孫慧靜 邢翠芳 馬啟建

（1.海軍航空大學航空基礎學院 煙臺 264001）（2.煙臺文化旅游職業(yè)學院 煙臺 264006）

1 引言

彈道導彈突擊已成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭中實施遠程精確打擊的重要手段，具有威力大、速度快、打擊精度高、突防能力強等特點[1～3]。 發(fā)射弧段和攔截弧段是衡量反導武器系統(tǒng)攔截能力的重要指標，目標在該弧段上飛行的時間越長，戰(zhàn)勤人員的操作空間越大，攔截成功率也越高，發(fā)射弧段、攔截弧段與反導武器系統(tǒng)的部署位置、探測跟蹤能力、雷達扇區(qū)角度、攔截彈飛行速度以及殺傷空域等密切關聯(lián)。殺傷空域是導彈武器系統(tǒng)戰(zhàn)斗性能的重要指標，它決定了武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)高度、射程和航路捷徑等，影響殺傷空域外形和尺寸的因素主要有武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)任務及射擊效能指標、導彈的飛行彈道和機動能力、目標的運動特性以及反導彈對抗手段等[3～12]。

本文針對北天東（NSE）直角坐標系下6枚來自不同方向來襲的彈道導彈，對某軍5個重點保衛(wèi)目標實施空天打擊，在來襲導彈的相關參數(shù)包括導彈飛行時間、彈道軌跡的坐標數(shù)據(jù)、雷達散射截面積等均已知的前提下，對某軍在該區(qū)域部署2套I型反導武器系統(tǒng)，武器系統(tǒng)性能以及部署位置也已知，分別通過殺傷空余模型的構建、攔截能力的求解、導彈運行軌跡的擬合與數(shù)值仿真等手段分析了這兩套武器系統(tǒng)對不同來襲導彈的攔截能力，對于反導武器系統(tǒng)部署的優(yōu)化調(diào)整提供依據(jù)。

2 殺傷區(qū)域數(shù)學模型的構建

6枚來自不同方向來襲的彈道導彈對某軍重點保衛(wèi)目標（目標1～目標5）實施空天打擊如圖1所示，假定武器系統(tǒng)的打擊方向可以360°旋轉(zhuǎn)，且在NSE直角坐標系下，保衛(wèi)目標1～目標5的坐標依次為-11080，-305，60290，-13980，-223，51586，-9490，-290，50440，-4186，-206，62370，-13930，-294，59370，單位：m。

圖1 彈道導彈的落點和2套I型反導導彈示意圖

2.1 坐標系的轉(zhuǎn)換

在北天東（NSE）坐標系下，假設某型武器系統(tǒng)的質(zhì)心坐標為(x0，y0，z0)，其在系下的坐標即為原點O(0，0，0)，S軸與來襲目標速度矢量的水平投影平行且反向，H軸垂直于水平面（向上為正），P軸與S、H軸垂直于水平形成右手直角坐標系，新舊坐標之間就存在一個旋轉(zhuǎn)變換，即從北天東（NSE）坐標系經(jīng)過一次坐標平移變換和一次旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換就得到速度坐標系。假設M為三維空間中任意一點，并設其在NSE坐標系下的坐標為(x，y，z)，其在速度坐標系下的坐標為(Χ，Y，Z) ，則NSE坐標與直角坐標系的轉(zhuǎn)換公式為

2.2 殺傷空域的模型建立

殺傷空域指反導武器系統(tǒng)以不低于給定概率值毀傷目標的空域（如圖2所示），通常用遠界、近界、高界、低界、側(cè)界等特征參數(shù)確定的水平平面殺傷區(qū)和垂直平面殺傷區(qū)描述[4～5]。

圖2 反導武器系統(tǒng)的殺傷區(qū)示意圖

I型反導武器系統(tǒng)性能參數(shù)如下：高界Hmax=150km，低界Hmin=45km，遠界（斜距）Dmax=200km，近界（斜距）Dmin=70km，最大航路角γ=45°，殺傷空域俯仰角為 30°～70°，導彈平均飛行速度為2.0km/s，雷達扇區(qū)方位角（雷達扇區(qū)固定）為 ±α=-50°～50°，雷達扇區(qū)俯仰角為β1～β2=0～80°，系統(tǒng)反應時間為T=10s。

I型反導武器系統(tǒng)初始部署位置如表1所示。

表1 I型反導武器系統(tǒng)初始部署位置

由表可以看出，I武器系統(tǒng)1在NSE坐標系下的坐標為

I型反導武器系統(tǒng)殺傷區(qū)域的邊界曲線在NSE坐標系下的等價數(shù)學模型為

下面分成兩種情況進行分析并計算兩個I型導彈武器系統(tǒng)的攔截能力。

情形1：不考慮I型導彈武器系統(tǒng)初始部署位置的天線法向方向。

首先計算攔截弧段在垂直剖面的投影長度，從而可以計算來襲導彈在攔截弧段的飛行時間。據(jù)曲線弧長公式，則曲線段l的長度為

其中ds為弧長微分，y=φ(z)為導彈的軌道方程，zearly，zlate為軌道與殺傷區(qū)域邊界的最早遭遇點和最晚遭遇點的橫坐標。

利用給定的來襲導彈相關參數(shù)數(shù)據(jù)，易得y=φ(z)的擬合表達式，通過聯(lián)立來襲導彈的軌道方程以及殺傷區(qū)域的邊界曲線，可得交點坐標。對于I型攔截武器1，存在5個不同的保護目標，對于保護目標2有兩枚來襲導彈，即分別為導彈2，3進行攻擊。這樣φ(z)有五種不同的形式，分別為φi(z)，i=1，2，…，5，故

