山東 孫 浩

英國(guó)哲學(xué)家培根說(shuō)：“數(shù)學(xué)是思維的‘體操’.”數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生的思維就應(yīng)活躍，讓學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，養(yǎng)成正確的思維方式是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù).結(jié)合具體數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思維訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維最基本也是最重要的形式.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，而數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心是數(shù)學(xué)思維活動(dòng).在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)和比較，提升分析、綜合、抽象和概括能力，并能進(jìn)行合理的推理，嘗試合乎邏輯地闡述自己的思想與觀點(diǎn)，逐漸形成良好的思維品質(zhì).

在平時(shí)教學(xué)中，大多數(shù)老師重視知識(shí)的應(yīng)用，忽視知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、形成的過(guò)程，即重視“應(yīng)用”的訓(xùn)練，重視做題，而忽視對(duì)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維能力的培養(yǎng).在指導(dǎo)年輕教師參加市級(jí)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)時(shí)，與老師們一起研討《兩角差的余弦公式》這節(jié)課的設(shè)計(jì)與處理時(shí)，老師們說(shuō)：在平時(shí)教學(xué)中，我們一般都是讓學(xué)生直接記住公式，然后就開始做題，根本就沒(méi)有考慮如何進(jìn)行公式的推導(dǎo)，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.這是大多數(shù)老師平時(shí)教學(xué)的常態(tài)，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，老師們認(rèn)為只要學(xué)生能記住公式，會(huì)做題就行，公式是怎么得出來(lái)的不用管，學(xué)生也沒(méi)有必要知道，知道不知道沒(méi)多大差別，何必浪費(fèi)學(xué)生寶貴的學(xué)習(xí)時(shí)間去講公式的推導(dǎo)過(guò)程呢.

獲取知識(shí)的能力比知識(shí)本身更重要.知識(shí)是客觀存在的，只要有能力就能學(xué)到.但能力是不能學(xué)習(xí)和傳承的，只能靠培養(yǎng)和領(lǐng)悟.現(xiàn)代教育最重要的不是知識(shí)本身，而是教會(huì)學(xué)生獲取知識(shí)或分辨知識(shí)的能力.

知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過(guò)程，是有章可循的，絕不是憑空產(chǎn)生的，它一定有其根基、有其萌發(fā)點(diǎn)，這就需要我們?nèi)ネ诰?、去探?在教學(xué)中，只要我們有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的根基和萌發(fā)點(diǎn)，知識(shí)的生成就會(huì)順理成章、水到渠成.那么在課堂教學(xué)中我們應(yīng)如何開啟“尋根找點(diǎn)”的夢(mèng)幻之旅呢？下面以《兩角差的余弦公式》的公式推導(dǎo)為例，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

由于前面學(xué)生已經(jīng)完成了對(duì)誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和掌握，當(dāng)角α為非銳角時(shí)，我們可以借助誘導(dǎo)公式把角α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為其對(duì)應(yīng)銳角的某一三角函數(shù)值，因此我們可以借助誘導(dǎo)公式來(lái)求cos(α-β)的值.基于此我們只需研究當(dāng)角α，β為銳角，且α>β，兩角差的余弦公式的推導(dǎo)情況就可以了.

一、在探尋解決辦法中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

數(shù)學(xué)是思維的體操,問(wèn)題是思維的靈魂.在課堂教學(xué)中要善于幫助學(xué)生打開大腦的“搜索引擎”，通過(guò)合理設(shè)計(jì)問(wèn)題，開啟學(xué)生思維能力培養(yǎng)之旅.通過(guò)引入和分析，問(wèn)題就呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，如何借助銳角α和β的三角函數(shù)值來(lái)求cos(α-β)的值？目前我們沒(méi)有現(xiàn)成的辦法可以利用，只好去探索、去挖掘.

