張桂才,馮 菁,馬 林

（天津航海儀器研究所,天津 300131)

0 引言

在干涉測量中,給定有限的資源（如光功率或光子數(shù)等),相位檢測靈敏度受光源或探測過程的統(tǒng)計不確定性限制。研究證明,傳統(tǒng)光纖陀螺采用光的經(jīng)典態(tài)（比如激光器和寬帶光源),相位靈敏度受散粒噪聲限制[1]:Δ?=1/。其中,Δ?為相位誤差,N為Sagnac干涉儀的輸入光功率（或輸入光子數(shù))。另一方面,量子干涉測量技術(shù)采用光的非經(jīng)典態(tài)[2-4],基于被探測光子的糾纏特性,導致一種縮短的de Broglie波長,理論上可以突破經(jīng)典光纖陀螺的散粒噪聲極限,達到Heisenberg極限:Δ?=1/N,這為光纖陀螺提供了一種新的精度提升途徑[5-7]。

眾所周知,傳統(tǒng)光纖陀螺采用一個寬帶光源和一個探測器,輸入/輸出共用Sagnac干涉儀的一個端口,這種結(jié)構(gòu)構(gòu)成一種互易性光路,使Sagnac干涉儀中的兩束反向傳播的光束具有相同的傳輸特性[1,8],也即各種因素引起的兩束光的附加相移相同。采用互易性結(jié)構(gòu)使傳統(tǒng)Sagnac干涉儀的相位測量精度遠超其它類型的光纖干涉儀,能夠檢測出優(yōu)于10-7rad～10-8rad（量級)的微小相位差。另一方面,光子糾纏光纖陀螺同樣存在互易性問題。一般情況下,光子糾纏光纖陀螺需要采用雙端口輸入/雙端口輸出的光路結(jié)構(gòu),這種光路結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)光纖陀螺完全不同,是否具備互易性尚未被人們充分認識。

光子糾纏光纖陀螺作為一項前沿技術(shù),目前尚處于原理論證和理論探索階段,相關(guān)文獻報道還很少,且主要集中在Heisenberg極限靈敏度的理論分析方面,個別實驗報道雖已產(chǎn)生量子增強效果,但其精度和實驗手段距離實用還較遠。本文主要對光子糾纏光纖陀螺的原理和誤差機制進行研究,針對光子糾纏光纖陀螺通常采用雙端口輸入/輸出的光路特征,利用散射矩陣模型分析了非理想分束器的相位特性,理論推導了各種非經(jīng)典輸入態(tài)的二階符合輸出光強。在此基礎上,首次研究了光子糾纏光纖陀螺的光路互易性。

1 光子糾纏光纖陀螺的光路結(jié)構(gòu)

