俞思源，胡雄心，胡勇軍※

（1.杭州應(yīng)用聲學研究所，杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學，杭州 310014）

0 引言

在當今環(huán)境破壞和能源短缺的雙重危機下，傳統(tǒng)電力工業(yè)正面臨著巨大的壓力。而微電網(wǎng)的應(yīng)用在緩解傳統(tǒng)電力工業(yè)壓力方面能起到實質(zhì)性的作用。但是因微電網(wǎng)自身的特點，其應(yīng)用效果極大程度上受到分布式電源的不穩(wěn)定性和發(fā)用電錯時能量損失的影響。如此一來，優(yōu)秀穩(wěn)定的快速充放電特性和大儲能量就成了微網(wǎng)中的儲能設(shè)備所不可或缺的特點。因磁懸浮飛輪電池相比于其他儲能設(shè)備，具備獨有的、快速的充放電特性、無限制的充放電次數(shù)、高儲能密度和環(huán)境友好等優(yōu)點，十分適用于微網(wǎng)儲能[1-2]。而今磁懸浮飛輪電池的大儲能容量和高功率是世界各國的研究重點。然而，提高飛輪電池儲能容量的同時在一定程度上勢必會增加其體積和重量，從而給支撐結(jié)構(gòu)、控制系統(tǒng)和整體系統(tǒng)功耗及穩(wěn)定性提出了多方面的難題。

此外，在微電網(wǎng)儲能中采用飛輪電池具有數(shù)量的限制。因此飛輪電池單個存儲容量相比于其他領(lǐng)域的應(yīng)用需更高。飛輪的轉(zhuǎn)動慣量因其重量和體積上的限制而沒有很大的增加空間。因此提升飛輪的旋轉(zhuǎn)速度是使飛輪電池達到高存儲容量最直接而有效的措施[3]。然而飛輪轉(zhuǎn)子隨著其轉(zhuǎn)速的提升會跨越其臨界轉(zhuǎn)速甚至是多階臨界轉(zhuǎn)速從而達到柔性狀態(tài)成為柔性轉(zhuǎn)子。這會極大增加系統(tǒng)的控制難都和功耗，其穩(wěn)定性也會受到很大影響。因此，合理飛輪結(jié)構(gòu)是其系統(tǒng)性能好壞的關(guān)鍵因素之一。

本文以傳統(tǒng)柔性轉(zhuǎn)子的動力學模型為研究基礎(chǔ)，綜合考慮其結(jié)構(gòu)特性及支撐特性對其臨界轉(zhuǎn)速的影響，設(shè)計一種新型磁懸浮儲能飛輪，意在提高其彎曲臨界轉(zhuǎn)速，減小軸向尺寸以及支撐系統(tǒng)的復(fù)雜性，從而在滿足指定的儲能目標下提高磁懸浮飛輪電池的動態(tài)穩(wěn)定性，減小體積和質(zhì)量和系統(tǒng)功耗。

1 磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子的設(shè)計

工作時，磁懸浮飛輪電池的飛輪始終運行在超高轉(zhuǎn)速下。同時其采用磁軸承支撐，此種支撐方式為非接觸式支撐。因此磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子的設(shè)計需要根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學特性、材料特性、支撐結(jié)構(gòu)及其參數(shù)特性和轉(zhuǎn)子本身結(jié)構(gòu)特性進行綜合考慮進行設(shè)計。

微網(wǎng)中磁懸浮儲能飛輪工作在超高轉(zhuǎn)速。而普通高轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子都會跨越1階甚至多階臨界轉(zhuǎn)速，變成一種柔性的轉(zhuǎn)子。因此要設(shè)計合理的飛輪結(jié)構(gòu)，單單對剛性轉(zhuǎn)子進行動力學研究已經(jīng)不夠。Jeffcott轉(zhuǎn)子是一種經(jīng)典的柔性轉(zhuǎn)子。很多地方稱其為Laval轉(zhuǎn)子[4]，如圖1所示。因其結(jié)構(gòu)特點人們都用它來模擬典型的磁懸浮飛輪柔性轉(zhuǎn)子進行轉(zhuǎn)子動力學特性的研究。按其結(jié)構(gòu)特點，可以將Laval轉(zhuǎn)子劃分為3個部分：轉(zhuǎn)軸、飛輪圓盤和支撐軸承。進而分別建立剛性圓盤運動微分方程[5]、彈性軸段的運動微分方程和磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子運動方程[4]，從而建立磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子運動方程[6]。

