浙江省平陽中學 (325400) 何龍泉

遞推式xn+1=xn(xn-1)由迭代xn+1=f(xn)和函數f(x)=x(x-1)構成.由f(x)=x得x*=0，x**=2，又f′(x)=2x-1，于是|f′(0)|=1，

|f′(2)|=3>1，故由不動點穩(wěn)定性判定定理[1]：x0是函數f(x)的不動點，則當|f′(x0)|<1時，通過迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的數列{an}極限存在，并以x0為極限.此時，稱x0為穩(wěn)定的不動點；而當|f′(x)|>1時，數列{an}發(fā)散，稱x0為不穩(wěn)定的不動點.由此知：x**=2為不穩(wěn)定的不動點，不動點x*=0的穩(wěn)定性與首項x1有關，本文將對數列的性質作進一步的探討.

一、數列{xn}的性質

具體地說，對于不同的x1，由遞推式xn+1=xn(xn-1)得到的數列{xn}有以下性質：

(3)當x1<-1或x1>2時，{xn}是遞增數列且發(fā)散.

(5)當x1∈(0，1)時，x2

二、性質的證明

在證明上述結論之前，我們先來證明兩個易證結論.

圖1

下面我們來證明上面數列{xn}的性質.

性質(1)和(2)顯然成立的，證明略.

三、性質的應用

(1)求首項a1的取值范圍；

(2)證明：對任意n∈N*，都有an+1>an.

解：(1)由已知a1>0，(ⅰ)若a1∈(0，1]，則a2≤0，不合題意；

(2)由(1)知an+1-an=an(an-2)>0，所以對任意n∈N*，都有an+1>an.

對于遞推式xn+1=xn(xn-1)性質的探索只是對該類遞推式探究的一個方面，這樣的研究對于教學、命題都大有裨益.