重慶市銅梁二中(402560) 李波

在[1]中,作者利用誘導(dǎo)公式給出了圓錐曲線焦半徑倒數(shù)和為定值的部分結(jié)論.受此文啟發(fā),本文將[1]中的結(jié)論推廣到一般情形,并得到圓錐曲線焦半徑倒數(shù)和的統(tǒng)一表達(dá)式.最后,探究了焦半徑倒數(shù)和的一個(gè)變式,得到了幾個(gè)較弱的結(jié)論.

一、一個(gè)統(tǒng)一的結(jié)論

性質(zhì)1設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),過F的焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)滿足條件:任意相鄰兩條焦半徑的夾角為

證明以F為極點(diǎn),射線FO為極軸,建立極坐標(biāo)系,則橢圓C的極坐標(biāo)方程為:e為離心率.若P1的極角為α, 則P2,P3,··· ,Pn的極角分別為于是,進(jìn)而

熟知下面兩個(gè)事實(shí):

(i)xn= 1 的全部復(fù)根(即n次單位根)為ωj=其中i為虛數(shù)單位;

(ii)復(fù)數(shù)eθi的n次方根為

雙曲線上也有類似的結(jié)論,即:

性質(zhì)2設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn),過F的焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)滿足條件: 任意兩條相鄰焦半徑的夾角為

類似于性質(zhì)1 的證明,還可以得到

性質(zhì)3設(shè)F是拋物線C:y2=2px(p ＞0)焦點(diǎn),過F的焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)滿足條件: 任意兩條相鄰焦半徑的夾角為

注記對(duì)于性質(zhì)1 中的橢圓和性質(zhì)2 中的雙曲線,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是記,則而性質(zhì)3 中的拋物線的焦準(zhǔn)距就是標(biāo)準(zhǔn)方程中的p且拋物線的離心率為1,則ep=p.如果把圓錐曲線的焦準(zhǔn)距統(tǒng)一用p表示,那么前面的三條性質(zhì)可統(tǒng)一寫成:

結(jié)論設(shè)F是圓錐曲線Γ 的焦點(diǎn),F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p, 過F的焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)滿足條件: 任意兩條相鄰焦半徑的夾角為(e是Γ 的離心率).

二、一類變式探究

對(duì)圓錐曲線焦半徑倒數(shù)和作一個(gè)變式,也可以得到一類較弱的結(jié)論.下面只給出拋物線和橢圓上的相關(guān)結(jié)論,雙曲線上的類似結(jié)論不再詳述.

性質(zhì)4設(shè)F是拋物線C:y2= 2px(p ＞0)焦點(diǎn), 過F的焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)分別與圓交于M1,M2,··· ,Mn且任意兩條相鄰焦半徑的夾角為,則

(1)當(dāng)n=2 時(shí),

(2)當(dāng)n=4 時(shí),

證明在以F為極點(diǎn),F向x軸正方向作的射線為極軸的極坐標(biāo)系下,C和圓F的方程分別為設(shè)P1(ρ,θ), 則即

(1)當(dāng)n=2 時(shí),

(2)當(dāng)n=4 時(shí),

性質(zhì)5設(shè)F(c,0)是橢圓的右焦點(diǎn), 焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)分別與圓F: (x-c)2+y2= (a-c)2交于M1,M2,··· ,Mn且任意兩條相鄰焦半徑的夾角為e為C的離心率,則

(1)當(dāng)n=2 時(shí),

(2)當(dāng)n=4 時(shí),

證明設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A,在F為極點(diǎn),射線FA為極軸的極坐標(biāo)系下,C的方程為(p為焦準(zhǔn)距).令P1(ρ,θ),則即

(1)當(dāng)n=2 時(shí),

(2)當(dāng)n=4 時(shí),

類似于性質(zhì)5 的證明,可得

性質(zhì)6設(shè)F(-c,0)是橢圓的左焦點(diǎn), 焦半徑FP1,FP2,··· ,FPn(n≥2)分別與圓F: (x+c)2+y2= (a+c)2交于M1,M2,··· ,Mn且任意兩條相鄰焦半徑的夾角為e為C的離心率,則

(1)當(dāng)n=2 時(shí),

(2)當(dāng)n=4 時(shí),

最后,提供一個(gè)練習(xí)題目.

練習(xí)(2020 武漢6月模擬)已知過拋物線C:y2= 4x的焦點(diǎn)E的直線交C于P,Q兩點(diǎn),交圓x2+y2-2x= 0于M,N兩點(diǎn),其中P,M位于第一象限,則的最小值為____.(答案: 2.)