劉文吉, 杜佳璐,*, 李 健, 李 諍

(1. 大連海事大學(xué)船舶電氣工程學(xué)院, 遼寧 大連 116026; 2. 大連海事大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院, 遼寧 大連 116026)

0 引 言

作業(yè)中的船舶在風(fēng)、浪等作用下產(chǎn)生橫漂、前進(jìn)、升沉、橫搖、縱搖和艏搖運(yùn)動,不可避免地威脅到船上設(shè)備的運(yùn)行安全[1]。船舶動力定位系統(tǒng)可抑制船舶的橫移、前進(jìn)和艏搖運(yùn)動[2-3],而船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動需要通過船載穩(wěn)定平臺來隔離其對船上設(shè)備的影響,從而使船載穩(wěn)定平臺上支撐面相對慣性空間保持穩(wěn)定,使船上設(shè)備安全平穩(wěn)作業(yè)。實(shí)際中,船載穩(wěn)定平臺是一個具有高度非線性、強(qiáng)耦合、變負(fù)載的多變量系統(tǒng)[4-6],并遭受隨機(jī)變化且不可預(yù)知的海洋環(huán)境引起的船舶搖蕩運(yùn)動對其產(chǎn)生的擾動,導(dǎo)致船載穩(wěn)定平臺運(yùn)動數(shù)學(xué)模型具有動態(tài)不確定和擾動不確定,加大了船載穩(wěn)定平臺鎮(zhèn)定控制難度。

自20世紀(jì)50年代至今,陀螺式穩(wěn)定平臺研究已相對成熟。針對艦載雷達(dá)穩(wěn)定平臺,文獻(xiàn)[7]將模糊邏輯控制與傳統(tǒng)比例-積分-微分(proportional-integral-derivative, PID)相結(jié)合,設(shè)計(jì)模糊PID控制器,較好地克服了系統(tǒng)非線性因素的影響。文獻(xiàn)[8]采用灰色滑模算法設(shè)計(jì)陀螺穩(wěn)定平臺穩(wěn)定控制器,有效減小了系統(tǒng)非線性摩擦擾動的影響。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]分別根據(jù)自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)的思想設(shè)計(jì)了陀螺式平臺鎮(zhèn)定控制器,有效提高了系統(tǒng)的魯棒性。然而,陀螺式平臺由于其自身結(jié)構(gòu)的限制,其承載能力低。

相較于陀螺式平臺,并聯(lián)平臺具有承載能力高等優(yōu)點(diǎn)[11-13]。文獻(xiàn)[14]針對一個并聯(lián)三自由度船載平臺,根據(jù)測得的船舶橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動量進(jìn)行運(yùn)動學(xué)反解,解算出平臺每個液壓缸的期望伸縮量,并設(shè)計(jì)位置PI控制器,協(xié)同控制3個液壓缸,補(bǔ)償船舶橫搖、縱搖和升沉三自由度運(yùn)動,使船載平臺上支撐面保持平穩(wěn),從而隔離船舶運(yùn)動對船上設(shè)備產(chǎn)生的擾動。針對3-SRR/SRU型并聯(lián)三自由度船載平臺,文獻(xiàn)[15]在運(yùn)動學(xué)反解基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了PID控制器,實(shí)現(xiàn)了船載平臺穩(wěn)定控制。文獻(xiàn)[16]將滑?？刂坪蚉ID控制相結(jié)合,為3-RPS型并聯(lián)平臺設(shè)計(jì)了代理滑模穩(wěn)定控制器。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種3-SRR/RCR型并聯(lián)三自由度船載平臺及其非線性模型預(yù)測鎮(zhèn)定控制器,仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的平臺鎮(zhèn)定控制器在控制性能和能效方面優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。針對一款Stewart結(jié)構(gòu)船載平臺,文獻(xiàn)[18]提出一種基于船舶運(yùn)動預(yù)報(bào)的模型預(yù)測控制策略,并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制策略的有效性及高精度。上述文獻(xiàn)均未考慮船載穩(wěn)定平臺所遭受到的未知外界擾動的影響,這是不實(shí)際的。針對2UPS-RPS-PS型并聯(lián)三自由度冗余驅(qū)動穩(wěn)定平臺,考慮穩(wěn)定平臺建模誤差及遭受的外部干擾,文獻(xiàn)[19]在動力學(xué)分析的基礎(chǔ)上,提出了基于終端滑模的平臺穩(wěn)定控制策略,計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真及樣機(jī)物理實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了穩(wěn)定控制策略的有效性。針對3-RRPRP/RS并聯(lián)復(fù)合驅(qū)動的三自由度船載穩(wěn)定平臺,考慮穩(wěn)定平臺所遭受的內(nèi)部及外部干擾,文獻(xiàn)[20]將滑模變結(jié)構(gòu)控制方法與擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)相結(jié)合,提出了基于ESO的船載平臺滑模變結(jié)構(gòu)鎮(zhèn)定控制策略,計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真及樣機(jī)物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的鎮(zhèn)定控制策略能補(bǔ)償船舶運(yùn)動。針對并聯(lián)三自由度船載平臺,文獻(xiàn)[21]考慮到平臺橫搖、縱搖、升沉運(yùn)動之間存在耦合及所遭受的動態(tài)不確定與未知外界擾動,將其視為總擾動,構(gòu)造ESO,實(shí)時估計(jì)這個總擾動,并設(shè)計(jì)PID反饋控制律,實(shí)現(xiàn)平臺的穩(wěn)定控制。

