畢宗琦 葉陽升 蔡德鉤 安再展

1.北京鐵科特種工程技術(shù)有限公司，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081；3.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司高速鐵路軌道技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081

建立科學(xué)有效的路基結(jié)構(gòu)耐久性評(píng)估方法，是實(shí)現(xiàn)高速鐵路路基高精度變形控制和長久服役須攻克的基礎(chǔ)性理論難題?？紤]到試驗(yàn)數(shù)據(jù)量巨大、計(jì)算的累積誤差以及參數(shù)獲取困難，傳統(tǒng)方法很難直接評(píng)估預(yù)測路基長時(shí)間尺度下的耐久穩(wěn)定狀態(tài)。

作為一種有別于常規(guī)彈塑性增量分析的臨界狀態(tài)方法，安定理論方法為預(yù)測結(jié)構(gòu)的安全性、評(píng)估其長期變形趨勢和穩(wěn)定性提供了有效的分析途徑。安定理論相關(guān)定理和算法最早是由Melan等［1］提出，并由Maier、Ceradini、Polizzotto等［2-4］進(jìn)一步發(fā)展。與傳統(tǒng)方法相比，安定性分析不需要精確的荷載歷史和時(shí)間歷程，只需要對外部荷載的邊界包絡(luò)進(jìn)行確定。因此，可以有效地確定承受大量荷載循環(huán)的給定路基結(jié)構(gòu)是否會(huì)產(chǎn)生塑性應(yīng)變的逐漸累積和最終失穩(wěn)破壞，從而給出高速鐵路路基長期服役耐久性的合理判斷。近年來，安定理論在巖土工程中的應(yīng)用越來越廣泛，如路面車轍變形［5］、海洋平臺(tái)地基承載能力［6］、邊坡穩(wěn)定性［7］以及無砟軌道結(jié)構(gòu)［8］的相關(guān)評(píng)估和分析。目前安定荷載已逐漸成為近代工程強(qiáng)度設(shè)計(jì)規(guī)范中塑性失效準(zhǔn)則的重要理論判斷依據(jù)，為臨界動(dòng)應(yīng)力的選取、結(jié)構(gòu)安全性評(píng)估等提供了有力的分析工具。

在安定分析算法方面，國內(nèi)外學(xué)者分別針對其研究的應(yīng)用場景和假定條件，給出了相應(yīng)的分析格式與求解流程。Yu等［9］提出了三維移動(dòng)交通荷載下黏性摩擦材料安定性的嚴(yán)格下限解，并通過優(yōu)化程序計(jì)算下限安定極限。Qian、Dai等［10-11］通過計(jì)算車輪和路面之間滾動(dòng)和滑動(dòng)接觸引起的彈性應(yīng)力響應(yīng)，擴(kuò)展了柔性路面的安定性分析。Alves等［12］針對板式無砟軌道相關(guān)的土體安定分析提供了一種基于2.5D數(shù)值模型的方法，分析了列車速度與安定極限載荷的關(guān)系。Connolly等［13］通過使用混合模型研究了高速鐵路的動(dòng)力學(xué)和安定問題，給出了彈性安定極限用于確定導(dǎo)致軌道破壞的最小荷載。Connolly等［14］將下限安定理論與基于強(qiáng)度的模擬方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了彈性應(yīng)力生成和安定計(jì)算之間的解耦。

在列車反復(fù)荷載作用下的路基安定分析中，動(dòng)力效應(yīng)的影響對應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)和累積滯回耗能起著重要作用，因此分析中應(yīng)適當(dāng)考慮振動(dòng)頻率和阻尼特性的影響。然而，目前大多數(shù)安定分析算法都使用了假設(shè)準(zhǔn)靜態(tài)載荷條件，動(dòng)力安定分析算法的相關(guān)研究與應(yīng)用還有待進(jìn)一步完善。本文基于動(dòng)力安定分析理論框架，提出一種基于殘余應(yīng)力模擬的動(dòng)力安定分析算法，并通過典型多層鐵路路基數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性，為路基結(jié)構(gòu)的耐久性評(píng)估以及維修養(yǎng)護(hù)提供理論支撐。

