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{B}為機體質(zhì)心坐標(biāo)系，坐標(biāo)系{0}、{1}、{2}、{3}分別為髖橫向關(guān)節(jié)與機體固定連接坐標(biāo)系、髖縱向關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和足端坐標(biāo)系。以機器人左前腿為例，其D-H參數(shù)表如表1所示。

圖2 脊柱型四足機器人運動學(xué)模型

表1 四足機器人左前腿D-H參數(shù)

由相鄰桿件坐標(biāo)變換矩陣

可得：

足端坐標(biāo)系{3}相對于髖橫向關(guān)節(jié)與機體固定連接坐標(biāo)系{0}的位姿可以用齊次變換描述為：

式 中：si=sinθi;ci=cosθi;s23=sin(θ2+θ3);c23=cos(θ2+θ3)。其中i=1，2，3。下同。

1.3 四足機器人逆運動學(xué)分析

因此可得：

聯(lián)立，可分別求解θ1、θ2、θ3。

1.4 雅克比矩陣

其中：

2 機器人步態(tài)選擇與足端軌跡規(guī)劃

四足動物的的主要步態(tài)分為：walk（行走）；trot（對角小跑）；bound（跳躍）；gallop（奔跑）等。其中trot步態(tài)是一種常見的動態(tài)步態(tài)，其特征為對角線的兩條腿運動一致，即同時處于擺動相或支撐相。研究表明，trot步態(tài)適用于中低速的四足機器人的運動，有較大的速度范圍，并且在中低速下的trot步態(tài)具有最高的能量效率[9]，因此trot廣泛用于四足機器人的研究中。本文也采用此步態(tài)，并將占空比設(shè)置為0.5。圖3所示為trot步態(tài)運動時序圖。

圖3 trot步態(tài)運動時序圖

為了讓機器人達到理想的步態(tài)，足端軌跡規(guī)劃需要滿足：運行平穩(wěn)，行走過程中沒有明顯的上下波動，各關(guān)節(jié)無較大的沖擊，速度與加速度連續(xù)沒有畸點。抬腿與落地瞬間能夠零沖擊抬腿與軟著陸，避免足端與地面之間產(chǎn)生滑動，無拖地現(xiàn)象。因此選取復(fù)合擺線作為足端軌跡，設(shè)定步長S=100 mm，步高H=50 mm，周期T=2T0=1.6 s。

復(fù)合擺線一個周期內(nèi)擺動相足端軌跡如下：

復(fù)合擺線一個周期內(nèi)支撐相足端軌跡如下：

四足機器人一個周期內(nèi)足端軌跡如圖4所示。

圖4 機器人一個周期內(nèi)足端軌跡

3 基于虛擬模型控制理論的四足機器人分析

3.1 VMC控制原理

虛擬模型控制方法VMC（Virtual Model Control），是由波士頓動力公司Raibert提出三段式控制方法，將足式機器人的運動等效為單足跳躍模型，并將其控制分解為前進速度、彈跳高度、姿態(tài)控制3部分[10]。其核心思想是利用虛擬構(gòu)件來連接機器人的各個作用點，或者連接作用點與外部環(huán)境，以產(chǎn)生相應(yīng)的虛擬力使機器人完成期望運動。這些虛擬力通過雅克比矩陣計算得到期望關(guān)節(jié)力矩，作為關(guān)節(jié)力矩的輸入，驅(qū)動機器人運動以產(chǎn)生和虛擬構(gòu)件相同的作用效果[11]。VMC控制是一種簡單且有效的控制方法，控制效率高，穩(wěn)定性好，因此非常適用于足式機器人的研究上，國內(nèi)上海交通大學(xué)的陳佳品[12]驗證了VMC在四足機器人模型上的可行性。

在足式機器人運動控制中，常用彈簧與阻尼器做為虛擬構(gòu)件，所加的虛擬力可以寫成：

式中：Fvmc為虛擬構(gòu)件產(chǎn)生的虛擬力；ku和bu分別為彈簧剛度系數(shù)和阻尼器阻尼系數(shù)；u和u?分別為相應(yīng)廣義坐標(biāo)下的實時位移和速度；下標(biāo)d表示期望值。

虛擬力不是實際存在的作用力或力矩，機器人的最終運動通過關(guān)節(jié)力矩來實現(xiàn)，已知足端虛擬輸出力可以求得各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)力矩τ=

3.2 擺動相VMC控制

擺動相擺動腿的運動控制是通過在擺動腿實時足端位置與期望足端位置之間添加虛擬彈簧阻尼構(gòu)件來實現(xiàn)。當(dāng)擺動足沿著規(guī)劃的復(fù)合擺線運動時，虛擬力作用下會“牽引”其產(chǎn)生相應(yīng)的運動。以左前腿為例（右后腿相同），如圖5所示。