本文針對并聯(lián)三自由度船載穩(wěn)定平臺(下文均簡稱為船載平臺),同時考慮存在動態(tài)不確定以及風(fēng)、浪等引起的船舶搖蕩運(yùn)動對船載平臺造成的未知外界擾動,構(gòu)造超螺旋擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(super-twisting extended state observer,STESO),進(jìn)一步,提出基于STESO的超螺旋滑模(super-twisting sliding mode,STSM)鎮(zhèn)定控制方案,使得船載平臺上支撐面漸近調(diào)節(jié)于慣性空間中某一期望的位姿,并保持不變,使船載平臺隔離船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動對船上設(shè)備運(yùn)行安全的影響。

1 問題描述與預(yù)備知識

如圖1所示,定義北東坐標(biāo)系與船載平臺上支撐面坐標(biāo)系。{NE}-OneXneYneZne為北東坐標(biāo)系,其坐標(biāo)原點(diǎn)One可取為地球表面上的任何一點(diǎn),OneXne軸和OneYne軸分別指正北、正東方向,OneZne軸垂直于地球表面指向下,{NE}-OneXneYneZne為慣性坐標(biāo)系。{TP}-OtpXtpYtpZtp為船載平臺上支撐面坐標(biāo)系,將其坐標(biāo)原點(diǎn)Otp選在上支撐面的質(zhì)心,OtpXtp軸平行于船舶中線從船尾指向船艏,OtpYtp軸垂直船舶中線指向船舶右舷,OtpZtp軸垂直于OtpXtpYtp平面指向船底。平面OneXneYne與OtpXtpYtp均平行于靜水面。

依據(jù)牛頓-歐拉法,建立船載平臺的動力學(xué)方程[22]為

(1)

式中:p=[z,φ,θ]T為船載平臺上支撐面在慣性坐標(biāo)系下的位姿,由升沉位移z、橫搖角φ和縱搖角θ組成;τ=[τ1,τ2,τ3]T表示船載平臺運(yùn)動控制向量,τ1為升沉控制力、τ2為橫搖控制力矩、τ3為縱搖控制力矩;τd=[τd1,τd2,τd3]T表示海洋環(huán)境引起的船舶運(yùn)動對船載平臺的擾動,τd1為升沉擾動力、τd2為橫搖擾動力矩、τd3為縱搖擾動力矩;M(p)∈R3×3為慣性矩陣,其表達(dá)式為

(2)

(3)

G=[mpg,0,0]T為重力向量,g為重力加速度。

假設(shè) 2風(fēng)、浪等海洋環(huán)境引起的船舶運(yùn)動對船載平臺的擾動τd是未知時變的,τd,i(i=1,2,3)及其變化率是有界的。

其中,船載平臺的動態(tài)模型參數(shù)難以精確獲得;另外風(fēng)、浪等對船舶運(yùn)動的干擾具有明顯的隨機(jī)性,且預(yù)先是不可知的,但其所具有的能量有限。因此,假設(shè)1與假設(shè)2合理。

控制目標(biāo):在假設(shè)1與假設(shè)2的條件下,設(shè)計(jì)船載平臺鎮(zhèn)定控制律,使得船載平臺上支撐面保持在慣性坐標(biāo)系中某一期望的位姿pd=[zd,φd,θd]T不變。

引理 1[23]考慮系統(tǒng):

(4)

(5)

(6)

2 船載平臺鎮(zhèn)定控制律設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

本節(jié)首先設(shè)計(jì)STESO,為船載平臺的總擾動提供在線估計(jì),分析STESO的收斂性;基于此,利用超螺旋算法設(shè)計(jì)船載平臺有限時間鎮(zhèn)定控制律,并進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。