解決新問(wèn)題的一般思路和辦法，是借助學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).為了培養(yǎng)學(xué)生“尋法”的能力，筆者設(shè)計(jì)了這么一個(gè)問(wèn)題：回顧以前所學(xué)知識(shí)，在哪兒接觸過(guò)求一個(gè)角的余弦值呢？當(dāng)時(shí)是如何求解的？引導(dǎo)學(xué)生從小學(xué)、初中到高中逐一回顧，尋求知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

(1)小學(xué)階段我們沒(méi)有接觸過(guò)三角函數(shù)值問(wèn)題；

(3)高中在三角函數(shù)一章中學(xué)習(xí)過(guò)任意角的三角函數(shù).設(shè)角α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，那么x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

在課堂教學(xué)中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧以前所學(xué)知識(shí)，逐步探索問(wèn)題的解決思路，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的有效途徑.找到了知識(shí)根基，就要對(duì)知識(shí)進(jìn)行對(duì)比分析，思考哪些可以用來(lái)解決問(wèn)題，從而制定有效的解決辦法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

二、在構(gòu)造轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

平面向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式是老師們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中主要施教的方法，但是這個(gè)方法推導(dǎo)容易,想到難.因此在教學(xué)中必須處理清楚這兩個(gè)問(wèn)題：(1)如何才能想到利用向量法來(lái)推導(dǎo)公式呢？(2)角α和β如何與向量建立聯(lián)系？只有解決好這兩個(gè)問(wèn)題，才能更好地提高學(xué)生的思維能力.

構(gòu)造轉(zhuǎn)化能力是學(xué)生解決問(wèn)題的必備能力之一.向量法的推導(dǎo)重在“尋法”，只要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何利用所學(xué)知識(shí)，借助已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決新問(wèn)題，就能切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

通過(guò)分析我們可以看出，無(wú)論在初中，還是在高中，研究一個(gè)角的余弦值常用的辦法是把要研究的角放在一個(gè)直角三角形中.辦法找到了，我們通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考研究以下問(wèn)題，在思考研究中、在知識(shí)辨析中、在構(gòu)造轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用知識(shí)的能力，提升學(xué)生的思維能力.

(1)如何選取構(gòu)造直角三角形的基本量；

(2)如何構(gòu)造關(guān)于角α-β的直角三角形；

(3)探尋角α和β所在的直角三角形；

(4)如何與已知角α和β的三角函數(shù)值建立聯(lián)系；

(5)尋求不同直角三角形中角α和β的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

構(gòu)造直角三角形的基本原則是有更多的共同點(diǎn)，盡量把更多的已知量和求得量構(gòu)造在同一直角三角形里面.根據(jù)這個(gè)原則，我們來(lái)研究當(dāng)角α和β的頂點(diǎn)和始邊重合時(shí)，兩角差的余弦公式是如何推導(dǎo)的.

1.構(gòu)造角α和β所在平面直角坐標(biāo)系

以角α和β的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，角α和β的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為P和M.

2.構(gòu)造角α-β所在直角三角形

思路一:如圖，過(guò)點(diǎn)P向OM作垂線，垂足為A，則角α-β處于Rt△OAP中，∠OAP=90°，所以cos(α-β)=OA.

思路二:如圖，過(guò)點(diǎn)M向OP作垂線，垂足為A，則角α-β處于Rt△OAM中，∠OAM=90°，所以cos(α-β)=OA.

3.構(gòu)造轉(zhuǎn)化角α和β所在直角三角形

根據(jù)構(gòu)造直角三角形的原則，要有更多的共同點(diǎn)，思路一構(gòu)造的起點(diǎn)應(yīng)該選取點(diǎn)P，思路二構(gòu)造的起點(diǎn)應(yīng)該選取點(diǎn)M.在課堂教學(xué)中，我們主要應(yīng)該教給學(xué)生如何去思維，思維的源頭是如何發(fā)現(xiàn)的，而不是直接告訴學(xué)生如何去做，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，提升能力.

