浙江 何曉禹 余繼光

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》)要求，在概率教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例，理解隨機(jī)事件獨(dú)立性與條件概率之間的關(guān)系，能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算.為此，條件概率、乘法公式與全概率公式復(fù)習(xí)的重要途徑就是選取經(jīng)典問(wèn)題，從不同角度拓展形成變式題，讓學(xué)生理解隨機(jī)事件獨(dú)立性與條件概率的聯(lián)系，盡可能挖掘課本例習(xí)題對(duì)建立條件概率概念的重要性，課本習(xí)題是教材編寫(xiě)者精挑細(xì)選后才定下的，具有鮮明的導(dǎo)向性、典型性、基礎(chǔ)性等特點(diǎn)，在鞏固、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件的獨(dú)立性與條件概率概念的理解具有舉足輕重的地位和作用.

變式教學(xué)是中國(guó)基礎(chǔ)教育的精髓，變式問(wèn)題串是變式教學(xué)的物質(zhì)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施變式教學(xué)必須研究變式問(wèn)題串.概率知識(shí)是有系統(tǒng)的，有結(jié)構(gòu)的，引入變式教學(xué)后，實(shí)現(xiàn)由“反復(fù)練習(xí)”向“理解學(xué)習(xí)”的轉(zhuǎn)變.變式問(wèn)題串通過(guò)自己的系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)，揭示概率知識(shí)系統(tǒng)與邏輯結(jié)構(gòu).通過(guò)問(wèn)題串進(jìn)行變式教學(xué)可以多角度理解條件概率概念，有層次地推進(jìn)乘法公式與全概率公式的教與學(xué)，在有序問(wèn)題解決途徑指引下，經(jīng)過(guò)有層次的變式訓(xùn)練，使學(xué)習(xí)者對(duì)條件概率概念和思想方法得到理解與掌握.

1.隨機(jī)事件的獨(dú)立性

1.1 研究目標(biāo)及背景

在復(fù)習(xí)隨機(jī)事件的條件概率之前，先復(fù)習(xí)隨機(jī)事件獨(dú)立性，通過(guò)課本經(jīng)典問(wèn)題理解隨機(jī)事件獨(dú)立性概念——什么是隨機(jī)事件的獨(dú)立性？如何判斷隨機(jī)事件的獨(dú)立性？2021年新高考數(shù)學(xué)概率題背景就是抽球模型中的隨機(jī)事件獨(dú)立性.

母題選?。阂粋€(gè)袋子中裝有標(biāo)號(hào)分別是1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異，

(Ⅰ)(2019年人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修二第246頁(yè)試驗(yàn)2)采用有放回方式從袋中任意摸出兩球，設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號(hào)小于3”，分別計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(Ⅱ)(2019年人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修二第248頁(yè)例1)采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件A=“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件B=“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨(dú)立？

解題探究：(Ⅰ)首先明確樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，

A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，

B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，

AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}

觀察發(fā)現(xiàn)P(AB)=P(A)P(B)，定義具有這一特征的兩個(gè)事件A與B，稱(chēng)其相互獨(dú)立.

(Ⅱ)樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，m≠n}，

A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，

此時(shí)P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A與事件B不相互獨(dú)立.

1.2 變式角度分析

從上述問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，有放回抽樣與無(wú)放回抽樣、樣本空間情境的變化對(duì)事件獨(dú)立性有著直接影響，在具體操作過(guò)程中，通過(guò)計(jì)算事件積的概率來(lái)判斷事件獨(dú)立性，因此，變式角度，一是問(wèn)題情境；二是有、無(wú)放回抽樣；三是樣本空間容量大小變化，一般而言，數(shù)學(xué)命題專(zhuān)家會(huì)在這幾個(gè)方面進(jìn)行變式.

變式方向一：小球個(gè)數(shù)增加，有放回抽樣條件下，關(guān)注隨機(jī)事件間的獨(dú)立關(guān)系.

【變式1】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立

解題探究：首先要知道兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，

由于P(甲丁)=P(甲)P(丁)，故選B.

解讀：這是根據(jù)教材一枚骰子投擲兩次所形成的36個(gè)基本事件而設(shè)計(jì)的一個(gè)檢測(cè)獨(dú)立性概念的題，此題說(shuō)明，高考命題專(zhuān)家以小球?yàn)樽ナ?，?wèn)題情境對(duì)所有人公平.