該方程組的解為(zearly，yearly) 和 (zlate，ylate) ，相應地，能求得對應的時刻值tearly和tlate，從而可以計算出5個不同的攔截弧長上對應的導彈飛行時間ti=ti，late-ti，early，i=1，2，…，5 。同理，可以討論I型攔截武器2。

2.3 數(shù)值仿真與分析

設導彈在發(fā)射弧段上的飛行時間為T1=Tlate-Tearly，其中Tearly為攔截導彈的最早發(fā)射點對應的時刻，Tlate為攔截導彈最晚發(fā)射點對應的時刻，并設攔截導彈與目標遭遇時的飛行時間為T2，V為攔截導彈的飛行速度，Smax，Smin分別為攔截導彈飛行到遠界和近界時的距離。 顯然滿足如下關系式：

這里，對I型攔截武器來說Smin=70km?，Smax=200km?，V=2.0km/s。

圖3（a）是導彈1在天-東平面的實際運動軌跡及其4階擬合曲線，虛線為實際的運動軌跡，實線為4階擬合曲線。由圖和數(shù)據(jù)可以看出導彈不是勻速直線運動，而是變速直線運動。對于每一個時刻，其位置坐標均已知。因此，根據(jù)數(shù)值模擬，就可以計算出任意一點對應的時刻，導彈的速度，也容易得出其攔截弧長對應的時間以及發(fā)射弧長對應的時間。利用Matlab仿真計算，I型反導武器系統(tǒng)1對于來襲導彈1攔截弧長為203s，發(fā)射弧長為175s，I型反導武器系統(tǒng)2的對于來襲導彈1的攔截弧長為 170.5s，發(fā)射弧長為 136.0s。圖3（b）描述的是導彈1在北-天平面的4階擬合曲線，計算出攔截弧長及發(fā)射弧長對應的時間與利用天東平面計算得出的數(shù)值基本吻合。

圖3 導彈1的擬合曲線

在后面的仿真中，首先在天-東平面計算武器攔截系統(tǒng)的攔截弧長以及發(fā)射弧長對應的時間，然后在北-天平面進一步驗證數(shù)值計算的正確性。圖4（a）～圖8（a）分別展示導彈2～6在天-東平面的運動軌道和對應的擬合運動軌跡及其運動表達式，并計算出攔截弧長分別別為180s、198s、195s、160s、185s，發(fā)射弧長分別為160s、165s、158s、135s、156s。

圖4 導彈2的擬合曲線

圖5 導彈3的擬合曲線

圖6 導彈4的擬合曲線

圖7 導彈5的擬合曲線

圖8 導彈6的擬合曲線

圖4（b）～圖8（b）分別展示了導彈2～6在北-天平面的運動軌道和對應的擬合運動軌跡及其運動表達式，并計算出出攔截弧長分別別為181s、196s、196s、162s、185s；發(fā)射弧長分別為 161s、162s、156s、137s、155s.

為了使結(jié)果更加精確，分別在兩個平面上所得到的對應數(shù)據(jù)取平均值，作為最終攔截弧長和發(fā)射弧長對應的時間如表2所示。

表2 在不考慮反導系統(tǒng)天線發(fā)線朝向情況下的計算結(jié)果

情形2：考慮I型導彈武器系統(tǒng)初始部署位置的天線法向方向。

由于反導武器的攔截范圍并不是能旋轉(zhuǎn)360°，它們都有天線法線方向，由文中給出的I型反導武器系統(tǒng)1和2的天線法向方向以及它們的部署位置可以計算出，對于攔截系統(tǒng)武器1可以實現(xiàn)對導彈2、3、4、6進行了有效攔截，從而實現(xiàn)對目標2、3、5的有效保護。 對于攔截系統(tǒng)武器2，它的天線法向為相對于正北方向順時針60°以及其最大航路角γ=45°可得，其可能殺傷范圍的角度為相對于正北方向15°～105°。來襲導彈均不在此范圍之內(nèi)，對于攔截武器2，其對于來襲導彈1～6是均沒有保護能力的。

鑒于情形2的討論與分析，可以得知I型反導武器系統(tǒng)2的部署位置急需調(diào)整，同時I型反導武器系統(tǒng)1的部署位置也需要進一步微調(diào)，以期實現(xiàn)攔截效果最優(yōu)化。

表3 在考慮反導系統(tǒng)天線發(fā)線朝向情況下的計算結(jié)果

3 結(jié)語

防空導彈攔截彈道導彈的作戰(zhàn)效能與防空導彈火力單元的部署位置密切相關，合理的戰(zhàn)斗部署是成功反導的前提和關鍵。本文綜合考慮武器系統(tǒng)、防御對象、來襲彈道目標等因素，建立了殺傷空域等重要參數(shù)的數(shù)學模型，實現(xiàn)了對反導武器系統(tǒng)攔截能力的仿真與分析，所得結(jié)果對于反導作戰(zhàn)一定的參考價值。