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        基于四元數(shù)的橋梁短線節(jié)段誤差分析方法

        2022-05-12 08:19:32李光泉
        鐵道建筑技術(shù) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:梁段節(jié)段乘法

        李光泉

        (中鐵十四局集團(tuán)有限公司 山東濟(jì)南 250101)

        1 引言

        短線法預(yù)制拼裝技術(shù),目前在中等跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁施工中得到了廣泛應(yīng)用,其關(guān)鍵技術(shù)在于線形控制和姿態(tài)調(diào)整相關(guān)的幾何計(jì)算方法。

        短線法采用分段預(yù)制拼裝的方法,利用已建造的節(jié)段與相鄰將要澆筑節(jié)段匹配。在施工過程中,不僅會(huì)有測量儀器產(chǎn)生的測量誤差、匹配段定位誤差等,還會(huì)有施工中振搗、混凝土收縮等原因產(chǎn)生的預(yù)制誤差,包括:梁長誤差、轉(zhuǎn)角誤差、扭轉(zhuǎn)誤差、錯(cuò)臺誤差等。這些誤差會(huì)導(dǎo)致已澆筑的節(jié)段偏離設(shè)計(jì)線形,并且由于已澆筑節(jié)段無法更改,從而使得誤差不斷積累。此時(shí)需要識別出已有的誤差,在已澆筑節(jié)段作為匹配段時(shí),通過調(diào)整其位置和姿態(tài)參數(shù),使后續(xù)節(jié)段修正該誤差。識別和修正預(yù)制誤差的幾何計(jì)算,存在多種不同的方法。

        王侃、李國平[1]以階段接縫和橫坡為基準(zhǔn)建立坐標(biāo)系,采用6個(gè)控制點(diǎn)形成水平控制線和高程控制線,來分別識別和修正誤差。侍剛[2]等建立三維整體坐標(biāo)系和節(jié)段局部坐標(biāo)系,通過二者間的坐標(biāo)變換研究其幾何關(guān)系,并引入非線性最小二乘法,根據(jù)測量點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)果來建立方程組并求解。劉海東[3]等研究了在三維坐標(biāo)系中考慮所有誤差的誤差修正方法。周凌宇[4]等對三維空間整體和局部坐標(biāo)系間的空間位置不重合進(jìn)行了分析。時(shí)學(xué)軍[5]研究了適合于任意旋轉(zhuǎn)角度的坐標(biāo)變換方法,并通過非線性最小二乘法來識別誤差。

        從以上研究成果可見,誤差分析和修正的方法是通過三維坐標(biāo)變換,把整體坐標(biāo)系和節(jié)段局部坐標(biāo)系進(jìn)行匹配,對節(jié)段測點(diǎn)的澆筑階段和匹配階段測量結(jié)果進(jìn)行分析比對,通過非線性最小二乘法來建立方程組計(jì)算出已產(chǎn)生的預(yù)制誤差[6],然后通過整體坐標(biāo)系的拼裝坐標(biāo)來確定誤差調(diào)整方法[7]。但目前的方法仍存在一些弱點(diǎn),幾種誤差仍是分別識別和修正,沒有統(tǒng)一起來。三維變換方法使用的是旋轉(zhuǎn)矩陣方法,使用歐拉角來作為誤差調(diào)整目標(biāo),這就使調(diào)整的方式與旋轉(zhuǎn)角的順序有關(guān),在非線性最小二乘法進(jìn)行誤差分析時(shí)用旋轉(zhuǎn)角作為計(jì)算目標(biāo),計(jì)算過程較為復(fù)雜[8]。目前誤差修正采用的大多為直接調(diào)整法[9],如用分步調(diào)整法,目前的方法實(shí)現(xiàn)起來難度較大。

        采用四元數(shù)進(jìn)行三維幾何計(jì)算,同樣可以完成三維坐標(biāo)變換[10],并且可以把位置和姿態(tài)定義、空間的狀態(tài)和變換、誤差識別與調(diào)整統(tǒng)一起來。

        2 四元數(shù)和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

        2.1 四元數(shù)的定義

        定義四元數(shù):

        式中:a、b、c、d均為實(shí)數(shù)。 同時(shí)有:

        四元數(shù)也可以表達(dá)為:

        式中:v為向量,即任意向量可表示為d等于0的四元數(shù)[11]。

        四元數(shù)的模:

        q對應(yīng)的單元四元數(shù)為。

        q的共軛四元數(shù)q*,對于單位四元數(shù),其共軛四元數(shù)也是其逆四元數(shù)q-1。

        四元數(shù)乘法公式,可依據(jù)規(guī)則由式(1)推導(dǎo):

        2.2 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)

        單位四元數(shù)可用于定義任意空間旋轉(zhuǎn),對于如下單位四元數(shù):

        q1=pqp-1,表示對向量q繞軸v旋轉(zhuǎn)2t角度后得到q1。對于坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn),可以通過對其x、y、z軸單位向量的旋轉(zhuǎn)通過計(jì)算得到。

        坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換可以通過旋轉(zhuǎn)矩陣來定義。單位四元數(shù)可以與旋轉(zhuǎn)矩陣互相轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換公式較為復(fù)雜不再列出。

        定義旋轉(zhuǎn)的另外一個(gè)方法是歐拉角,通過定義順序施加的三個(gè)旋轉(zhuǎn)角來定義空間旋轉(zhuǎn)。歐拉角可以有多種不同定義方法,視實(shí)際工程應(yīng)用需要來使用。本文所用旋轉(zhuǎn)角與標(biāo)準(zhǔn)歐拉角正好相反,即對于坐標(biāo)系D1,其坐標(biāo)軸為三個(gè)單位向量(x1,y1,z1),本文定義旋轉(zhuǎn)規(guī)則:先繞z1軸旋轉(zhuǎn)ψ,再繞旋轉(zhuǎn)后y1軸旋轉(zhuǎn)θ,最后繞x1軸旋轉(zhuǎn)φ,最終與坐標(biāo)系D2(x2,y2,z2)重合。

        旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換為四元數(shù):

        四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)角:

        3 短線法幾何計(jì)算流程

        對于任何一個(gè)坐標(biāo)系,可以用原點(diǎn)位置坐標(biāo)和姿態(tài)四元數(shù)來定義其坐標(biāo)系參數(shù)。為此可以做如下約定:以大地坐標(biāo)系作為整體坐標(biāo)系,記為G0,以固定端模頂面為基準(zhǔn)的坐標(biāo)系為U0,對于每個(gè)節(jié)段,其局部坐標(biāo)系為G1,見圖1。以其前端接縫線為y軸,中點(diǎn)為原點(diǎn),x軸在頂面內(nèi)且與y軸垂直,z軸與xy平面垂直,注意這種定義方法是為了適應(yīng)曲線梁和有橫坡的情況,此時(shí)節(jié)段前后端中心線不與前后端中心連線重合。當(dāng)階段n作為匹配段時(shí),節(jié)段局部坐標(biāo)系記為U1,此時(shí)其父坐標(biāo)系為U0,各測點(diǎn)的測量坐標(biāo)中包含了節(jié)段誤差,因此階段n+1會(huì)偏離設(shè)計(jì)坐標(biāo)。計(jì)算的目標(biāo)就是識別節(jié)段n的U1坐標(biāo)系參數(shù)即其位置坐標(biāo)和姿態(tài)四元數(shù),并通過計(jì)算節(jié)段n+1測點(diǎn)的整體坐標(biāo)系,再變換回U0坐標(biāo)系,計(jì)算作為匹配段的U1坐標(biāo)系參數(shù)來修正之前的誤差。

        圖1 節(jié)段局部坐標(biāo)系

        首先根據(jù)設(shè)計(jì)線形,可計(jì)算出節(jié)段各關(guān)鍵點(diǎn)的大地坐標(biāo),即全局坐標(biāo)系G0參數(shù)和節(jié)段局部坐標(biāo)系G1參數(shù)。

        首節(jié)段澆筑完成,測量各測點(diǎn)U0下的坐標(biāo),通過坐標(biāo)變換可得到其全局坐標(biāo)。

        對任意已經(jīng)澆筑完成的梁段n,假定其已完成澆筑且得到各測點(diǎn)U0坐標(biāo)并計(jì)算出實(shí)際全局坐標(biāo)。依照梁段n+1的G1坐標(biāo)系,可根據(jù)全局到局部坐標(biāo)的變換計(jì)算梁段n匹配段的坐標(biāo)系參數(shù),開始澆筑梁段n+1。梁段n+1澆筑完成后,測量梁段n+1的各測點(diǎn)坐標(biāo)和梁段n各測點(diǎn)坐標(biāo),顯然后者包含了預(yù)制誤差,根據(jù)本文算法識別出U1坐標(biāo)參數(shù)和誤差四元數(shù),可根據(jù)局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的變換計(jì)算出梁段n+1的全局坐標(biāo)。此坐標(biāo)已經(jīng)偏離了設(shè)計(jì)全局坐標(biāo),需要根據(jù)梁段n+2的G1坐標(biāo)系參數(shù)來計(jì)算需要修正的梁段n+1匹配段參數(shù),這樣可以繼續(xù)下一段的施工和計(jì)算。