變式方向二：小球個(gè)數(shù)增加，無(wú)放回抽樣條件下，關(guān)注隨機(jī)事件間的獨(dú)立關(guān)系.

【變式2】有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立

解題探究：方法一：利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的直觀意義判斷，即如果事件A和B的發(fā)生互相不受影響，則事件A和B是相互獨(dú)立的，否則不獨(dú)立，

根據(jù)題意，可以判斷樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}共有36個(gè)樣本點(diǎn)，

對(duì)于事件甲所包含的樣本點(diǎn)為A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)};

對(duì)于事件乙所包含的樣本點(diǎn)為B={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)};

對(duì)于事件丙所包含的樣本點(diǎn)為C={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)};

對(duì)于事件丁所包含的樣本點(diǎn)為D={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.

方法二：利用獨(dú)立的一般定義，

于是P(AD)=P(A)P(D)，故選B.

變式方向三：改變問(wèn)題情境，判斷隨機(jī)事件間的獨(dú)立性.

【變式3】設(shè)甲、乙、丙三組紡織機(jī)器，已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都出現(xiàn)故障的概率是0.05，甲、丙都出現(xiàn)故障的概率是0.1,乙、丙都出現(xiàn)故障的概率是0.125.且甲，乙，丙三組機(jī)器分別出現(xiàn)故障的概率為0.2，0.25，0.5，則

( )

A.甲與乙相互獨(dú)立，但乙與丙不獨(dú)立

B.甲與丙相互獨(dú)立，但甲與丙不獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立，但甲與乙不獨(dú)立

D.甲、乙、丙兩兩獨(dú)立

解題探究：已知P(甲)=0.2，P(乙)=0.25，P(丙)=0.5，且P(甲乙)=0.05，P(甲丙)=0.1，P(乙丙)=0.125，

由于P(甲乙)=P(甲)P(乙)，

P(甲丙)=P(甲)P(丙)，

P(乙丙)=P(乙)P(丙)，

所以甲、乙、丙兩兩獨(dú)立，故選D.

1.3 變式規(guī)律及研究

上述問(wèn)題串說(shuō)明，變式命題主要是對(duì)問(wèn)題的樣本空間和問(wèn)題情境進(jìn)行改變，檢測(cè)應(yīng)試者判斷隨機(jī)事件獨(dú)立性的能力，解決問(wèn)題的基本功是事件的古典概率計(jì)算，近期新高考數(shù)學(xué)概率相關(guān)問(wèn)題著力點(diǎn)在隨機(jī)事件獨(dú)立性方面.

2.隨機(jī)事件的條件概率

2.1 研究目標(biāo)及背景

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中，大量的隨機(jī)事件是不獨(dú)立的，特別是在某一事件發(fā)生的前提下，對(duì)另一事件的影響的可能性，就需要研究條件概率，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》水平測(cè)試要求，隨機(jī)事件的條件概率的研究目標(biāo)如下，

①結(jié)合古典概型，了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率;

②結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系;

③結(jié)合古典概型，會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率;

④結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.

母題選取:(2019年人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第45頁(yè)問(wèn)題2)假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，那么

(Ⅰ)該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？

(Ⅱ)如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？

解題探究：記男孩為b，女孩為g，樣本空間為Ω={bb，bg，gb，gg}，且所有樣本點(diǎn)是等可能的，記A={選擇的家庭中有女孩}={bg，gb，gg}，B={選擇的家庭中兩個(gè)小孩都是女孩}={gg}.

此例揭示：研究條件概率，要關(guān)注隨機(jī)現(xiàn)象中的事件A，B，積事件AB是什么？樣本空間的變化，樣本容量有多大？此問(wèn)題可以歸結(jié)如下數(shù)學(xué)模型：

某袋內(nèi)有1個(gè)白球1個(gè)黑球，從中接連取二次，每次取一球，取后放回，問(wèn)二個(gè)都是白球的概率是多少？

2.2 變式角度分析

由于現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，隨機(jī)現(xiàn)象的復(fù)雜性，要從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境中剝離出具體事件，隨機(jī)事件的條件概率涉及積事件概率；樣本空間的變化；樣本容量——具體與一般的變化，抽樣方式——放回或不放回的變化；具體數(shù)據(jù)與一般數(shù)據(jù)的變化等等，因此，變式角度非常豐富，創(chuàng)新思考的意識(shí)要非常強(qiáng).