1.1 傳統(tǒng)光纖陀螺的光路互易性

傳統(tǒng)光纖陀螺的光路結(jié)構(gòu)如圖1所示,分束器（2×2光纖耦合器)和光纖線圈共同構(gòu)成Sagnac干涉儀（其它部分未示出)。Sagnac干涉儀有兩個輸入/輸出端口,分別稱為端口1和端口2。端口1的輸入場為a1,端口2沒有輸入場,則從端口1輸出的順時針（cw)光波前后兩次通過光纖耦合器,先經(jīng)歷一次透射（傳輸)過程再經(jīng)歷一次耦合過程;從端口1輸出的逆時針（ccw)光波先經(jīng)歷一次耦合過程再經(jīng)歷一次透射（傳輸)過程。兩束反向傳播光波各經(jīng)歷了一次耦合和一次傳輸,累積相位差為零,經(jīng)典干涉輸出（端口1)必為中心明紋（1+ei?)形式。從端口2輸出的順時針（cw)光波兩次通過光纖耦合器,兩次經(jīng)歷透射（傳輸)過程;而從端口2輸出的逆時針（ccw)光波則兩次經(jīng)歷耦合過程。由于耦合光束相對反射光束存在相位差（理想情況下為π/2),這意味著即使陀螺靜止,兩束反向傳播光波之間也存在一個π弧度的累積相位差,干涉輸出必為中心暗紋 （1+ei（π+?)=1-ei?) 形式。 傳統(tǒng)光纖陀螺能夠檢測10-8rad（量級)的微小相位,這意味著這個π弧度的相位差也應具有相同量級的穩(wěn)定性。但實際中,光纖耦合器存在插入損耗,且插入損耗和分光比通常是不穩(wěn)定的,受環(huán)境溫度、振動等的影響很大,這個π弧度的相位差也是不穩(wěn)定的,會在陀螺中產(chǎn)生較大的誤差或漂移。因此,在傳統(tǒng)光纖陀螺中,端口1通常稱為互易性端口,既是輸入信號端口,也是輸出信號端口,而端口2稱為非互易端口。傳統(tǒng)光纖陀螺這種輸入/輸出共享一個端口的互易性光路結(jié)構(gòu)確保了兩束反向傳播光波經(jīng)過光纖耦合器時歷經(jīng)的耦合相移和傳輸相移相等,從而使干涉信號的固有累加相移抵消為零,這是傳統(tǒng)光纖陀螺與其它光纖干涉儀（如M-Z干涉儀)相比具有較高相位檢測靈敏度的主要原因。

圖1 傳統(tǒng)光纖陀螺的互易性結(jié)構(gòu)Fig.1 Reciprocity structure of classical fiber optic gyroscope

1.2 采用雙環(huán)行器的光子糾纏光纖陀螺

在光子糾纏Sagnac干涉儀中,需要兩個輸入端口和兩個輸出端口,以便實現(xiàn)二階符合計數(shù)。實際中,為了實現(xiàn)輸入和輸出模式的有效分離,提出了一種采用雙環(huán)行器的Sagnac干涉儀結(jié)構(gòu),如圖2所示。

圖2 采用雙環(huán)行器的光子糾纏Sagnac干涉儀Fig.2 Photon entangled Sagnac interferometer with double circulators

在量子理論中,輸入/輸出場振幅均用湮滅算符表示,因為這些算符的行為類似經(jīng)典場中的復數(shù)場表示。假定a1、a2為對應端口1和端口2的輸入,b1、b2為相應端口的輸出。a1、a2、b1、b2對經(jīng)典來說是場振幅,對量子來說是場的湮滅算符,則Sagnac干涉儀的輸入輸出關(guān)系為

式（1)中的傳輸矩陣SSagnac可以寫為[9]

式（2)中,SBS1為光第一次經(jīng)過分束器時的傳輸矩陣,SBS2為光第二次經(jīng)過分束器時的傳輸矩陣,?為旋轉(zhuǎn)引起的Sagnac相移,S?為光纖線圈（可以看成一個相移器)的傳輸矩陣,（t1,r1)和（t2,r2)分別為從分束器兩側(cè)輸入時的振幅透射系數(shù)和振幅耦合系數(shù)。對于分立光學元件或空間光學元件,分束器可由半透半反鏡構(gòu)成;對于光纖器件,分束器是一個2×2光纖耦合器。其中,半透半反鏡的透射光束對應光纖耦合器的傳輸光束,半透反射鏡的反射光束對應光纖耦合器的耦合光束,兩者的分析模型相同。

在分析量子分束器時,同樣用場的湮滅算符a1、a2、b1、b2分別表示輸入和輸出,分別為與之對應的創(chuàng)生算符,則輸入/輸出關(guān)系寫成矩陣形式為

由于分束器的互易性, 有φ1= φ2、ψ1= ψ2。通常認為反射鏡厚度為零,則反射相位相對透射相位的相位差:ψ1- φ1= ψ1、ψ2- φ2= ψ2。因此,對于無損耗分束器,由式（7)得到: ψ1= ψ2= π/2。

