程 蒙，王冰潔

（太原理工大學(xué) 新型傳感器與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024）

0 引 言

超寬帶雷達(dá)具有較高的距離分辨率，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于近距離傳感領(lǐng)域中，超寬帶噪聲雷達(dá)由于其信號源的噪聲特性，因此具有較低的可截獲性和較強(qiáng)的抗電磁干擾能力，近年來受到重視。在目標(biāo)定位和目標(biāo)測速中，超寬帶噪聲雷達(dá)的有效性已經(jīng)得到證實(shí)，其距離向分辨率與信號帶寬有關(guān)，速度分辨率與觀測累計(jì)時(shí)間有關(guān)。在合成孔徑雷達(dá)（Synthetic Aperture Radar，SAR）成像方面超寬帶噪聲雷達(dá)也備受關(guān)注，其成像算法與傳統(tǒng)線性調(diào)頻信號基本相同，不同之處在于快時(shí)間域的脈沖壓縮，以及在慢時(shí)間域超寬帶隨機(jī)信號雷達(dá)的多普勒相位歷程具有隨機(jī)性，而線性調(diào)頻信號則是固定變化的。

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）理論正式提出于2006 年，后被廣泛應(yīng)用于信號處理各領(lǐng)域。壓縮感知采樣打破了傳統(tǒng)奈圭斯特采樣定律，可以顯著地降低信號的采樣速率和樣本集的數(shù)量，極大地減少了硬件系統(tǒng)的代價(jià)，因此人們嘗試將CS 理論應(yīng)用到超寬帶噪聲雷達(dá)中以解決其高帶寬帶來的硬件負(fù)擔(dān)。在SAR 成像方面，近年來提出了基于CS 的不同成像算法，可以用于提高成像分辨率或降低需要采集的數(shù)據(jù)量，并且引入自聚焦方法用于消除不確定相位誤差。而基于CS 的超寬帶SAR 在降低信號采集帶寬的同時(shí)，具有很好的抗電磁干擾能力。

大量工作表明，CS 理論在超寬帶噪聲雷達(dá)應(yīng)用中，在系統(tǒng)硬件和處理效果上均具有優(yōu)點(diǎn)，然而對于SAR成像，隨著成像尺寸的增加，CS 重構(gòu)算法的復(fù)雜性將會凸顯，通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)線性成像算法，這為成像算法的設(shè)計(jì)帶來一定的困難。

文獻(xiàn)[20]利用正則化方法完成了基于CS的聚束模式SAR 成像，本文在此基礎(chǔ)上，提出了一種采用超寬帶噪聲信號源的聚束模式SAR成像算法。與傳統(tǒng)信號源雷達(dá)不同，首先它需要利用方程組求逆，獲得一維距離向信息，然后通過CS方法對二維場景進(jìn)行重建。該方法相對于傳統(tǒng)線性成像算法的優(yōu)點(diǎn)在于，它可以避免因使用噪聲信號源，導(dǎo)致的在慢時(shí)間域中非一致多普勒相位產(chǎn)生的成像誤差。同時(shí)考慮到算法復(fù)雜性，本文提出了零延拓近似算法，通過在重建算法的迭代中利用二維FFT和快速小波變換，實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算矩陣和向量的乘法。仿真結(jié)果表明，這種近似算法在極大地降低運(yùn)算量和內(nèi)存消耗的同時(shí)，保持著較好的運(yùn)算精度，可以完成對大尺度場景的成像任務(wù)。

1 基本原理

1.1 CS 理論

CS 理論主要研究稀疏信號的重建及其可重建條件，稀疏信號可以通過較少的非自適應(yīng)測量集準(zhǔn)確重建。其數(shù)學(xué)描述為：∈R為觀測向量，它與未知稀疏信號∈R有如下關(guān)系：