類(lèi)型一 隨機(jī)事件的條件概率

變式方向一：理解條件概率概念及概率表達(dá)形式的區(qū)別.

【變式1】假設(shè)有2個(gè)事件A，B，且P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論一定成立的是

( )

A.P(AB)≤P(B|A)

B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(B|A)=P(A|B)

D.P(B)=P(B|A)

根據(jù)條件無(wú)法判斷事件A與B獨(dú)立，所以選項(xiàng)B不一定成立；

此變式在于評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)條件概率概念的理解及邏輯推理能力.

變式方向二：增加樣本空間容量，體驗(yàn)條件概率計(jì)算方法.

【變式2】袋子中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)白球，3個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，求:

(Ⅰ)在第1次摸到白球的條件下，第2次摸到白球的概率；

(Ⅱ)兩次都摸到白球的概率

解題探究：以Ai表示“第i次取得白球”，i=1，2.

此變式在于學(xué)生體驗(yàn)條件概率與積事件概率的計(jì)算過(guò)程.

類(lèi)型二 乘法公式的應(yīng)用

變式方向三：在抽象數(shù)據(jù)條件下，體驗(yàn)乘法公式的計(jì)算方法.

【變式3】(一般模型)某袋內(nèi)有a(a≥2)個(gè)白球b個(gè)黑球，從中接連取三次，每次取一球，取后不放回，問(wèn)三個(gè)都是白球的概率是多少？

解題探究：以Ai表示“第i次取得白球”，A1=(白球，球，球)，A2=(球，白球，球)，A3=(球，球，白球)，這里“球”不論是白是黑均可，

以Ai表示“第i次取得白球”，i=1,2,3，要求P(A1A2A3),

此變式提升數(shù)據(jù)的抽象性，以及積事件概率計(jì)算的一般模型.

類(lèi)型三 全概率公式的應(yīng)用

變式方向四：在具體數(shù)據(jù)條件下，體驗(yàn)全概率公式的計(jì)算方法.

【變式4】(具體數(shù)據(jù))已知甲箱內(nèi)有3個(gè)白球2個(gè)黑球，乙箱內(nèi)有2個(gè)白球3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱，然后從乙箱中任取一球，則事件A：“從乙箱中取得白球”的概率為

( )

解題探究：以H1(H2)表示事件“自甲箱中取出的球?yàn)榘?黑)球”，

此變式在于學(xué)生體驗(yàn)利用全概率公式解決問(wèn)題的一般計(jì)算過(guò)程.

變式方向五：在抽象數(shù)據(jù)條件下，理解全概率公式的計(jì)算方法，檢測(cè)代數(shù)式運(yùn)算能力.

【變式5】(抽象數(shù)據(jù))已知甲袋內(nèi)有a個(gè)白球b個(gè)黑球，乙袋內(nèi)有c個(gè)白球d個(gè)黑球，a,b,c,d∈N*，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，然后從乙袋中任取一球，求事件A：“從乙袋中取得白球”的概率.

解題探究：以H1(H2)表示事件“自甲袋中取出的球?yàn)榘?黑)球”，考慮在H1，H2出現(xiàn)時(shí)，事件A的概率,

此變式在數(shù)據(jù)抽象狀態(tài)下，全概率公式應(yīng)用的一般模型.

變式方向六：改變問(wèn)題情境，貼近現(xiàn)實(shí)，體驗(yàn)全概率公式的應(yīng)用，這是用數(shù)學(xué)眼光觀察世界教育理念的落腳點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

【變式6】(情境轉(zhuǎn)變)飛機(jī)機(jī)組由一架長(zhǎng)機(jī)兩架僚機(jī)組成，一同飛向某目的地進(jìn)行轟炸，但要到達(dá)目的地，一定要有智能導(dǎo)航系統(tǒng)，而只有長(zhǎng)機(jī)有此設(shè)備，一旦到達(dá)目的地，各飛機(jī)將獨(dú)立進(jìn)行轟炸，且每架飛機(jī)炸掉目標(biāo)的概率均為0.3，在到達(dá)目的地之前，必須經(jīng)過(guò)導(dǎo)彈陣地上空，此時(shí)任一飛機(jī)被擊落的概率為0.2，求目標(biāo)被炸掉的概率.

