王雄, 高英山, 張順琦,, 竇偉元

1.榆林學院 能源工程學院, 陜西 榆林 719000; 2.上海大學 機電工程與自動化學院, 上海 200072;3.北京交通大學 機械與電子控制工程學院, 北京 100044

薄壁結構由于質量輕,廣泛應用于航空、航天領域,如太陽能帆板、飛機的機翼和艙體等。單一功能的薄壁結構極易發(fā)生振動與變形,且結構阻尼低、不穩(wěn)定[1]。壓電阻尼層合結構具有被動阻尼和主動致動性能,也稱為主被動結構,具有良好的力學特性,廣泛應用于形狀控制、振動控制、噪聲控制等方面[2]。黏彈性阻尼材料特殊的物理性能,使得主被動阻尼層合結構擁有復雜的層間物理特性,增加了主被動阻尼層合結構動力學建模難度,且不易實現(xiàn)。

最早Kerwin等[3]對黏彈性材料的阻尼參數(shù)進行了定量分析,并提出了阻尼材料的損耗因子。王金朝等[4]采用多輸入多輸出錘擊法對約束阻尼板進行模態(tài)實驗并與有限元結果互相驗證。陳威和夏利娟[5]基于模態(tài)應變能法推導出模態(tài)損耗因子的修正公式,結果表明阻尼加筋板的阻尼彈性模量頻變效應對模態(tài)損耗因子影響明顯,阻尼材料的彈性模量可取為定值。黃微波等[6]研究了阻尼層合結構的層間厚度對約束阻尼結構振動性能帶來的影響,結果表明約束層厚度與基層厚度相等時結構復合損耗因子最大,并且隨著基層厚度與約束層厚度之比逐漸減小,厚度比對結構損耗因子的影響也變小。Jin等[7]對黏彈性阻尼夾層復合矩形板的振動和阻尼進行了分析,基于Reddy的高階剪切理論,并且考慮了彎曲-拉伸、彎曲-扭轉、拉伸-扭轉以及泊松效應等不同情況下的材料耦合情況。

阻尼層合圓柱狀殼體結構在工程中的應用也很廣泛。Mokhtari等[8]利用Rayleigh-Ritz方法提出了夾層圓柱殼的一個計算公式,討論了關鍵參數(shù)對動力性能的影響。Yang等[9]研究了中間夾層為黏彈性材料的復合材料板的超音速顫振阻尼效應。Huang等[10]建立了2種基于剪切和壓縮阻尼機制的夾層結構分析模型,并說明了這2種不同阻尼機制的適用范圍。Ebrahimi和Barati[11]建立了一個非局部應變梯度板模型,研究了黏彈性、非局部參數(shù)、電壓等因素對壓電阻尼層合板振動特性的影響。

通過文獻調研可知,多數(shù)文獻集中于阻尼層合板結構的研究,對于在工程中應用前景很廣的壓電阻尼層合殼體結構研究較少。本文擬構建基于zig-zag板殼假設的“機-電”耦合壓電阻尼層合結構有限元模型。用文獻數(shù)據(jù)驗證模型的正確性,并進一步研究材料增強角度、阻尼層厚度和結構曲率對壓電阻尼層合結構頻率和損耗系數(shù)的影響,可以為壓電阻尼層合結構的減振降噪及結構設計提供必要的理論基礎。

1 壓電阻尼層合結構

圖1 結構變形與自由度表示

則板殼結構上任意點的位移向量u可以用7個運動學參數(shù)表示為

u=Zv=

(1)

式中:v為位移向量;Z為變換矩陣,其中zv和ze值取決于計算的結構位置,如表1所示。

表1 zv和ze取值

2 應變位移關系

假設結構在厚度方向上不可壓縮,這時Green-Lagrange應變張量主要由面內應變εαβ和橫向剪切應變εα3組成,可以寫為[12]

(2)式與(3)式中各應變分量與位移場之間的關系可以表示為:

1) 對于計算結構位置Θ3≤z1與Θ3≥z2

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

計算Θ3≤z1時d=z1,計算Θ3≥z2時d=z2。

2) 對于計算結構位置z1<Θ3

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中

(14)

3 動力學有限元模型

3.1 本構方程

壓電阻尼層合結構機電耦合有限元本構方程的矩陣形式為

式中，σ,ε,D和E分別表示應力向量、應變向量、電位移向量和電場向量。此外,c為彈性常數(shù)矩陣,其與壓電常數(shù)矩陣d和e之間的關系可以用矩陣形式表示為e=dc,χ為介電常數(shù)矩陣。

圖2 局部坐標系和材料坐標系

(17)

3.2 動力學有限元方程

采用Hamilton原理來推導壓電阻尼層合結構的動力學方程,可以表述為從t1到t2的虛功積分等于零,即

(18)

式中，δT為壓電阻尼層合結構的動能微分,可以表示為

(19)

(20)

外力功的變分可以表示為

(21)

將(19)～(21)式代入(18)式可以得到壓電阻尼層合結構的機電耦合動力學有限元方程

式中：q為節(jié)點自由度向量；Muu,Kuu,Kuφ和Kφφ分別為總質量矩陣、剛度矩陣、耦合剛度矩陣和壓電矩陣;Fue和Gφe為外力和電場向量。

3.3 阻尼材料模型與復剛度矩陣

通常認為阻尼材料的彈性模量是復彈性模量,表示為

Gv=GR+iGI=GR(1+iηv)

(24)

彈性模量實部GR稱為儲能模量,彈性模量虛部GI稱為損耗模量,ηv表示阻尼材料的損耗因子。則結構的總剛度矩陣Kuu可以寫為

(25)

壓電阻尼層合結構的自然頻率f和損耗系數(shù)η可表達為

(26)

式中，λn是第n階復特征角頻率。彈性層的阻尼矩陣用CS表示,根據(jù)Moita等[14]使用的方法來求解阻尼材料的阻尼矩陣CV,可以表示為

(27)

根據(jù)(25)式和(27)式,(22)式可以整理為

(28)

4 有限元仿真及數(shù)據(jù)分析

4.1 模型驗證

采用如圖3所示的對稱阻尼層合板與文獻[15]的固有頻率和損耗系數(shù)結果進行對比。板的尺寸為348 mm×304.8 mm×0.762 mm,中間阻尼層厚度為0.254 mm。阻尼材料的損耗系數(shù)ηv為常數(shù)0.5,阻尼層與彈性層的材料參數(shù)如表2所示。

圖3 阻尼層合結構示意圖

表2 阻尼結構材料參數(shù)

采用12×10網(wǎng)格劃分,八節(jié)點矩形單元,兩短邊簡支(simply supported:S),兩長邊固支(clamped:C),即CSCS。且認為壓電材料在無外電場情況下為閉環(huán)狀態(tài)。則結構前5階固有頻率f和結構損耗系數(shù)η數(shù)據(jù)對比如表3所示,仿真結果與文獻結果吻合較好。

表3 結果數(shù)據(jù)對比驗證

4.2 壓電阻尼層合殼體參數(shù)化研究

壓電阻尼層合殼體結構如圖4所示,半徑用R表示,壓電層厚度為1 mm,復合彈性層(T300/976)的厚度為1.5 mm,寬度W=160 mm,中性面弧長為314 mm。復合材料(T300/976)和壓電層的材料參數(shù)在表4中列出,且認為它們?yōu)閺椥詫?。阻尼材料參?shù)如表2所示。在Θ1和Θ2方向上分別劃分了8個和10個網(wǎng)格,采用七自由度八節(jié)點的矩形單元。

圖4 壓電阻尼層合殼示意圖

表4 壓電阻尼層合殼結構材料參數(shù)