1 基本格式

根據(jù)動(dòng)力安定定理［15］，結(jié)構(gòu)安定的充要條件是，對于所有初值條件∈ΩI泛函空間和動(dòng)力作用∈ΩL泛函空間作用下的虛擬彈性動(dòng)力響應(yīng)，可以找到一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的殘余應(yīng)力分布和時(shí)間t*，使結(jié)構(gòu)內(nèi)部各處均不違反屈服條件，則真實(shí)結(jié)構(gòu)將安定于該殘余應(yīng)力狀態(tài)。具體而言，在獲取結(jié)構(gòu)在特定初始條件和外載荷下產(chǎn)生的彈性動(dòng)力響應(yīng)后，需在時(shí)域內(nèi)搜索獲取任何有可能使結(jié)構(gòu)達(dá)到臨界安定的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行安定性檢驗(yàn)。據(jù)此給出以下動(dòng)力安定分析格式

式中：λsd為安定荷載乘子；λ為荷載乘子為結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力關(guān)于位置坐標(biāo)求偏導(dǎo)；nj為方向余弦。

該問題最終歸結(jié)為一個(gè)最優(yōu)化求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃格式，式中s.t.表示約束條件。其目標(biāo)函數(shù)為荷載乘子λ，對應(yīng)于結(jié)構(gòu)所受外荷載的大小。求解時(shí)從數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的可行域內(nèi)部開始搜索最優(yōu)值。通過構(gòu)建自平衡殘余應(yīng)力場，對應(yīng)于載荷域ΩL的相關(guān)彈性域ΩE隨著載荷的增加而擴(kuò)展。最終，當(dāng)λ達(dá)到最大值、即安定荷載乘子λsd時(shí)，可以確定安定荷載域的極限，并完成動(dòng)力安定分析。

2 算法構(gòu)建

2.1 殘余應(yīng)力場的模擬

動(dòng)力安定分析求解的核心是尋找一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的自平衡殘余應(yīng)力場采用應(yīng)力模擬法，通過構(gòu)造虛設(shè)的自平衡溫度參數(shù)應(yīng)力場對高速鐵路路基結(jié)構(gòu)的殘余應(yīng)力場進(jìn)行模擬［16］。以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造以節(jié)點(diǎn)溫度T為變量的殘余應(yīng)力場

設(shè)物體的熱膨脹系數(shù)為α，由溫度載荷作用產(chǎn)生的熱應(yīng)變?yōu)棣?=αT。對于物體中存在初應(yīng)變的情況下，引入彈性矩陣D，并利用幾何矩陣B及結(jié)構(gòu)位移矩陣U表示應(yīng)變?chǔ)?BU，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為

結(jié)構(gòu)應(yīng)變能表示為

式中：K為剛度矩陣，K=BDB；R為常數(shù)項(xiàng)，R=為溫度應(yīng)變引起的載荷項(xiàng)，Q=

根據(jù)最小勢能原理，對式（3）進(jìn)行變分，并引入應(yīng)力矩陣S、關(guān)系矩陣G和H，可得以節(jié)點(diǎn)溫度T為自變量表示的溫度參數(shù)殘余應(yīng)力場為

將式（4）代入式（1）可得

2.2 屈服條件的線性化處理

在動(dòng)力安定分析格式中，將非線性屈服函數(shù)f進(jìn)行線性化處理，從而將大規(guī)模非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，降低問題求解難度。采用包含土體摩擦強(qiáng)度參數(shù)的Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則進(jìn)行模型的安定性判別。在2τxy-（σx-σy）應(yīng)力空間坐標(biāo)系中將一點(diǎn)的屈服條件轉(zhuǎn)化為l個(gè)線性方程，屈服條件不等式表示為

式中：σx、σy、τxy分別為x、y方向的正應(yīng)力以及剪應(yīng)力；Ak、Bk、Ck、Dk為系數(shù)，Ak=cos（2πk/l）+sinφcos（π/l），Bk=sinφcos（π/l）-cos（2πk/l），Ck=2sin（2πk/l），Dk=2ccosφcos（π/l）。

令

式中：N為線性化矩陣，由各線性屈服面的外法線向量組成；r為線性化后各屈服面至坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。

