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        “活潑”的追擊問題
        ——對(duì)第33屆全國物理競賽預(yù)賽題的思考

        2022-05-07 10:35:06駱興高
        物理通報(bào) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:參考系連線夾角

        駱興高

        (杭州第十四中學(xué) 浙江 杭州 310006)

        倪國富

        (浙江省柯橋中學(xué) 浙江 紹興 312030)

        【題目】一足球運(yùn)動(dòng)員甲自A點(diǎn)向球門的B點(diǎn)踢出球,已知A和B之間的距離為s,球自A向B的運(yùn)動(dòng)可視為水平地面上的勻速直線運(yùn)動(dòng),速率為u.另一足球運(yùn)動(dòng)員乙到AB連線的距離為l,到A,B兩點(diǎn)的距離相等.運(yùn)動(dòng)員甲踢出球后,運(yùn)動(dòng)員乙以勻速v沿直線去攔截該球.設(shè)運(yùn)動(dòng)員乙開始出發(fā)去攔截球的時(shí)刻與球被運(yùn)動(dòng)員甲踢出的時(shí)刻相同.

        (1)如果運(yùn)動(dòng)員乙能攔截到球,求運(yùn)動(dòng)員乙開始出發(fā)去攔截球直至攔截到球的時(shí)間間隔、球被攔截時(shí)球到A點(diǎn)的距離、球到運(yùn)動(dòng)員乙出發(fā)點(diǎn)的距離和運(yùn)動(dòng)員乙運(yùn)動(dòng)的方向與A和B連線的夾角;

        (2)求為了使運(yùn)動(dòng)員乙能攔截到球,u,v,s和l應(yīng)當(dāng)滿足的條件.

        評(píng)卷時(shí)競賽委員會(huì)提供的參考答案如下:

        (1)記運(yùn)動(dòng)員甲踢出球的時(shí)刻為零時(shí)刻.設(shè)運(yùn)動(dòng)員乙沿著與A和B連線夾角為θ的方向運(yùn)動(dòng),球在時(shí)刻t被運(yùn)動(dòng)員乙攔截.令球被攔截時(shí)球到A點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)員乙到出發(fā)點(diǎn)的距離分別為s1和s2,則

        由幾何關(guān)系有

        從式(3)、(4)消去θ,并利用式(1)、(2)得

        這是關(guān)于t的一元二次方程.解為

        由式(1)、(2)、(7)得

        由式(4)、(9)得

        (2)方程(6)有實(shí)數(shù)解的條件是

        它是自動(dòng)滿足的.綜上所述,式(12)、(14)、(15)即運(yùn)動(dòng)員乙攔截到球的條件.

        當(dāng)式(12)中大于號(hào)成立時(shí),運(yùn)動(dòng)員乙可在兩處攔截到球;當(dāng)式(12)中等號(hào)成立時(shí)

        運(yùn)動(dòng)員乙只能在一處攔截到球.

        參考答案流程看下來類似于代數(shù)運(yùn)算,并且解答過程不僅不完整且有誤區(qū),題目的本身是開放的,球運(yùn)動(dòng)速率u和足球運(yùn)動(dòng)員追擊速率v之間的大小關(guān)系題中并沒有明確,應(yīng)考慮各種可能性,事實(shí)上筆者閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生幾乎沒有按以上解題思路,閱卷老師對(duì)參考答案也提出了不少質(zhì)疑,筆者認(rèn)為完整的解答應(yīng)按如下幾種情形討論:

        如果以球?yàn)閰⒖枷担敲辞蚴庆o止的,運(yùn)動(dòng)員乙在向球運(yùn)動(dòng),乙在球的參考系中,既有向左的速度u,又有對(duì)地參考系中的速度v,u和v的合速度v21指向A.

        如圖1所示,圖中α為運(yùn)動(dòng)員乙在初始位置時(shí)與運(yùn)動(dòng)員甲連線和AB之間的夾角,θ為運(yùn)動(dòng)員乙運(yùn)動(dòng)方向與運(yùn)動(dòng)員乙在初始位置時(shí)與運(yùn)動(dòng)員甲連線之間的夾角.

        圖1 以球?yàn)閰⒖枷禃r(shí),運(yùn)動(dòng)員乙的運(yùn)動(dòng)

        第1種情形如圖2所示,當(dāng)v>u時(shí),usinα=vsinθ,sinθ=,令球被攔截所需時(shí)間為t,則

        圖2 v>u時(shí)情形

        題中明確要求運(yùn)動(dòng)員乙運(yùn)動(dòng)方向和AB之間的夾角,即圖中的β.因此原參考解答中僅用θ表示方向值得商榷的,應(yīng)表述為

        第2種情形如圖3所示,當(dāng)v=u時(shí),θ=α

        圖3 v=u時(shí)情形

        第3種情形如圖4所示,當(dāng)usinα<v<u時(shí)

        圖4 u sinα<v<u時(shí)情形

        第4種情形如圖5所示.

        圖5 v=u sinα?xí)r情形

        當(dāng)v=usinα?xí)r,即

        第5種情形v<usinα,如圖6所示,無解.

        圖6 v<u sinα?xí)r情形

        分類討論是一種重要的物理思想,如果面臨的問題不能以統(tǒng)一的同一種方法處理或同一種形式表述、概括,那么就需要把一個(gè)復(fù)雜的問題按一定的標(biāo)準(zhǔn)分割成若干個(gè)簡單的問題(本文中的標(biāo)準(zhǔn)能攔截到球),再逐一分析解決,得出每一類的相應(yīng)結(jié)果,再綜合各結(jié)果,得到最終答案的一種思想方法,也是近幾年物理競賽考題的一大熱點(diǎn)[1,2].

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