殼體兩直邊固支,其余簡支,即CSCS。令結構半徑R=100 mm,阻尼層的厚度為1 mm,復合彈性層(T300/976)的增強角度β變化范圍為0°～90°,結果如表5所示。當增強角度增加到55°時,第一階結構頻率f1逐漸增加,隨著增強角度繼續(xù)增加,頻率開始緩緩降低,而第一階損耗因子η1一直處于下降狀態(tài);角度從0°逐漸變化到90°時,第二階頻率f2一直增加,第二階損耗因子η2整體呈降低趨勢。

表5 增強角度β對結構頻率f和損耗因子η的影響

圖5 曲率Ω對結構頻率f和損耗因子η的影響

同時固定壓電阻尼層合殼體的2條直角邊,即邊界條件為CFCF。結構的半徑R為100 mm,增強角度β=0°保持不變,而阻尼層厚度從0.1 mm逐漸增加至5 mm。結果如圖6所示,當阻尼層厚度從0.1 mm增加到約1 mm時,頻率降低非?？?而當阻尼層厚度繼續(xù)增加時,頻率開始緩慢增加;而損耗系數(shù)在阻尼層厚度從0.1～5 mm時一直減小,但減小的速度越來越慢。即阻尼層厚度對結構特性的影響并不是單調遞增或單調遞減的。

圖6 阻尼層厚度對結構頻率f和損耗因子η的影響

4.3 靜力學和動力學仿真

本節(jié)研究邊界條件為CFFF的壓電阻尼層合殼體(見圖4)的靜力和動力學特性。令殼的半徑R=100 mm,阻尼層的厚度為0.5 mm和增強角度β=0°。其他尺寸、材料、單元類型和網(wǎng)格劃分與4.2節(jié)相同。壓電片黏貼面的電勢為零,且整個上表面都是等電位的。對殼體結構施加150 V電壓,殼體結構在Θ2方向上中心線位移如圖7靜力學響應所示,殼體距離固定端越遠,節(jié)點位移就越大。

圖7 壓電阻尼層合殼體的靜力和動力學響應

對結構施加電壓后,結構會在一個范圍內來回振動。由圖5可知殼體的頻率為35.8 Hz,取0.1 s即3.58個振動周期來研究該殼體的動力學特性。不考慮阻尼情況下自由端中間節(jié)點的環(huán)向振動響應如圖7所示?，F(xiàn)實中結構不會一直振動下去,結構會逐漸趨于平穩(wěn),這個過程是阻尼效應作用的結果。不同阻尼效應情況下殼體的自由端中間節(jié)點的環(huán)向振動,結果如圖8所示。圖例中CS表示只考慮了結構自身的阻尼效應;CS+CV則表示既考慮了結構自身的阻尼效應又考慮了黏彈性結構的阻尼效應。可以看出黏彈層阻尼可以使結構的振動衰減很快,對抑制結構振動有很好的效果。

圖8 壓電阻尼層合殼體的環(huán)向振動阻尼效應

5 結 論

基于zig-zag假設構建了壓電阻尼層合結構機電耦合動力學和靜力學模型,實現(xiàn)層間材料參數(shù)差異巨大的準確計算。與參考文獻算例數(shù)據(jù)對比驗證模型正確性后,使用建立的模型對壓電阻尼層合殼體結構進行了靜力學和動力學分析,得出：

1) 增強角度在0°～90°逐漸增加時,當增加到約55°時,結構頻率逐漸增加,之后頻率隨著增強角度的增加而緩緩降低;而損耗因子一直處于降低狀態(tài)。

2) 壓電阻尼層合殼體結構的曲率從0增加到0.01 mm-1時,殼體結構的頻率增加,而損耗系數(shù)逐漸減小。

3) 當阻尼層厚度從0.1 mm增加到約1 mm時,頻率降低非?？?隨著厚度繼續(xù)增加,頻率反而緩慢增加;而損耗系數(shù)在阻尼層厚度從0.1～5 mm時減小的速度持續(xù)降低。

4) 研究不同阻尼效應下殼體自由端的環(huán)向振動得出黏彈層阻尼可以使結構的振動衰減很快,有很好的減振效果。

本文的研究結果對壓電阻尼層合結構的設計和使用具有指導意義和參考價值。