圖1 Jeffcott轉(zhuǎn)子

參考磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子動力學模型可知磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子的彎曲臨界轉(zhuǎn)速跟其自身結(jié)構(gòu)尺寸特性以及磁懸浮軸承的支撐方式和支撐特性有著密不可分的關(guān)系。通過對轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速及振動模態(tài)的有限元法仿真分析可知，在控制磁軸承支撐剛度數(shù)量級（107 N/m以內(nèi)）的前提下[7]，飛輪轉(zhuǎn)子軸向尺寸減小，飛輪與轉(zhuǎn)軸的直徑比增大，減小支撐跨度和軸伸長度，增加單邊軸長支撐個數(shù)以及增加單個軸承支撐長度都有利于提高飛輪轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速[8]。

從以上結(jié)論出發(fā)，參考Laval轉(zhuǎn)子動力學模型以及微網(wǎng)對磁懸浮儲能飛輪的要求，設(shè)計了一種新型磁懸浮飛輪及其支撐結(jié)構(gòu)，如圖2所示。按此方案，接下來可進行飛輪轉(zhuǎn)子的詳細設(shè)計。

圖2 新型磁懸浮飛輪及支撐結(jié)構(gòu)

1.1 飛輪電池的存儲能力及儲能密度

飛輪旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的儲能量最大為：

式中：J為飛輪轉(zhuǎn)動慣量；ωmax為飛輪角速度，rad/s。

飛輪有最低轉(zhuǎn)速和最高額定轉(zhuǎn)速，可用來存儲的能量為：

飛輪的容量確定以后，需優(yōu)化飛輪的質(zhì)量、價格和體積。通常用3個指標來評價飛輪電池[9]。

質(zhì)量能量密度：

體積能量密度:

性價比(價格能量密度):

式中：m為飛輪質(zhì)量；Ks為飛輪形狀系數(shù)；[ ]σ為飛輪材料需用應(yīng)力；ρ為飛輪材料密度；β為飛輪內(nèi)外徑比；ν為材料泊松比；vo為飛輪體積；c為飛輪單位質(zhì)量的價格。

質(zhì)量能量密度即通常說的質(zhì)量密度和能量密度。本文所要設(shè)計的飛輪需對其質(zhì)量密度以及能量密度進行綜合考量。故采用綜合能量密度作為指標來優(yōu)化飛輪，即：

1.2 飛輪的材料特性

根據(jù)評價指標，飛輪電池的儲能密度極大部分由其材料特性決定。金屬材料和復(fù)合材料是目前飛輪主要采用的兩類材料[9]。飛輪材料類型的選擇需綜考慮設(shè)計目標、使用場合以及相關(guān)的約束條件，而比強度是人們在選擇材料時需綜合考慮相關(guān)約束條件，而比強度是考慮的重點。

等厚圓盤飛輪儲能密度值和飛輪通常所用材料的關(guān)鍵特性如表1所示[9]。從表格數(shù)據(jù)可以看出，在儲能密度方面對比，高強度復(fù)合纖維材料的優(yōu)勢遠遠大于金屬材料。且在安全性方面，金屬材料飛輪在超過極限轉(zhuǎn)速發(fā)生破壞時，會炸成很多高速運動的金屬塊，具有極大安全隱患。而復(fù)合材料飛輪密度小但是強度高，且發(fā)生破壞時，材料只變成絮狀絨毛，沒有破壞力[9]。此外復(fù)合材料的資源也相對豐富，價格也較低。因此纖維復(fù)合材料非常適合用于制作飛輪。

表1 飛輪常用材料的特性和儲能密度

1.3 飛輪的結(jié)構(gòu)特性

由式（6）能看出，飛輪的儲能密度受其形狀影響較大。在飛輪形狀和結(jié)構(gòu)方面，Horner對其進行了專門分析。人們一般用不同的形狀系數(shù)來對應(yīng)飛輪的斷面形狀來衡量其材料的利用效率[10]。常見形狀的各向同性飛輪的形狀系數(shù)如圖3所示，后面3種結(jié)構(gòu)形式可適用于各向異性飛輪[11]。圖4所示為對纖維纏繞復(fù)合材料飛輪的結(jié)構(gòu)進行列舉和比較。通過結(jié)構(gòu)及形狀系數(shù)值對比可以看出：當飛輪材料是各同性材料時，采用常應(yīng)力圓盤結(jié)構(gòu)能得到更高的儲能密度；而當由各向異性的材料制成時，采用薄輪緣結(jié)構(gòu)的飛輪的儲能密度相對較高[12]。