式中，∈R，為感知矩陣，是對未知信號進(jìn)行的線性測量。當(dāng)＜時(shí)，上述方程組是欠定的，CS 理論指出，當(dāng)滿足約束等距（RIP）條件時(shí)，仍然可以準(zhǔn)確通過下式進(jìn)行重建：

式中為施加的一正則化約束參量。上述優(yōu)化問題是凸的，可以將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃進(jìn)行求解，如基追蹤算法，也可通過貪婪算法如匹配追蹤算法等。本文采用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解，它是解凸優(yōu)化問題的一種常用方法，具有較高的精度和運(yùn)算性能。

1.2 基于CS 的超寬帶隨機(jī)噪聲雷達(dá)成像原理

1.2.1 一維距離向重建

假定()為雷達(dá)的發(fā)射信號序列，信號回波為()，由于聚束模式雷達(dá)距離向波束照射寬度是一定的，因此()可看作()通過某個(gè)階的滑動(dòng)平均（MA）模型的響應(yīng)：

式中：()=[(),(-1),…,(-)]；為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，對應(yīng)傳統(tǒng)的脈沖壓縮結(jié)果，因此一維距離向重建為系統(tǒng)辨識問題。

通過采集個(gè)樣本點(diǎn){(),()},{(),()},…,{(i),(i)}，式（3）可以構(gòu)成一線性方程組：=（4）式中：[(),(),…,(i)]；=[(),(),…,(i)]。對于每個(gè)樣本點(diǎn){(i),(i)}，其采集是相互獨(dú)立的。當(dāng)()為確定序列時(shí)，如信號源采用偽隨機(jī)數(shù)，()的采集可省略，這時(shí)只需要記錄采樣時(shí)間和()即可。通過這種方法，信號的采樣頻率可以降至很低。當(dāng)成像區(qū)域只含有少量的點(diǎn)目標(biāo)時(shí)，式（4）可以采用CS重建算法求解，它可以減少采集的樣本集{,}的個(gè)數(shù)。需要指出的是，當(dāng)每個(gè)樣本點(diǎn)之間采樣間隔大于+1 時(shí)，將近似為隨機(jī)矩陣，它可以很好地滿足RIP條件。

使用線性方程組求解的方法，相對于傳統(tǒng)互相關(guān)的方法，不存在旁瓣掩蔽效應(yīng)，如圖1b）所示，采用互相關(guān)法，除了在目標(biāo)處出現(xiàn)反射尖峰外，其他位置仍有信號波動(dòng)，而圖1c）為隨機(jī)抽取一半的數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)采用CS的方法得到的結(jié)果，它可以準(zhǔn)確重建出場景的一維反射信息。

圖1 互相關(guān)與CS 方法結(jié)果對比

1.2.2 基于CS 的成像原理

設(shè)超寬帶隨機(jī)信號雷達(dá)在觀測角處經(jīng)過一維重建后的記為p()，其傅里葉變換與成像場景(,)的空間（頻域空間）有如下關(guān)系：

因此通過變化可以得到一系列極坐標(biāo)下的場景空間采樣。由于空間采樣是極坐標(biāo)下的，因此無法直接通過二維快速傅里葉變換對場景成像，通常需要做插值處理。

二維直角坐標(biāo)系下，傅里葉變換[,]可以表示為如下形式：

式（7）包含有復(fù)數(shù)運(yùn)算，將不利于優(yōu)化算法的計(jì)算，因此采用IFFT 獲取式（7）的等價(jià)形式：

通常雷達(dá)圖像在某些基下可以稀疏表示，因此有：

式中為稀疏表示基。因此超寬帶噪聲雷達(dá)成像可以轉(zhuǎn)化為求解下式優(yōu)化問題：

1.2.3 零延拓近似算法

在文獻(xiàn)[22]中，內(nèi)點(diǎn)法的每個(gè)中心點(diǎn)是通過牛頓法迭代獲得的，它利用預(yù)處理共軛梯度算法計(jì)算海森矩陣的逆。其中海森矩陣和某一向量的乘法需要被反復(fù)運(yùn)算，該乘法最終通過計(jì)算和的矩陣向量乘法實(shí)現(xiàn)。本文利用矩陣的特殊性，提出一種近似計(jì)算矩陣向量乘法的方法，它在極大地降低運(yùn)算量的同時(shí)保持較好的計(jì)算精度，并且該方法在運(yùn)算過程中不需要存儲矩陣，因此可以節(jié)省大量的運(yùn)算內(nèi)存。