2 非理想分束器相位特性的散射矩陣分析

2.1 分束器的散射矩陣模型

實際分束器通常是不理想的,這表現(xiàn)為光纖耦合器存在插入損耗和分光比不等于50:50。其傳輸矩陣不再是幺正矩陣,耦合光束相對傳輸光束的相位關(guān)系也將偏離π/2?？梢杂蒙⑸渚仃嚪治龇抢硐敕质鞯膫鬏斕匦訹10-11],如圖3所示,對于含有4個端口的光纖耦合器,不考慮內(nèi)部反射,則其散射矩陣S為

圖3 光纖耦合器的散射矩陣模型Fig.3 Scattering matrix model of optical fiber coupler

式（8)中,Sij為耦合器散射矩陣的元素。

式（11)中,D=[I]-[S]H[S]為耗散矩陣。對于含有損耗的光纖耦合器,[A]H[A]-[B]H[B]>0,因此式（11)為正定二次型。由于DH=D,所以D為厄密矩陣。根據(jù)矩陣理論,實域上實對稱矩陣及其正定二次型性質(zhì)可以推廣到復數(shù)域的厄密矩陣及其正定二次型。矩陣D=[I]-[S]H[S]為正定的充要條件是其各階順序主子式detiD>0。據(jù)此,可以分析非理想分束器的相位特性。

2.2 非理想分束器的相位特性

分束器存在損耗時,假定損耗沒有破壞分束器的功率互易性,此時ψ1=ψ2但不等于π/2。設ψ1=ψ2=ψ,根據(jù)前面的分析,有損耗的分束器傳輸矩陣可以表示為

圖4為插入損耗αs對分束器相位特性的影響,圖5為分光比誤差ε對分束器相位特性的影響。由式（16)、圖4和圖5可以看出,當αs為零,即沒有損耗時,光纖耦合器的累積耦合相位2ψ=π,與分束器分光比無關(guān);但當考慮插入損耗αs時,累積耦合相位2ψ將大大偏離π相位,且變得與分束器分光比也有關(guān)系。尤其在實際中,耦合器插入損耗和分光比誤差還隨環(huán)境如溫度、振動變化,對于非互易的光路結(jié)構(gòu),2ψ與Sagnac相移寄生在一起,將對光纖陀螺的相位檢測靈敏度產(chǎn)生嚴重影響。

圖4 插入損耗αs對分束器相位特性的影響Fig.4 Effect of insertion lossαson phase characteristics of beam splitter

圖5 分光比誤差ε對分束器相位特性的影響Fig.5 Effect of splitting ratio errorεon phase characteristics of beam splitter

3 輸入態(tài)對光子糾纏光纖陀螺互易性的影響

非理想分束器傳輸矩陣SBS取式（12)的形式時,由式（2),非理想Sagnac干涉儀的傳輸矩陣為

3.1 非對稱Fock態(tài)輸入

當輸入態(tài)為非對稱雙模Fock態(tài)時,為方便運算,這里以 | 21〉態(tài)為例,二階符合計數(shù)為

將式（1)、 式（19)、 式（20)代入式（21)中, 并忽略ε的二階及高階小量,則有

可以看出,非互易誤差2ψ寄生在與量子增強項2?有關(guān)的余弦項中,與Sagnac相移不可區(qū)分。令2ψ =π-δ,可以證明,δ對式（22)中其它項的影響產(chǎn)生了一個二階強度漲落,可以忽略。考慮偏置相位?→Φ0+?,Φ0=π/4,測量微小?時,只考慮上式中的量子增強項cos（2? +2ψ)+4cos2?,有

分束器插入損耗和分束器給定,δ是一個固定值,對相位檢測沒有影響。但分束器常常隨環(huán)境如溫度、振動等變化,致使δ存在不穩(wěn)定性,進而分束器不理想引起的相位漂移Δ?為

廣義地講,如果兩個端口的輸入態(tài)是完全不同的量子態(tài),則圖2所示也必然是一個非互易性光路,典型例子是相干態(tài)+壓縮態(tài)輸入 |α,r〉。其中,α為相干態(tài)的振幅,r為壓縮態(tài)的壓縮參數(shù),其二階符合光強I12中量子增強項為