        4 節(jié)段預(yù)制誤差四元數(shù)的識別

        梁段n作為匹配段在n+1段澆筑后,其前端局部坐標(biāo)系U1的位置和姿態(tài)可以用表示位置的四元數(shù)p(x,y,z,0)和表示姿態(tài)的單位四元數(shù)q(a,b,c,d)來表示,共計(jì)7個(gè)參數(shù),應(yīng)采用其6個(gè)測點(diǎn)的U0坐標(biāo)系下的澆筑后坐標(biāo)v1(x1,x2,x3,0)和作為匹配段的測量坐標(biāo)v2(x2,y2,z2,0)來進(jìn)行識別。 由此我們可以得到如下方程:

        利用四元數(shù)乘法可以得到:

        同時(shí)引入約束條件:

        利用式(3)可以定義:

        這樣利用式(2)就可以建立18個(gè)方程,加上式(4),根據(jù)非線性最小二乘法,可以得到最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

        由于目標(biāo)函數(shù)是4次多項(xiàng)式函數(shù),可以使用梯度下降法求解[12]。求解需要對7個(gè)參數(shù)求導(dǎo),得到梯度函數(shù):

        而f函數(shù)對a、b、c、d的偏導(dǎo)如下:

        5 實(shí)例驗(yàn)證

        某3×40 m曲線連續(xù)梁,采用短線法拼裝7個(gè)節(jié)段,每個(gè)節(jié)段長2.9 m。為了能有效驗(yàn)證本文方法的正確性,以橋梁實(shí)際數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),發(fā)生的預(yù)制誤差預(yù)先隨機(jī)產(chǎn)生,為匹配段偏離原位置x、y、z,姿態(tài)誤差旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)為四元數(shù),同時(shí)引入正負(fù)0.3 mm的隨機(jī)測量誤差,然后用每一個(gè)施工步驟的測量數(shù)據(jù)來做輸入,產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果與預(yù)設(shè)誤差對比。對比結(jié)構(gòu)見表1、表2。表1為位置誤差對比,單位mm;表2為計(jì)算結(jié)果的四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)角后的對比結(jié)果,單位10-3弧度。

        表1 位置誤差對比結(jié)果

        表2 姿態(tài)誤差對比結(jié)果 10-3rad

        從對比結(jié)果來看,位置誤差小于0.2 mm,姿態(tài)誤差小于10-4弧度。

        6 結(jié)論與展望

        (1)使用四元數(shù),不僅可以完成三維坐標(biāo)變換,結(jié)合非線性最小二乘法,可以正確、可靠地分析出帶有測量誤差的預(yù)制誤差。

        (2)基于四元數(shù)的非線性最小二乘法,由于目標(biāo)函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù),可以直接求導(dǎo)得出梯度函數(shù)向量,迭代算法更容易收斂。

        (3)采用四元數(shù)的誤差分析方法,對測點(diǎn)位置、數(shù)量,旋轉(zhuǎn)角度都沒有嚴(yán)格的限制,可更加方便推廣到其他裝配式橋梁施工方法中。

        (4)三維仿真已經(jīng)成為短線法軟件的必要部分,能夠很好地避免使用過程中的人為錯(cuò)誤,而四元數(shù)結(jié)果可以直接用于三維建模和動(dòng)畫。

        (5)四元數(shù)可以同時(shí)用于表示坐標(biāo)、對象姿態(tài)、對象姿態(tài)的變換,可以很方便地進(jìn)行插值,因此可用于分步調(diào)整法,這是后續(xù)應(yīng)展開研究的方面。

        (6)本文方法未考慮混凝土收縮的梁長誤差,這需要多引入一個(gè)縮放因子作為參數(shù),并重新推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù),這是后續(xù)需研究的工作。

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