圖3 飛輪的形狀系數(shù)

圖4 纖維纏繞復(fù)合材料飛輪的結(jié)構(gòu)對比

由式（1）可知，飛輪的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動慣量是飛輪的儲能量的決定因素。為了提高飛輪儲能量，轉(zhuǎn)動慣量的提高勢必造成飛輪直徑和質(zhì)量的增加。這與儲能飛輪的設(shè)計準則背道而馳。相比而言，提高飛輪轉(zhuǎn)速是在重量和空間有限的情況下最為有效的途徑。

結(jié)合以上分析，本文飛輪材料優(yōu)選碳纖維復(fù)合材料，輪緣優(yōu)選薄輪緣結(jié)構(gòu)。

1.4 飛輪輪緣的設(shè)計

本文飛輪的尺寸和最高轉(zhuǎn)速參考飛輪的破壞準則進行設(shè)計。使飛輪達到最大儲能能量時剛好工作在極限轉(zhuǎn)速。同時為了提高飛輪的綜合評價指標，需盡量控制飛輪的質(zhì)量和體積，使得在有限空間內(nèi)材料的利用率能最大化。

按飛輪轉(zhuǎn)動時的應(yīng)力分布情況可知，其環(huán)向應(yīng)力在內(nèi)徑邊緣處最大，在χ=β處徑向應(yīng)力最大[11]，其表達式為：

式中：vR為飛輪邊緣線速度。

各向異性材料飛輪輪緣的強度約束為：

式中：Fθ為復(fù)合材料環(huán)向許用應(yīng)力；Fr為復(fù)合材料切向許用應(yīng)力。

得到飛輪輪緣能達到的極限線速度值：

圖5中飛輪輪緣結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量為：

圖5 飛輪輪緣結(jié)構(gòu)

得到飛輪的最大儲能量：

由式（6）可知，在飛輪材料確定后，β是其儲能密度綜合指標提高的關(guān)鍵因素。對式（6）求最大值，可知在β=β0處綜合能量密度得到最大值。

輪緣材料用碳纖維T700，其材料參數(shù)如表2所列。安全系數(shù)定為1.5，計算出β0≈0.4882，則則：

表2 碳纖維T700材料屬性

取h=150 mm，則R≈296.398mm，取R=300 mm，則r=βR≈144.7mm，取r=140 mm。飛輪輪緣的設(shè)計值如表3所示。

表3 飛輪輪緣設(shè)計參數(shù)

1.5 飛輪輪轂的設(shè)計

輪轂對輪緣起著支撐作用，其剖面形狀和飛輪輪緣結(jié)構(gòu)形狀類似，分為實心、類空心和空心3類。輪轂會同輪緣一起進行高速旋轉(zhuǎn)，也具備一定的儲能作用。因此從儲能和強度方面考慮，需要進行結(jié)構(gòu)優(yōu)選和最高線速度分析。本文根據(jù)飛輪結(jié)構(gòu)特性，輪轂優(yōu)先采用空心盤式結(jié)構(gòu)。結(jié)合電機及磁懸浮軸承支撐系統(tǒng)的配置，本文設(shè)計的飛輪輪轂結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 輪轂結(jié)構(gòu)

參考現(xiàn)今世面上輪轂常用材料，本文優(yōu)選高強度鋁合金來制作輪轂。其材料主要相關(guān)參數(shù)如表4所示。

表4 高強度鋁合金相關(guān)參數(shù)

根據(jù)前面設(shè)計的飛輪輪緣尺寸，得到輪轂外徑r1=r=140 mm，取r2=120 mm，輪緣的高度H=180 mm。參照式（10）計算出輪轂邊緣的最大線速度為(vg)max≈435.87m/s，極限轉(zhuǎn)速(ng)max≈29 730 r/min。由此可以得出(ng)max

1.6 飛輪的總體結(jié)構(gòu)