2.1 STESO設(shè)計(jì)

(7)

針對式(7),設(shè)計(jì)如下滑模面:

S=ε2+λε1

(8)

將滑模面S對時間求導(dǎo),根據(jù)式(7),可得

(9)

將船載平臺的總擾動L(t)擴(kuò)張為一個新的狀態(tài)向量N(t)=[N1(t),N2(t),N3(t)]T,得到如下增廣系統(tǒng):

(10)

記

(11)

針對增廣系統(tǒng)式(10),構(gòu)造如下形式的STESO:

(12)

證明定義STESO的估計(jì)誤差:

(13)

將式(13)對時間求導(dǎo),根據(jù)式(10)和式(12),可得STESO的誤差動態(tài)方程:

(14)

(15)

將η1對時間求導(dǎo),根據(jù)式(14),可得

(16)

將η2對時間求導(dǎo),根據(jù)式(14),可得

(17)

將η(t)對時間求導(dǎo),根據(jù)式(16)與式(17),可得

(18)

式中:

針對STESO的誤差動態(tài)方程式(14),構(gòu)造如下李雅普諾夫預(yù)選函數(shù):

V1(η(t))=η(t)TP1η(t)

(19)

式中:

將式(19)對時間求導(dǎo),根據(jù)式(18)可得

(20)

式中:

(21)

根據(jù)完全平方不等式與式(21),可以得到

(22)

式中:

將式(22)代入式(20)中,可得

(23)

式中:

設(shè)計(jì)參數(shù)β1與β2滿足:

β1>2δ1

(24)

(25)

根據(jù)式(15)、式(19)以及式(21),有

(26)

將式(26)代入式(23)中可得

(27)

式中:

由引理1和式(27)可知,η(t)會在有限時間

(28)

證畢

2.2 船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律設(shè)計(jì)

基于所構(gòu)造的STESO式(12),利用超螺旋算法,設(shè)計(jì)船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律:

(29)

式中:α1>0與α2>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

證明將控制律式(29)代入式(9)可得

(30)

(31)

將η′(t)對時間求導(dǎo),根據(jù)式(30),可得

ω1=diag(|S1|-1/2,|S2|-1/2, |S3|-1/2)

針對由式(1)、式(12)和式(29)構(gòu)成的船載平臺閉環(huán)控制系統(tǒng),構(gòu)造如下李雅普諾夫預(yù)選函數(shù):

V2(η′(t))=η′(t)TP2η′(t)+V1(η(t))

(33)

式中:

將式(33)對時間求導(dǎo),根據(jù)式(28)與式(32),可得

(34)

式中:

(35)

根據(jù)完全平方不等式與式(35),可以得到

(36)

式中:

將式(36)代入式(34)中,可得

(37)

式中:

如果設(shè)計(jì)參數(shù)α1與α2滿足

α1>2δ1

(38)

(39)

(40)

將式(40)代入式(37),并根據(jù)引理2,可得

(41)

式中:

根據(jù)引理1和式(41)可知,η′(t)在有限時間

(42)

內(nèi)收斂到零,則滑模面S在有限時間ts2內(nèi)收斂于零。進(jìn)一步,根據(jù)式(8),船載平臺鎮(zhèn)定誤差ε1與ε2漸近收斂于零。

證畢

3 仿真研究

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律的有效性,以某一船載平臺為例進(jìn)行仿真研究,其動力學(xué)方程式(1)中的模型參數(shù)標(biāo)稱值為mp=300 kg、Ix=10.59 kg·m2、Iy=10.59 kg·m2、Iz=19.85 kg·m2[21]。進(jìn)一步,將所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律與基于ADRC的船載平臺鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行仿真比較,以表明所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律的優(yōu)越性。

3.1 船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律仿真

本節(jié)利用Fossen[25]和Perez研制的MSS(Marine Systems Simulator)軟件包,獲得海浪引起的船舶運(yùn)動對船載平臺的擾動力及力矩,分別在兩種海況下對所提出船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

分別在2級和4級海況下進(jìn)行仿真。仿真中采用ITTC(International Towing Tank Conference)雙參數(shù)海浪譜,2級海況參數(shù)選擇為波浪擴(kuò)散因子數(shù)值為2、平均波向?yàn)?0°、有義波高為0.5 m;4級海況參數(shù)選擇為波浪擴(kuò)散因子數(shù)值為3、平均波向?yàn)?20°、有義波高為2.5 m。不施加控制作用情況下的船載平臺上支撐面位姿運(yùn)動仿真曲線如圖2所示。