(1)思路一的構(gòu)造轉(zhuǎn)化，以點(diǎn)P和角α為基本量構(gòu)造直角三角形.如圖，過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線垂足為B，與OM交于點(diǎn)C.在Rt△OBP中，∠POB=α，OB=cosα，BP=sinα.

(2)思路二的構(gòu)造轉(zhuǎn)化，以點(diǎn)M和角β為基本量構(gòu)造直角三角形.如圖，過(guò)點(diǎn)M向x軸作垂線垂足為B.在Rt△OBM中，∠MOB=β，OB=cosβ，BM=sinβ.

4.尋找構(gòu)造另一角所在直角三角形

尋找構(gòu)造要借助已經(jīng)求得的量，不能另起爐灶、另辟蹊徑，要借力打力、搞接力賽、打擂臺(tái)賽，按照已有的量進(jìn)行構(gòu)造，思維之河才能順暢，培養(yǎng)思維能力才能有章可循.

(2)根據(jù)“構(gòu)造轉(zhuǎn)化角α和β所在直角三角形”的思路二中已求得量有OB和BM，現(xiàn)在就要尋找角α與OB或BM所在的直角三角形.我們以O(shè)B和α為基本量構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)B向OA作垂線垂足為C，在Rt△OBC中，因此可得OC=cosαcosβ，BC=sinαcosβ(如圖所示).

5.構(gòu)造轉(zhuǎn)化推導(dǎo)量完成推導(dǎo)思路建構(gòu)

由上面的分析可以看出cos(α-β)=OA，OA=OC+CA，經(jīng)過(guò)上述構(gòu)造轉(zhuǎn)化，我們利用角α和β的三角函數(shù)值可以表示OC，下面分析研究如何推導(dǎo)CA.

(2)在思路二中我們分析發(fā)現(xiàn)，CA沒(méi)有處于現(xiàn)成的直角三角形中，但可以推導(dǎo)出∠MBC=α，并且BM=sinβ，因此我們可以以∠MBC和BM為基本量構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)M向BC作垂線垂足為D，在Rt△BDM中MD=AC，從而得出MD=sinαsinβ，所以O(shè)A=cosαcosβ+sinαsinβ，即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

三、在嚴(yán)謹(jǐn)推證中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它對(duì)思維能力的培養(yǎng)起著獨(dú)特的作用，經(jīng)過(guò)一定的訓(xùn)練，可以使人清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù).在課堂教學(xué)中我們不但要讓學(xué)生能想清楚，而且要讓學(xué)生能寫明白.

在學(xué)生明晰了問(wèn)題的解決思路和辦法后，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C是培養(yǎng)思維能力不可或缺的重要一環(huán).因此在教學(xué)中必須要大膽放手讓學(xué)生去思考、去解決，在解決過(guò)程中優(yōu)化思維，這是嚴(yán)密思維能力訓(xùn)練的必由之路.為了加深學(xué)生對(duì)推導(dǎo)思路再理解、再研究，使思維能力訓(xùn)練再上一個(gè)層次，我們有必要讓學(xué)生把推導(dǎo)過(guò)程系統(tǒng)完整地整理出來(lái).

推導(dǎo)過(guò)程的條理有序是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維能力的必由之路，在教學(xué)中不可省略，也不可由老師用課件展示代替，要留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生去寫，在書寫中感悟，在不斷思考中內(nèi)化.(1)向量法推導(dǎo)，(2)利用直角三角形推導(dǎo)的思路一和思路二，這三種推導(dǎo)過(guò)程要讓學(xué)生全部推導(dǎo)一遍，不要只讓學(xué)生選擇其一，每一種推導(dǎo)方法都有對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的獨(dú)到作用，是不可替代的.系統(tǒng)整理推導(dǎo)過(guò)程是思維能力的深化過(guò)程，是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維能力的有效途徑.