屈服條件轉(zhuǎn)化為

代入（5），并考慮與變載對應(yīng)的彈性應(yīng)力σde（t）、與恒載對應(yīng)的彈性應(yīng)力σse，得

2.3 變量數(shù)目的控制

變量數(shù)目對求解的效率有關(guān)鍵性影響。對于利用大量節(jié)點(diǎn)參數(shù)描述殘余應(yīng)力的場變量，適當(dāng)減少優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)、縮減規(guī)劃問題的規(guī)模將有效提升計(jì)算速度。本算法考慮在模型中利用非均勻有理B樣條插值手段，合理選取若干控制點(diǎn)賦予其新的變量，表征整個(gè)模型的殘余應(yīng)力場，從而減少變量數(shù)目，提高算法的運(yùn)行效率。具體實(shí)施步驟如下：

1）給定n×r維控制點(diǎn)Pi，j，Pi，j定義在笛卡爾坐標(biāo)系中，并給出對應(yīng)于Pi，j的二維權(quán)系數(shù)wi，j。

2）給定在兩個(gè)維度各自的插值次數(shù)p和q，依據(jù)定義，控制點(diǎn)Pi，j在兩個(gè)維度的向量長度分別為n+1和r+1，按歸一化B樣條插值基函數(shù)的性質(zhì)可知兩個(gè)維度上節(jié)點(diǎn)向量最大編號(hào)分別為m1=n+p+1和m2=r+q+1，節(jié)點(diǎn)向量長度分別為m1+1和m2+1。

3）根據(jù)兩個(gè)維度給出節(jié)點(diǎn)向量U=｛α，…，α，up+1，…，um1-p-1，β，…，β｝、V=｛α，…，α，vq+1，…，vm2-q-1，β，…，β｝，其中α和β的重復(fù)度分別為p+1和q+1。

4）給出NURBS有理多分式矢函數(shù)S(u，v)=其中u、v為坐標(biāo)系中兩個(gè)方向的參變量，Ni，p（u）、Nj，q（v）分別為u、v方向上的歸一化B樣條插值基函數(shù)。插值基函數(shù)通?？衫肅ox-de Boor遞歸公式獲取。

5）在矢函數(shù)S（u，v）的基礎(chǔ)上，構(gòu)建坐標(biāo)參數(shù)與擬合目標(biāo)參數(shù)的關(guān)系。每個(gè)控制點(diǎn)Pi，j對應(yīng)一個(gè)變量Ti，j，分量形式表示為P（x，y，T）=（Px，Py，PT），相應(yīng)的矢函數(shù)S（u，v）=［Sx（u，v），Sy（u，v），ST（u，v）］。生成擬合場后，利用反距離加權(quán)IDW法獲取模型網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的具體變量值。

3 求解流程

求解時(shí)，首先利用動(dòng)力響應(yīng)分析模塊，分別求出外荷載各基準(zhǔn)荷載分量P（x，t）作用下的彈性動(dòng)應(yīng)力場σ*（x，t）；隨后在模型空間內(nèi)部設(shè)置控制點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)溫度參數(shù)變化Tc作為自變量，生成整個(gè)模型區(qū)域的自平衡殘余應(yīng)力場σt（x）；將路基結(jié)構(gòu)各點(diǎn)位動(dòng)力、殘余應(yīng)力場疊加后，根據(jù)屈服函數(shù)設(shè)置約束條件，構(gòu)建最優(yōu)化問題分析格式并迭代求解，最終獲取安定荷載乘子的最大值λsd，完成高速鐵路路基結(jié)構(gòu)安定分析。

圖1 動(dòng)力安定分析算法求解流程

4 算例應(yīng)用

鐵路路基動(dòng)力安定分析的數(shù)值模型是根據(jù)文獻(xiàn)［17］的試驗(yàn)斷面建立，如圖2所示。路基總高度為6.86 m。模型中的構(gòu)件主要采用4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元離散化，如圖3所示，同時(shí)給出了基于NURBS的殘余應(yīng)力場的控制點(diǎn)的分布。圖4給出了在迭代中不斷更新對的殘余應(yīng)力場插值曲面，其形態(tài)由各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)變量和材料性質(zhì)決定，反映了自重和外部列車荷載加卸載后土體中殘余應(yīng)力的可能分布形式。

圖2 一高速鐵路路基結(jié)構(gòu)斷面（單位：m）

圖3 高鐵路基結(jié)構(gòu)模型與控制點(diǎn)設(shè)置

圖4 殘余應(yīng)力場模擬插值曲面

安定分析中模型材料參數(shù)見表1，其中Ed為動(dòng)彈性模量；ρ為密度；μ為泊松比；ξ為阻尼比；c為材料的黏聚力；φ為材料內(nèi)摩擦角。假設(shè)路基本體為各向同性、均質(zhì)材料?；炷涟逡暈榫€彈性材料。