如式（9），當(dāng)采用小波基作為稀疏表示基時(shí)，矩陣的乘法需要一次逆小波變換、一次的矩陣向量乘法和N次IFFT；矩陣的乘法需要N次FFT、一次的矩陣向量乘法和一次小波變換。其中最耗時(shí)的計(jì)算為和的乘法，本文采用二維快速傅里葉變換做近似計(jì)算，其方法如下。

如圖2 所示，將矩陣劃分為分塊矩陣形式：

式中：采用精確計(jì)算；采用近似計(jì)算。由于可以看作向量對空間映射的變換基，因此它可以使用直角坐標(biāo)系下的2D?FFT 基近似計(jì)算，其中近似計(jì)算的部分記作′。為了保證這種近似的精度，首先需要對[,]作零延拓處理。如圖2 所示，每個(gè)P在空間中有16 個(gè)采樣點(diǎn)，其中少量的低頻部分采用計(jì)算，剩余的高頻部分采用近似′計(jì)算。在′的近似計(jì)算中，首先對[,]作一倍零延拓處理，然后計(jì)算其2D?FFT，得到分別沿軸和軸為32 點(diǎn)的頻域點(diǎn)，如圖2c）中圓點(diǎn)所示。最后，選取最靠近精確解（三角點(diǎn)）的近似解（圓點(diǎn)）作為計(jì)算結(jié)果。對于的近似計(jì)算見式（11），可以由此類比得到。

圖2 零延拓近似方法示意圖

當(dāng)成像場景維度大于128×128 時(shí)，通常現(xiàn)有的計(jì)算硬件仍然無法滿足部分的精確計(jì)算，將全部劃分到的處理方法依然可以得到較好的結(jié)果。

2 仿真結(jié)果及性能分析

2.1 一維距離向重建

為了研究噪聲對一維距離向重建算法的影響，通過仿真對兩種欠采樣率下使用CS 進(jìn)行重建，結(jié)果如圖3所示。信號源為仿真生成的帶限隨機(jī)過程，其中采樣率和信號帶寬之比為10，()的反射目標(biāo)位置隨機(jī)選取，大小隨機(jī)設(shè)置+1 或-1，信號欠采樣率定義為=，其中為總的回波信號點(diǎn)數(shù)，為從中隨機(jī)選取的點(diǎn)數(shù)，并在回波中加入不同大小的白噪聲得到不同信噪比（SNR）的重構(gòu)結(jié)果。從結(jié)果中可看出即使噪聲功率和回波功率相同時(shí)（0 dB），仍然可以得到較好結(jié)果。對比=0.5 和0.9 的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)通過增加樣本數(shù)量，算法的抗噪聲性能會有所改善。

圖3 欠采樣率與信噪比對重建的影響

2.2 二維成像分析

首先對點(diǎn)反射目標(biāo)場景的成像進(jìn)行仿真，其中采用和文獻(xiàn)[25]相同的濾波后向投影算法（FBP）作為經(jīng)典成像算法，與本文提出的零延拓近似算法做對比。首先仿真獲取場景不同觀測角的一維重建數(shù)據(jù)p，然后隨機(jī)抽取數(shù)量為N組的數(shù)據(jù)。對于二維數(shù)據(jù)，采用=N N作為數(shù)據(jù)的欠采樣率，其中為圖像橫向（或縱向）的維度設(shè)為128。由于目標(biāo)場景具有稀疏性，因此不需要考慮稀疏表示基。結(jié)果如圖4 所示，可以看出FBP 算法在較少的數(shù)據(jù)樣本下存在嚴(yán)重的偽影，而采用CS 的零延拓近似算法則不存在。