解題探究：三架飛機(jī)飛往目的地去轟炸時(shí)，必須經(jīng)過(guò)導(dǎo)彈陣地上空，任一飛機(jī)被擊落的概率為0.2，因此有以下各種可能：

(1)在導(dǎo)彈陣地上空長(zhǎng)機(jī)被擊落，此時(shí)按題意不管僚機(jī)是否被擊落，都不可能有飛機(jī)到達(dá)目的地了；

(2)在導(dǎo)彈陣地上空兩架僚機(jī)都被擊落，只有一架長(zhǎng)機(jī)沒(méi)有被擊落，此時(shí)只有一架長(zhǎng)機(jī)到達(dá)目的地；

(3)長(zhǎng)機(jī)沒(méi)有被擊落，其中一架僚機(jī)被擊落，此時(shí)有兩架飛機(jī)到達(dá)目的地；

(4)三架飛機(jī)均通過(guò)導(dǎo)彈陣地上空而到達(dá)目的地.

首先，對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中的事件進(jìn)行梳理：

設(shè)B0={沒(méi)有飛機(jī)到達(dá)目的地}，B1={只有長(zhǎng)機(jī)飛到目的地}，

B2={長(zhǎng)機(jī)與一架僚機(jī)飛到目的地}，B3={三架飛機(jī)都飛到目的地}，

A={目標(biāo)被炸掉}，

其次，對(duì)問(wèn)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)：

P(B0)=0.2，

P(B1)=0.8×0.2×0.2=0.032，

P(B3)=(0.8)3=0.512，

P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.3，

P(A|B2)=1-0.7×0.7=0.51，

P(A|B3)=1-0.7×0.7×0.7=0.657，

此變式創(chuàng)設(shè)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境，檢測(cè)學(xué)生利用全概率公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

類(lèi)型四 復(fù)雜現(xiàn)實(shí)情境的綜合應(yīng)用

變式方向七：改變問(wèn)題目標(biāo)研究方向，在解決目標(biāo)問(wèn)題過(guò)程中，運(yùn)用全概率公式，計(jì)算條件概率.

【變式7】(尋找原因)已知甲箱內(nèi)有3個(gè)白球2個(gè)黑球，乙箱內(nèi)有2個(gè)白球3個(gè)黑球，丙箱內(nèi)有2個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)任取一箱，再?gòu)南渲腥稳∫磺?，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是白球，則在事件A“此球?yàn)榘浊颉睏l件下，事件H1“此球?qū)儆诩紫洹钡臈l件概率P(H1|A)為

( )

此變式既學(xué)會(huì)運(yùn)用全概率公式計(jì)算概率，又會(huì)尋找原因，計(jì)算條件概率.

變式方向八：將教材中學(xué)到的思想方法用于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并在解決問(wèn)題過(guò)程中運(yùn)用全概率公式，這是新高考數(shù)學(xué)命題的基本理念.

( )

解題探究：首先，對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中的事件進(jìn)行梳理：

記A為“遲到”，H1,H2,H3，H4分別表示“乘飛機(jī)”“乘船”“乘汽車(chē)”“乘高鐵”，

其次，對(duì)問(wèn)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)：

此變式創(chuàng)設(shè)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境，檢測(cè)學(xué)生利用全概率公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

2.3 變式規(guī)律及研究

隨機(jī)事件的條件概率、乘法公式、全概率公式應(yīng)用變式設(shè)計(jì)，以小球?yàn)樽ナ郑梢椎诫y，然后改變情境，貼近現(xiàn)實(shí).正如前面所言，此類(lèi)問(wèn)題變式角度頗多，呈現(xiàn)形式多樣，問(wèn)題情境多變，然而，所有問(wèn)題的解題探究思路的順序是固定的，即第一步，審題過(guò)程中，將問(wèn)題中的隨機(jī)事件尋找出來(lái)，排列好，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)好；第二步，將隨機(jī)事件的概率與條件概率，從問(wèn)題中尋找到，表達(dá)好；第三步，將問(wèn)題情境中需要解決的問(wèn)題尋找出來(lái)，表達(dá)好.

3.總結(jié)