(1) 2級海況下船載平臺動力學(xué)方程式(1)的慣性矩陣取其標(biāo)稱值,即M(X1)=M0(X1)。

仿真中,設(shè)船載平臺上支撐面的期望位姿X1d=[0 m,0°,0°]T,船載平臺上支撐面的初始狀態(tài)為X1(0)=[0.1 m,1°,2°]T和X2(0)=[0 m/s,0°/s, 0°/s]T;選取所構(gòu)造的STESO的設(shè)計(jì)參數(shù)為λ=1,β1=3,β2=20,所設(shè)計(jì)的STSM鎮(zhèn)定控制律的參數(shù)為α1=4,α2=0.3,仿真結(jié)果如圖3～圖5中實(shí)線所示。圖3為船載平臺上支撐面在升沉、橫搖和縱搖方向上的運(yùn)動曲線,由圖3可知,所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律能控制船載平臺有效隔離船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動對船上設(shè)備運(yùn)行安全的影響,保證船載平臺的上支撐面始終保持期望的位姿。圖4為船載平臺上支撐面升沉控制力以及橫搖、縱搖控制力矩曲線,由圖4可知,控制力及力矩是合理的。圖5為船載平臺的總擾動及其估計(jì)曲線,由圖5可知,所構(gòu)造的STESO可以提供對總擾動的估計(jì)。

(2) 4級海況下船載平臺動力學(xué)方程式(1)的慣性矩陣攝動為M(X1)=(1+30%)M0(X1)。

仿真中,設(shè)船載平臺上支撐面的初始狀態(tài)、期望位姿、STESO和STSM鎮(zhèn)定控制律的設(shè)計(jì)參數(shù)均與2級海況下的一樣,這意味著在不同海洋環(huán)境擾動下,船載平臺鎮(zhèn)定控制律保持不變,仿真結(jié)果如圖6～圖8中實(shí)線所示。由圖3～圖5與圖6～圖8可知,在海洋環(huán)境擾動變大且存在模型參數(shù)攝動時,所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律展現(xiàn)了與2級海況下幾乎同樣的控制效果,這表明所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律對模型參數(shù)攝動和未知外界擾動具有良好的自適應(yīng)能力和魯棒性。

3.2 仿真比較

本節(jié)中,將所設(shè)計(jì)的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律與文獻(xiàn)[21]中的船載平臺ADRC鎮(zhèn)定控制律式(43)和式(44)進(jìn)行仿真比較。

(43)

(44)

式中:i=1,2,3。

取設(shè)計(jì)參數(shù)b0,1=300,ωo,1=13,kp1=12,kd1=20;b0,2=13,ωo,2=13,kp2=14,kd2=48;b0,3=14,ωo,3=13,kp3=15,kd3=50,分別在第3.1節(jié)中的兩種情況下對船載平臺ADRC鎮(zhèn)定控制律進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果見圖3～圖8中點(diǎn)線。由圖3和圖4可知,在2級海況下,船載平臺ADRC鎮(zhèn)定控制律和本文所提的船載穩(wěn)定平臺STSM鎮(zhèn)定控制律均具有同樣令人滿意的控制性能。但由圖6和圖7可知,在4級海況下,本文所提出的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律的鎮(zhèn)定誤差較小。另一方面,由圖5和圖8可知,兩種情況下,所設(shè)計(jì)的STESO相較文獻(xiàn)[21]中的船載平臺構(gòu)造的常規(guī)ESO的估計(jì)精度都高。上述仿真結(jié)果充分表明了本文設(shè)計(jì)的基于STESO的船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律較船載平臺ADRC鎮(zhèn)定控制律的優(yōu)越性。

4 結(jié) 論

本文針對船載平臺存在的動態(tài)不確定以及未知外界擾動,構(gòu)造了STESO,估計(jì)由動態(tài)不確定以及未知外界擾動引起的總擾動;進(jìn)一步,設(shè)計(jì)了船載平臺STSM鎮(zhèn)定控制律,理論分析及仿真結(jié)果均證明了所設(shè)計(jì)的控制律可使船載平臺上支撐面保持在慣性空間中某一期望的位姿不變,且較船載平臺ADRC鎮(zhèn)定控制律控制精度高,可隔離船舶運(yùn)動對船上設(shè)備運(yùn)行安全的影響,從而可提高船上設(shè)備在不同海洋環(huán)境條件下的可操作性和安全性。