表1 高速鐵路路基安定分析模型材料參數(shù)

動(dòng)力分析得到的路基動(dòng)應(yīng)力衰減變化曲線以及現(xiàn)場試驗(yàn)得到的實(shí)測數(shù)據(jù)見圖5。可知，模型中的動(dòng)應(yīng)力衰減與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了模型得到的動(dòng)態(tài)響應(yīng)基本規(guī)律的可靠性。

圖5 動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)果

通過本文給出的算法流程，路基結(jié)構(gòu)的安定極限可通過計(jì)算無量綱參數(shù)λsd獲得。動(dòng)力安定分析迭代收斂曲線見圖6。可知，經(jīng)過迭代分析，獲取了最優(yōu)值λsd=1.47。根據(jù)現(xiàn)場試驗(yàn)的測量值，結(jié)構(gòu)表面所受列車荷載實(shí)測值P0約為92 kPa，將其視為基準(zhǔn)荷載參考值，其與λsd的乘積表示外部荷載在參考值的不同倍數(shù)下的振幅。當(dāng)λ=λsd時(shí)，外載荷幅值Psd=λsdP0=135.24 kPa，即為算法獲取的路基的安定閾值。

圖6 動(dòng)力安定分析迭代收斂曲線

安定閾值與路基結(jié)構(gòu)的變形累積發(fā)展趨勢有密切的關(guān)聯(lián)。根據(jù)λsd的預(yù)測值選擇一系列荷載乘數(shù)λ1，施加振幅P1=λP0執(zhí)行荷載循環(huán)，提取等效塑性應(yīng)變的發(fā)展，對不同外荷載循環(huán)下的高速鐵路路基塑性應(yīng)變發(fā)展情況進(jìn)行研究，見圖7?？芍焊鶕?jù)等效塑性應(yīng)變隨時(shí)間的不同發(fā)展趨勢，主要分安定和連續(xù)累積兩組。載荷振幅低于安定閾值時(shí)（P1=92、120、130 kPa），等效塑性應(yīng)變的值在初始階段后不再增加，材料的應(yīng)變-應(yīng)力行為最終趨于線性響應(yīng)，這意味著模型達(dá)到安定狀態(tài)。相反，當(dāng)荷載超過安定閾值時(shí)（P1=133、135、140、150 kPa），等效塑性應(yīng)變在每個(gè)循環(huán)中繼續(xù)累積。因此，將外荷載作用下的路基動(dòng)力響應(yīng)控制在安定閾值內(nèi)，是控制路基結(jié)構(gòu)不發(fā)生無限制變形累積，維持耐久穩(wěn)定狀態(tài)的重要前提。

圖7 路基結(jié)構(gòu)塑性區(qū)等效塑性應(yīng)變發(fā)展趨勢及安定狀態(tài)判別

5 結(jié)語

本文提出了一種基于殘余應(yīng)力模擬的高速鐵路路基動(dòng)力安定分析算法和數(shù)值求解程序，用于研究鐵路路基的安定極限。通過在結(jié)構(gòu)中使用控制點(diǎn)并結(jié)合NURBS插值，構(gòu)建了與時(shí)間無關(guān)的自平衡殘余應(yīng)力場和相應(yīng)的算法格式。通過應(yīng)力模擬、屈服面線性化處理以及變量數(shù)目優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了算法求解效率的提升。

高速鐵路路基的動(dòng)力安定極限無量綱參數(shù)λsd=1.47，與現(xiàn)場試驗(yàn)荷載基準(zhǔn)值92 kPa對應(yīng)的安定閾值為135.24 kPa。等效塑性應(yīng)變的發(fā)展曲線給出了路基是否能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)或變形持續(xù)累積狀態(tài)的分類標(biāo)準(zhǔn)，給出了安定和連續(xù)累積兩大類累積趨勢。

本文方法可以進(jìn)一步擴(kuò)展到考慮材料硬化的影響、使用不同的應(yīng)力-應(yīng)變屈服函數(shù)，或更復(fù)雜精細(xì)的路基結(jié)構(gòu)形式。