圖4 直接稀疏場景成像對比

MSTAR 公共數(shù)據(jù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)成像算法研究中，因此對于非直接稀疏的情況，選用其中一張圖片，采用上述點(diǎn)反射目標(biāo)場景的方法進(jìn)行仿真。其中零延拓近似算法中的圖像稀疏表示基采用Daubechies 2 小波，結(jié)果如圖5所示。可以看出采用零延拓近似算法可以得到較好的效果。由于原始圖片點(diǎn)數(shù)為512×512，當(dāng)p選取512組時(shí)，成像算法需要對2×512≈5×10個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化（其中一半是在計(jì)算中引入的），矩陣包含512×512＞10個(gè)元素，現(xiàn)有計(jì)算硬件內(nèi)存已很難滿足原始的精確重建算法，而采用零延拓近似算法大約花費(fèi)15 min。

圖5 非直接稀疏場景成像對比

2.3 零延拓近似算法性能分析

零延拓近似算法的精確性分析，可以直觀地通過分別采用精確法、直接近似法和零延拓近似算法計(jì)算矩陣·與某一向量，及其共軛轉(zhuǎn)置·與的投影向量··（記為）的乘法結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果如圖6所示，可以看出，直接使用2D?FFT 的近似方法和精確解法存在較大差異，經(jīng)過零延拓后差異將明顯縮小。

圖6 精確解、直接近似和零延拓近似算法結(jié)果差異對比

內(nèi)點(diǎn)算法在計(jì)算中需要多次計(jì)算矩陣向量乘法·和·，統(tǒng)計(jì)分析，對于不同維度場景成像，·和·的計(jì)算所消耗時(shí)間通常占據(jù)90%以上，如表1所示，因此重建算法的時(shí)間復(fù)雜性分析可通過對和的乘法進(jìn)行分析。本文硬件平臺采用AMD Ryzen 5，內(nèi)存為8 GB。

表1 零延拓近似算法的不同維度重建矩陣向量乘法運(yùn)算時(shí)間占比

二維小波變換和2D?FFT 的算法復(fù)雜性均為(log)，然而兩者在矩陣乘法的時(shí)間消耗上通常占比小于10%，大部分消耗在矩陣元素的查找中（大于70%），其復(fù)雜性為()。因此圖7 中，軸全部采用真實(shí)值的開方繪制。從圖7a）中可看出，矩陣乘法的算法復(fù)雜性近似為()，與此同時(shí)，采用零延拓的方法計(jì)算量有少量增長，其中和的乘法分別大約增長1.5 倍和1.3 倍。圖7b）為采用零延拓近似算法的成像總消耗時(shí)間曲線和內(nèi)存消耗曲線，可以看出兩者的增長趨勢大于平方增長，最終在該硬件平臺上實(shí)現(xiàn)了場景點(diǎn)數(shù)為2 048×2 048 的重建。

圖7 零延拓近似算法性能分析

3 結(jié) 語

本文提出了一種基于CS的超寬帶隨機(jī)噪聲SAR成像算法，該算法可以充分利用信號源的超寬帶特性對場景高分辨率成像，它可以在欠奈圭斯特采樣率下對信號進(jìn)行采集處理，極大地減少了系統(tǒng)成本?？紤]到大尺度場景成像的算法復(fù)雜性，本文提出零延拓近似算法，仿真結(jié)果表明，它在保持著較好精度的同時(shí)極大地降低了算法運(yùn)算量。例如對點(diǎn)數(shù)為2 048×2 048 的場景重建，大約需要9 h，內(nèi)存消耗約1.9 GB（普通PC 處理），而采用精確運(yùn)算是無法實(shí)施的。