根據(jù)輪緣和輪轂的設(shè)計，將兩者裝配后即得到飛輪總體結(jié)構(gòu)，如圖7所示。從飛輪總體結(jié)構(gòu)可以看出，本文從綜合儲能評價指標下優(yōu)化設(shè)計飛輪結(jié)構(gòu)的同時，在有限的空間上兼顧優(yōu)化設(shè)計了飛輪支撐結(jié)構(gòu)的布置及驅(qū)動電機的布置，得到了結(jié)構(gòu)較為緊湊的飛輪。

圖7 飛輪總體結(jié)構(gòu)

2 磁懸浮飛輪仿真分析

利用SAMCEFROTOR軟件進行飛輪建模，賦予各部分材料特性，并進行網(wǎng)格劃分。如圖8所示。

圖8 飛輪有限元和網(wǎng)格劃分模型

分別分析飛輪固有模態(tài)和采用磁軸承支撐下的臨界轉(zhuǎn)速和模態(tài)，以驗證設(shè)計結(jié)果。

2.1 飛輪的固有模態(tài)分析

通過軟件仿真計算得到自由狀態(tài)下飛輪的前4階固有頻率和模態(tài)振型，如表5和圖9所示。從計算值和模態(tài)振型圖可知，本飛輪1階固有頻率達到了較高值，其結(jié)構(gòu)在設(shè)計上是成功的。

表5 自由狀態(tài)下飛輪前4階固有頻率Hz

圖9 自由狀態(tài)下飛輪的振動模態(tài)

2.2 磁軸承支撐下飛輪模態(tài)分析

按前述支撐結(jié)構(gòu)方案，在飛輪支撐位上賦予磁軸承的支撐特性和數(shù)值。仿真計算出其前3階臨界轉(zhuǎn)速，如表6所示。飛輪的臨界轉(zhuǎn)速可在坎貝爾圖中表現(xiàn)出，即紅線和其余線交點的縱坐標值，如圖10所示。

表6 在磁軸承支撐條件下飛輪的臨界轉(zhuǎn)速r/min

圖10 磁軸承支撐條件下飛輪坎貝爾圖

飛輪在所設(shè)計的支撐方案下的前3階振動模態(tài)如圖11所示。從振動模態(tài)來看，綜合轉(zhuǎn)子坎貝爾圖分析可知，飛輪的2階模態(tài)振型對應(yīng)的是其1階臨界轉(zhuǎn)速，此時發(fā)生的是剛性晃動。而3階模態(tài)振型則與2階臨界轉(zhuǎn)速匹配，此時飛輪發(fā)生了彎曲變形，成為柔性轉(zhuǎn)子。故2階臨界轉(zhuǎn)速即為飛輪彎曲臨界轉(zhuǎn)速。根據(jù)之前的計算可知，飛輪的極限轉(zhuǎn)速為29 730 r/min，遠低于飛輪的彎曲臨界轉(zhuǎn)速。飛輪在達到柔性狀態(tài)前就已經(jīng)發(fā)生破壞。由此可知，此飛輪始終在剛性狀態(tài)下運行。

圖11 磁軸承支撐下飛輪的振動模態(tài)

3 結(jié)束語

本文在參考傳統(tǒng)柔性轉(zhuǎn)子的動力學模型并對其結(jié)構(gòu)參數(shù)和支撐結(jié)構(gòu)及特性的分析的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種適用于微網(wǎng)的新型磁懸浮儲能飛輪。通過仿真分析，本文設(shè)計的飛輪具備以下優(yōu)點。

（1）轉(zhuǎn)子軸向尺寸小，能很好地減少旋轉(zhuǎn)工作時的陀螺效應(yīng)。

（2）轉(zhuǎn)子只需徑向和軸向各一個磁軸承支撐，能夠有效減小整體飛輪電池尺寸，且有效減少電池自身功耗。

（3）轉(zhuǎn)子極限轉(zhuǎn)速遠低于其彎曲臨界轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子未發(fā)生彎曲變形，屬于剛性轉(zhuǎn)子。從而能有效保證其動態(tài)穩(wěn)定性，較小系統(tǒng)動態(tài)控制調(diào)整上的難度。

（4）轉(zhuǎn)子輪緣采用復(fù)合材料，具有重量輕，且到極限轉(zhuǎn)速發(fā)生破壞時，不會發(fā)生炸裂，安全性較高。