圖5 擺動相控制虛擬構(gòu)件

虛擬力如下：

則擺動腿各關(guān)節(jié)期望的關(guān)節(jié)力矩為：

在期望的關(guān)節(jié)力矩的驅(qū)動下，擺動軌跡的精度控制取決彈簧剛度系數(shù)和阻尼器阻尼系數(shù)，因此只要選擇合適的控制系數(shù)，擺動腿即可在可接受的誤差范圍內(nèi)擺動。

3.3 支撐相VMC控制

支撐相支撐腿的運動控制是通過在支撐腿的髖部關(guān)節(jié)設(shè)置虛擬構(gòu)件來實現(xiàn)：一個x方向的阻尼器調(diào)節(jié)機器人x方向的速度，一個y方向的阻尼器調(diào)節(jié)機器人y方向的速度，一個z方向的彈簧阻尼器控制機體z方向的高度。支撐相機體姿態(tài)角的控制是通過在軀干質(zhì)心處安裝彈簧阻尼器進行調(diào)節(jié)。以左后腿為例（右前腿相同），如圖6所示。

圖6 支撐相控制虛擬構(gòu)件

支撐相髖部虛擬力：

則支撐腿各關(guān)節(jié)期望的關(guān)節(jié)力矩：

支撐相除了對支撐腿存在運動控制，其對機體軀干的運動控制主要是通過對俯仰角α、橫滾角β、偏航角γ進行控制。其中α是由于前后支撐腿存在高度差產(chǎn)生，β是由于雙足支撐機體不穩(wěn)定易發(fā)生翻轉(zhuǎn)產(chǎn)生，γ是由于四足機器人前進過程中擺動腿落地與地面存在相互作用產(chǎn)生。在本文中，期望機器人運行過程中機體始終平行于地面不會發(fā)生側(cè)翻且能夠沿著固定方向直線行走，即α、β、γ期望值都是0。

俯仰角α的控制主要是通過控制前后支撐腿高度來實現(xiàn)，軀干高度h為質(zhì)心在Xw-Zw平面內(nèi)兩支撐腿沿著z方向的距離（假設(shè)β=0）。

式中：zF、zH分別為前后支撐腿髖關(guān)節(jié)相對于世界坐標(biāo)系的數(shù)值，機器人機體的期望高度hd=-zd，因此四足機器人行走過程走只需保持前后支撐腿髖關(guān)節(jié)高度一致即可實現(xiàn)對俯仰角的控制，即：

橫滾角β與偏航角γ的控制是在脊柱單元上添加虛擬彈簧阻尼構(gòu)件控制，產(chǎn)生的虛擬力矩為：

式中：kβ、kγ為彈簧剛度系數(shù)；kβ?、kγ?為阻尼器阻尼系數(shù)；β?和γ?分別為四足機器人實時橫滾角和偏航角的角速度；下標(biāo)d表示期望值。

3.4 運動控制框圖

基于上述闡述，得到VMC支撐相與VMC擺動相的控制法則，進而求得支撐相與擺動相對應(yīng)的期望關(guān)節(jié)力矩，通過計算轉(zhuǎn)換成為舵機可以識別的角度信號，然后輸出到各關(guān)節(jié)，實現(xiàn)對柔性脊柱四足機器人的運動控制，其控制框圖如圖7所示。

圖7 柔性脊柱四足機器人控制框圖

4 仿真分析

采用Matlab和Adams聯(lián)合仿真柔性脊柱四足機器人的trot步態(tài)。機器人一個周期內(nèi)腿部相位圖如圖8所示，從2 s機器人運行平穩(wěn)后在Adams中得到機器人的仰俯角、橫滾角、偏航角的變化如圖9所示。其中仰俯角最大變化范圍在3.5°以內(nèi)，橫滾角的最大變化范圍在3°以內(nèi)，偏航角基本在0°范圍內(nèi)變化。雖然機器人足端在觸地瞬間會對姿態(tài)變化產(chǎn)生輕微影響，但是四足機器人對角步態(tài)整體運行平穩(wěn)。

圖8 四足機器人一個周期內(nèi)各腿相位

圖9 機器人仰俯角、橫滾角、偏航角變化

5 結(jié)束語

針對被動脊柱四足機器人穩(wěn)定行走的問題，以四足哺乳動物為原型設(shè)計了一種含有脊柱關(guān)節(jié)的四足機器人，通過正逆運動學(xué)分析和足端軌跡的規(guī)劃，實現(xiàn)了虛擬模型控制四足機器人trot步態(tài)的穩(wěn)定行走。仿真結(jié)果表明機器人行走過程中無側(cè)翻與明顯的滑動，驗證了被動柔性脊柱關(guān)節(jié)的加入能夠提高四足機器人的運動性能，證實本文提出的控制策略能夠滿足柔性脊柱四足機器人的穩(wěn)定行走，對含脊柱四足機器人的研究設(shè)計和運動性能的改善具有理論指導(dǎo)意義。