它是δ的一階小量,不能忽略。因此,對于非對稱Fock態(tài)輸入,光子糾纏Sagnac干涉儀將是一個非互易性光路結(jié)構(gòu)。

在與量子增強項2?有關(guān)的余弦項中存在寄生的2ψ相位,顯然光路不具有互易性。

3.2 對稱Fock態(tài)輸入

當輸入態(tài)為對稱的雙模Fock態(tài)時,以 |22〉態(tài)為例,二階符合計數(shù)為

可以看出,在與量子增強項2?有關(guān)的余弦項中沒有寄生的2ψ相位,2ψ只對I12的強度有影響。令2ψ =π-δ,同樣考慮偏置相位?→Φ0+?,Φ0=π/4,測量微小?時,分束器不理想引起的相位漂移Δ?為

這是δ的二階小量,可以忽略。因此,對于對稱的Fock態(tài)輸入,光子糾纏Sagnac干涉儀將是一個互易性光路結(jié)構(gòu)。

對稱Fock態(tài)輸入的典型光源是雙模壓縮態(tài),通過參量向下轉(zhuǎn)換（SPDC)產(chǎn)生[9]

3.3 N00N態(tài)

這些都是經(jīng)過理想分束器產(chǎn)生4004態(tài)的輸入態(tài),這兩種N00N態(tài)的輸入態(tài)都含有非對稱Fock態(tài)。下面以式（34)為例,研究N00N態(tài)的光路互易性。忽略振幅項中與δ2有關(guān)的高階誤差項,通過非理想Sagnac干涉儀的二階相關(guān)光強I12為

這說明,通過理想分束器后能夠生成理想N00N態(tài)的輸入態(tài)組合。在第一次經(jīng)過Sagnac干涉儀的非理想分束器后,盡管生成的N00N態(tài)非理想（含其它態(tài)),但第二次經(jīng)過非理想分束器后,對二階關(guān)聯(lián)光強I12來說,與量子增強項2?有關(guān)的余弦項中不含與2ψ有關(guān)的寄生相移。這說明,基于N00N態(tài)的光子糾纏光纖陀螺,由于其輸入態(tài)組合包含等概率形式的非對稱Fock態(tài)的疊加,理論上仍是一個互易性光路。

4 結(jié)論

本文運用散射矩陣模型對非理想光纖耦合器的相位特性進行了理論分析,光纖耦合器耦合光束相對傳輸光束的相位ψ與光纖耦合器的插入損耗和分光比有關(guān),而插入損耗和分光比隨環(huán)境（如溫度、振動)的變化導致相位ψ存在不穩(wěn)定性。傳統(tǒng)光纖陀螺采用單端輸入,輸入/輸出共享一個端口,確保兩束反向傳播光波經(jīng)過光纖耦合器時歷經(jīng)的耦合相移和傳輸相移相等,從而使干涉信號的固有累加相移抵消為零,這種互易性的光路結(jié)構(gòu)是傳統(tǒng)光纖陀螺具有較高相位檢測靈敏度的主要原因。本文針對光子糾纏光纖陀螺通常采用雙端口輸入/輸出的結(jié)構(gòu)特征,通過分析不同F(xiàn)ock態(tài)輸入時的二階符合計數(shù),對光子糾纏光纖陀螺的光路互易性進行了分析。研究表明,采用對稱輸入的Fock態(tài)（比如雙模壓縮態(tài)),光子糾纏光纖陀螺的雙端口輸入/輸出光路結(jié)構(gòu)仍然具有互易性;但對于非對稱的輸入態(tài),相位ψ寄生到量子增強的Sagnac相移中,產(chǎn)生一種不能忽略的非互易誤差。幸運的是,盡管N00N態(tài)的輸入態(tài)含有非對稱Fock態(tài)分量,但采用雙環(huán)行器的非理想Sagnac干涉儀對N00N態(tài)來說,仍是一個互易性光路。本文的研究對于光子糾纏光纖陀螺的光源選型具有參考意義。